Polygone de Newton

Dans les mathématiques , le polygone de Newton de est un outil pour comprendre le comportement des polynômes au-dessus des champs locaux

Dans le cas original, le champ local d'intérêt était le champ de la série de Laurent formelle dans le indéterminé X , c. le champ de des fractions de l'anneau formel de la série entière X , DE DU K DE

au-dessus du K , où le K était le vrai nombre ou champ du nombre complexe . C'est toujours d'utilité considérable en ce qui concerne les expansions de Puiseux de que le polygone de Newton est un dispositif efficace pour comprendre les principales limites r de ^{de la hache de}

des solutions d'expansion de série entière aux équations P ( F ( X ) DE

) DE

= 0

là où le P est un polynôme avec des coefficients dans le K , l'anneau polynôme ; c'est-à-dire, les fonctions algébriques implicitement définies du le r d'exposants ici sont les nombres raisonnables de certain selon la branche choisie ; et les solutions elles-mêmes sont des séries entières dedans Y

DE DU K DE

avec le Y = d du X ^{1/pour un d de dénominateur correspondant à la branche. Le polygone de Newton donne une approche efficace et algorithmique au calculateur d .}

Après que l'introduction du P-adic numérote on lui a montré que le polygone de Newton est juste comme utile dans les questions de la ramification pour les champs locaux, et par conséquent dans la théorie de nombre algébrique de . Les polygones de Newton ont également été utiles dans l'étude des courbes elliptiques

Définition

A priori, donné un polynôme au-dessus d'un champ, le comportement des racines (l'assumer a des racines) sera inconnu. Les polygones de Newton fournissent une technique pour l'étude du comportement des racines.

Laisser $K$ être un champ local avec l'évaluation discrète $v_K$ de et laisser $f de (x) = a_nx^n + \ cdots + a_1x + a_0 \ dans K.$

Alors le polygone de Newton de $f$ est défini pour être la coque convexe inférieur de l'ensemble de points $P_i= de \ parti (I, v_K (a_i) \ droit).$

En non-jargon : tracer tout le ces i de _{du P de points sur le de x/y - surfacer, puis en commençant au P ₀, dessiner un rayon directement vers le haut du parallèle avec le y - axe, et tourner ce rayon dans le sens contraire des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il frappe le P ₁ de point, cassent le rayon ici et continuent à tourner le rayon restant jusqu'à ce qu'il frappe le P ₂… continuent jusqu'à ce que le processus atteigne le n} de _{du P de point ; le polygone en résultant (et son intérieur) est le polygone de Newton.}

Applications

Une application pratique du polygone de Newton vient du résultat suivant :

Laissé , $\ mu_1 \ mu_2, \, de ldots \ mu_r$ de

être les pentes de la ligne segments du polygone de Newton du $f (x)$ (comme défini ci-dessus) a arrangé dans l'ordre croissant, et a laissé , $\ lambda_1 \ lambda_2, \, de ldots \ lambda_r$ de

être les longueurs correspondantes de la ligne les segments projetées sur l'axe des abscisses (c. si nous avons une ligne segment s'étendre entre les points $P_i$ et $P_j$ puis la longueur est $j-i$ ). Alors pour chaque nombre entier $1 \ leq \ kappa \ leq r$ , $f de (x)$ a exactement des racines de $\ lambda_ {\ kappa}$ avec le $- d'évaluation \ mu_k$ .

Explication de fonction symétrique

Dans le cadre d'une évaluation, nous sommes fournis certaine information sous forme d'évaluations des fonctions symétriques élémentaires des racines d'un polynôme, et avons besoin de l'information sur les évaluations des racines réelles, dans une fermeture algébrique . Ceci a des aspects de la théorie de ramification de et de la théorie de singularité de . Les inférences valides possibles sont aux évaluations d'abord des sommes de puissance de au moyen d'identités de Newton de .

Voir également

critère d'Eisenstein
Expansion de Puiseux de

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