Polynôme d\'Alexandre

Dans les mathématiques , le Alexandre polynôme est un noeud invariable de qui assigne à un polynôme avec des coefficients de nombre entier à chaque type de noeud. Alexandre a découvert ceci, le premier noeud polynôme, en 1923. En 1969, le John Conway a montré une version de ce polynôme, maintenant appelée le Alexandre-Conway le polynôme, pourrait être calculé using une relation d'écheveau de , bien que sa signification n'ait pas été réalisée jusqu'à la découverte du Jones polynôme en 1984. Peu après la retouche de Conway du polynôme d'Alexandre, on l'a réalisé qu'une relation semblable d'écheveau a été exhibée en papier d'Alexandre sur son polynôme.

Définition

Laisser le K être un noeud dans la sphère du 3. Laisser le X être la couverture cyclique infinie du complément de noeud de du K . Il y a un t de transformation de bâche agissant sur le X . Considérer la première homologie (avec des coefficients de nombre entier) du X ,

H_1 dénoté (X)

. Les actes du t de transformation sur l'homologie et ainsi nous pouvons considérer

H_1 (X)

un module au-dessus de t^ de

\ mathbb {Z} {- 1}

. Ceci s'appelle le Alexandre invariable.

Le module est de façon finie présentable ; une matrice de présentation de pour ce module s'appelle la matrice d'Alexandre de . Si le nombre de générateurs, le r , est inférieur ou égal à le nombre de relations, de s , alors de nous considérer l'idéal produit par tout le r par des mineurs du r de la matrice ; c'est le Alexandre idéal et ne dépend pas du choix de la matrice de présentation. Si le r > s , plaçait l'égale idéale à 0. Si l'idéal d'Alexandre est le principal , prendre un générateur ; ceci s'appelle un polynôme d'Alexandre du noeud. Puisque c'est seulement unique jusqu'à la multiplication par le $de monôme de Laurent \ P. t^n$ , on fixe souvent une forme unique particulière. Le choix d'Alexandre de la normalisation est de faire le polynôme avoir une limite constante positif.

Alexandre a montré que l'idéal d'Alexandre est différent de zéro et toujours principal. Ainsi un polynôme d'Alexandre existe toujours, et est clairement un $invariable de noeud et dénoté \ Delta_K (t)$ .

Calcul du polynôme

La procédure suivante pour calculer le polynôme d'Alexandre a été donnée par J. Alexandre en son papier.

Prendre un diagramme de orienté par du noeud avec des croisements du n ; il y a du n ; + ; 2 régions du diagramme de noeud. Pour établir le polynôme d'Alexandre, premièrement on doit créer une matrice d'incidence de taille ( n , de n ; + ; 2). Les rangées du n correspondent aux croisements du n , et au du n ; + ; 2 colonnes aux régions. Les valeurs pour les entrées de matrice sont l'une ou l'autre 0, 1, &minus ; 1, t , &minus ; t .

Considérer l'entrée correspondant à une région et à un croisement particuliers. Si la région n'est pas à côté du croisement, l'entrée est 0. Si la région est à côté du croisement, l'entrée dépend de son endroit. La table suivante donne l'entrée, déterminée par l'endroit de la région au croisement de la perspective de la ligne undercrossing entrante.

du côté gauche avant d'undercrossing : &minus ;
du t du côté droit avant d'undercrossing : 1
du côté gauche après undercrossing :
du t du côté droit après undercrossing : &minus ; 1

Enlever deux colonnes correspondant aux régions limitrophes de la matrice, et établir la cause déterminante du nouveau n par la matrice du n . Selon les colonnes enlevées, la réponse différera par multiplication par le $\ P. Pour résoudre cette ambiguïté, diviser dehors la plus grande possible puissance du t et se multiplier par -1 au besoin, de sorte que la limite constante soit positive. Ceci donne le polynôme d'Alexandre. Le polynôme d'Alexandre peut également être calculé de la matrice de Seifert de .$

Propriétés de base du polynôme

Le polynôme d'Alexandre est symétrique :

\ = de Delta_K (t^ {- 1}) \ Delta_K (t)

point de vue de définition, ceci est expression de Poincaré dualité isomorphisme $\ overline {} de H_1 X \ simeq Hom_ {\ Bbb Z} (H_1 X, G)$ où $G$ est le quotient du champ des fractions du $\ du Bbb Z$ par le $\ Bbb Z$ , considérées comme $\ Bbb Z$ -module, et où le $\ overline {H_1 X}$ est le $\ Bbb conjugués Z$ -module à l'IE de $H_1 X$ : car un groupe abélien il est identique à $H_1 X$ mais la transformation $t$ de bâche agit par le $t^ {- 1}$ .

et il évalue à une unité sur 1 : $\ Delta_K (1)= \ P. le du point de vue de la définition, ceci est une expression du fait que le complément de noeud est un cercle d'homologie, produit par la transformation t de bâche.$

On le sait que chaque polynôme intégral de Laurent qui est symétrique et évalue à une unité à 1 est le polynôme d'Alexandre d'un noeud (Kawauchi 1996).

Signification géométrique du polynôme

Puisque l'idéal d'Alexandre est principal, $\ Delta_K (t)=1$ si et seulement si le sous-groupe de collecteur du groupe de noeud est le parfait. Considérer comme étant la sphère 3 la frontière de la boule 4. Le Freedman de Michael a montré qu'un noeud dans les 3 que la sphère est découpent topologiquement en tranches, c. bondit un disque topologique docile dans la boule 4, si et seulement si le polynôme d'Alexandre du noeud est insignifiant (Freedman et Quinn, 1990). Il y a d'autres relations avec des surfaces et lisse la topologie 4 dimensionnelle. Par exemple, dans certaines prétentions, il y a une manière de modifier un doux 4 divers en exécutant une chirurgie qui se compose enlever un voisinage d'un tore bidimensionnel et le remplacer par un complément de noeud croisé avec le S ¹. Le résultat est un 4 homéomorphe divers lisse à l'original, bien que maintenant le Seiberg-Witten invariable ait été modifié par multiplication avec le polynôme d'Alexandre du noeud.

Des noeuds avec des symétries sont connus pour avoir des polynômes limités d'Alexandre. Voir la section de symétrie dedans (Kawauchi 1996). Bien que, le polynôme d'Alexandre puisse pour détecter quelques symétries, telles que l'invertibility fort.

Si les fibres du complément de noeud de au-dessus du cercle, alors le polynôme d'Alexandre du noeud est connues pour être le monic (les limites d'ordre les plus élevées et plus basses égales à $\ P. En fait, si le S \ à C_K \ à S^1 est un faisceau de fibres où C_K est le complément de noeud, a laissé le g : S \ à S représentent le Monodromy , puis \ Delta_K (t) = Det (tI-g_*) où g_* : H_1 S \ à H_1 S est la carte induite sur l'homologie.$

Relations aux opérations satellites

Si un noeud $K$ est un satellite nouer avec le $K'< de compagnon/IE de math> : là existe un f de encastrement : S^1 \ périodes D^2 \ à S^3 tels que K=f (K') où S^1 \ temps D^2 \ sous-ensemble S^3 est un tore plein unknotted, puis \ Delta_K (t) = \ Delta_ {f (S^1 \ périodes \ {0 \}} (t) \ Delta_ {K'} (t^a) . Là où le a \ dans \ mathbb Z est le nombre entier qui représente le K \ sous-ensemble S^1 \ périodes D^2 dans H_1 (= de S^1 \ périodes D^2) \ mathbb Z .$

Exemples : Pour un $de relier-somme \ = de Delta_ {K_1 \ # K_2} (t) \ Delta_ {K_1} (t) \ Delta_ {K_2} (t)$ . Si $K$ est un double détordu de Whitehead, puis $\ Delta_K (t)= \ P.$

Polynôme d'Alexandre-Conway

Alexandre s'est avéré que le polynôme d'Alexandre satisfait une relation d'écheveau. Le John Conway plus tard a redécouvert ceci sous une forme différente et a prouvé que la relation d'écheveau ainsi qu'un choix de valeur sur l'unknot était assez pour déterminer le polynôme. La version de Conway est un polynôme dans le z avec des coefficients de nombre entier,

dénoté \ nabla (z)

et a appelé le Alexandre-Conway polynôme (également connu sous le nom de Conway polynôme ou Conway-Alexandre polynôme).

Supposer que nous sommes donnés un diagramme orienté de lien, où $L_+, L_-, L_0$ sont croisement en résultant de diagrammes de lien et le lissage change sur une région locale d'un croisement spécifique du diagramme, comme indiqué dans la figure.

Voici les relations de l'écheveau de Conway :
$\ nabla de (O) = 1$ (où O est n'importe quel diagramme de l'unknot)
- de $\ nabla (L_+) \ nabla (L_-) = z \ nabla (L_0)$

Le rapport avec le polynôme d'Alexandre de norme est donné par le $\ Delta_L (t^2) = \ nabla_L (t - t^ {- 1})$ . Ici $\ Delta_L$ doit être correctement normalisé (par multiplication de t^ de $\ P. {n/2}$ ) pour satisfaire écheveau relation $\ delta (L_+) - \ delta (L_-) = (t^ {1/2} -) de t^ {- 1/2} \ delta (L_0)$ . Noter que cette relation donne un polynôme de Laurent dans le t^1/2 .

Voir la théorie de noeud pour un exemple calculant le polynôme de Conway de la minette.

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