Polygone régulier

Polygones convexes réguliers

Tous les polygones simples régulier (un polygone simple est un qui ne s'intersecte pas n'importe où) sont convexes. Tels qui ont le même nombre de côtés sont également le semblable.

Un n - le polygone régulier convexe dégrossi est dénoté par son Schlä ; symbole { n } de fli.
Henagon de

ou Monogon : se dégénérer dans l'espace ordinaire {1} de
Digon : un " ; segment" à deux lignes ; - se dégénérer dans l'espace ordinaire {2} de
Triangle équilaterale {3} de
carré {4}
régulier le Pentagone {5}
Hexagone régulier {6} de
Heptagon régulier {7} de
Octogone régulier {8} de
régulier Decagon {10}
Hendecagon régulier {11} de
régulier Dodecagon {12} Dans certains contextes tous les polygones considérés seront réguliers. Dans de telles circonstances il est usuel de laisser tomber le militaire de carrière de préfixe. Par exemple tous les visages des polyèdres uniformes doivent être réguliers et les visages seront décrits simplement comme triangle, place, pentagone, etc.

Propriétés

Chaque angle d'un régulier n - le gouvernement du Nigéria a une mesure de $(1 \ frac {2} {n}) \ de degrés des périodes 180$ (ou également de $(N2) \ de périodes \ frac {180} {n}$ ).

Alternativement, les angles internes d'un régulier n - le gouvernement du Nigéria est $\ frac {) (de N2 \ pi} {n} les radians de$ (ou le $\ frac {(le N2)}{2n} le de$ tourne ).

Tous les sommets d'un polygone régulier se trouvent sur un cercle commun, c., ils sont les points de Concyclic de , c., chaque polygone régulier a un cercle entouré par .

Un régulier n - le polygone dégrossi peut être construit avec la boussole de et la règle si et seulement si les facteurs impairs de la perfection du du n sont distincts le Fermat amorce voient le polygone construtible .

Pour le $n > le 2$ le nombre de diagonales est $\ frac {n (n-3)}{2}$ , c., 0, 2, 5, 9,… ils divisent le polygone en 1, 4, 11, 24,… les morceaux.

Secteur < ! -- Cette section est liée de l'icosahedron tronqué par -->

Le secteur d'un régulier n - le polygone dégrossi est

When~Degree de :

A= \ frac {nt^2} {4tan (\ frac {180} {n})}

When~Radian :

A= \ frac {nt^2} {4tan (\ frac {\ pi} {n})}

là où le t de est la longueur d'un côté.

En outre, le secteur est moitié du périmètre s'est multiplié par la longueur du Apothem , un , (la ligne tracée du centre de la perpendiculaire de polygone à un côté). C'est le A = un n t /2, car la longueur du périmètre est le n t . Ou 1/2 plus facile p A. Pour le t =1 ceci donne le $(\ pi/n)$ avec les valeurs suivantes :

Polygones réguliers d'étoile

Un polygone régulier non convexe est un polygone régulier d'étoile de . L'exemple le plus commun est le Pentagram , qui a les mêmes sommets comme le Pentagone , mais relie des sommets alternatifs.

Pour un n - polygone dégrossi d'étoile, le Schlä ; le symbole de fli est modifié pour indiquer le m de « starriness » du polygone, comme { n / m }. Si le m est 2, par exemple, alors chaque deuxième point est joint. Si le m est 3, alors chaque troisième point est joint. La frontière des vents de polygone autour des temps du m de centre.

Exemples :
Pentagram - {5/2}
Heptagram - {7/2} et {7/3}
Octagram - {8/3}
Enneagram - {9/2} et {9/4}
Decagram - {10/3}

le m et le n doivent être le copremier, ou la figure se dégénérera. Selon la dérivation précise du Schlä ; le symbole de fli, avis diffèrent quant à la nature de la figure dégénérée. Par exemple {6/2} peut être traité de l'une ou l'autre de deux manières :
Pour une grande partie du 20ème siècle (voir par exemple le Coxeter 1948), nous avons généralement pris /2 pour indiquer joindre chaque sommet d'un corps convexe {6} à ses voisins proches deux étapes loin, pour obtenir le composé régulier de deux triangles, ou le Hexagram .
Beaucoup de géomètres modernes, tels que Grü ; le nbaum (2003), considèrent ceci comme incorrect. Ils prennent /2 pour indiquer déplacer deux endroits autour du {6} à chaque étape, obtenant un " ; double-wound" ; la triangle qui a deux sommets a superposé à chaque point faisant le coin et à deux bords suivant chaque ligne segment. Est-ce que non seulement cet ajustement dans meilleur avec des théories modernes de soustrait les polytopes mais il copie également plus étroitement la manière dans laquelle Poinsot (1809) a créé ses polygones d'étoile - en prenant une longueur simple de fil et en la pliant aux points successifs par le même angle jusqu'à la figure s'est fermé.

Symétrie

Le groupe de symétrie de d'un n - le polygone régulier dégrossi est le dièdre D_n du groupe (de n d'ordre 2) : D ₂, '' D '' ₃ , '' D '' ₄ ,… Il comprend les rotations dans le C_n (il y a la symétrie de rotation du n d'ordre), ainsi que la symétrie de réflexion de dans des haches du n qui traversent le centre. Si le n est même puis moitié de ces haches traverser deux sommets opposés, et l'autre moitié par le point médian des côtés opposés. Si le n est impair puis toutes les haches traversent un sommet et le point médian du côté opposé.

Polygones réguliers comme visages des polyèdres

Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec les polygones réguliers comme visages tels que pour chaque deux sommets il y a un Isometry traçant un dans l'autre (juste comme il y a pour un polygone régulier).

Les polyèdres convexes restant avec les visages réguliers sont connus comme solides de Johnson de .

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