Polynômes de Jacobi

Dans les mathématiques , les polynômes de Jacobi de sont une classe des polynômes orthogonaux . Ils sont obtenus à partir de la série hypergéométrique dans les cas où la série est en fait finie : $P\_n^\; de$

{(\ alpha, \ bêta)}(z)= \ frac {(\ alpha+1) _n} {n !} \, _2F_1 \ parti (- n, 1+ \ alpha+ \ beta+n ; \ alpha+1 ; \ frac {1-z} {2} \ droit),

là où le $(\backslash \; alpha+1)\; \_n$ est le symbole de Pochhammer de (pour l'augmentation factorielle) , (Abramowitz et Stegun p561.) et avoir ainsi l'expression explicite

$P\_n^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêtas)\}\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+n+1)\}\; \{n\; !\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1)\}\; \backslash \; ^n\; du\; sum\_\; \{m=0\}\; \{n\; \backslash \; choisissent\; m\}\; \backslash \; ^m\; de\; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; +\; n\; +\; m\; +\; 1)\}\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; m\; +\; 1)\}\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit),$

de ce que la valeur terminale suit $P\_n^\; de$

{(\ alpha, \ bêtas)} (1) = {n+ \ alpha \ choisissent n}. Ici pour le $n\; de\; nombre\; entier\; \backslash ,$ de\; de$\{z\; \backslash \; choisissent\; n\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (z+1)\}\; \{\backslash \; gamma\; (n+1)\; \backslash \; gamma\; (z-n+1)\},$ et $\backslash \; gamma\; (z)\; \backslash ,$ est la fonction gamma habituel, qui a la propriété $1/\backslash \; gamma\; (n+1)\; =\; 0\; \backslash ,$ pour $n=-1,\; -\; 2,\; \backslash \; points\; \backslash ,$. Ainsi,

Les polynômes ont le $P\_n^\; de\; relation\; desymétrie\{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêtas)\}\; (-\; z)\; =\; (-\; ^n\; P\_n^\; de\; 1)\; \{(\backslash \; bêta,\; \backslash \; alpha)\}\; (z)$ ; ainsi l'autre valeur terminale est $P\_n^\; de$

{(\ alpha, \ bêtas)} (- 1) = (- ^n de 1) {n+ \ bêtas \ choisissent n}.

Pour vrai $x$ le polynôme de Jacobi peut alternativement être écrit en tant que $P\_n^\; de\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêtas)\}(x)=\; \backslash \; sum\_s\; \{n+\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choisissent\; s\}\; \{n+\; \backslash \; bêtas\; \backslash \; choisissent\; le\; NS\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{NS\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x+1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{s\}$ là où $s\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash ,$ et $NS\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash ,$. Dans le cas spécial qui les quatre quantités $n$, $n+\; \backslash \; alpha$, $n+\; \backslash \; beta$, et + de $n+\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta$ sont des nombres entiers non négatifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit en tant que $P\_n^\; de\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêtas)\}(x)=\; (n+\; \backslash \; alpha)\; !\; (n+\; \backslash \; bêtas)\; !\; \backslash \; sum\_s\; \backslash \; parti\; (n+\; \backslash \; alphas)\; !\; (\backslash \; beta+s)\; !\; (NS)\; !\; \backslash \; right^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{NS\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x+1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{s\}.$ La somme sur des $s\; \backslash ,$ se prolonge au-dessus de toutes les valeurs de nombre entier pour lesquelles les arguments des factorials sont non négatifs.

Ce forme laisse expression de Wigner d-matrice $d^j\_\; \{m\; m\}\; (\backslash )\; de\; phi\; \backslash \; ;$ ($0\; \backslash \; le\; \backslash \; phi\; \backslash \; le\; 4\; \backslash \; pi$) en termes du $de\; de\; polynômes\; de\; Jacobi\; le\; d^j\_\; \{m\text{'}m\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; frac\; \{(j+m)\; !\; (la\; JM)\; !\}\{(j+m\text{'})\; !\; (j-m\text{'})\; !\}\backslash \; bon]\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; (\backslash \; péché\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{m-m\text{'}\}\; \backslash \; (\backslash \; cos\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{m+m\text{'}\}\; ^\; de\; P\_\; \{JM\}\; \{(m-m\text{'},\; m+m\text{'})\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; phi).$

Dérivés

Le dérivé de $k$-th de l'expression explicite mène à

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; d^k\; de\; mathrm\}\; \{\backslash \; z^k\; de\; mathrm\; d\}\; P\_n^\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; bêta)\}\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1+k)\}\; \{2^k\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1)\}\; ^\; de\; P\_\; \{n-k\}\; \{,\; (\backslash \; alpha+k\; \backslash \; beta+k)\}\; (z).$

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