Point de limite

Dans les mathématiques , parlant officieusement, un point de limite de d'un d'ensemble S dans un X de l'espace topologique est un de point X dans le X qui peut être " ; approximated" ; par des points de S autres que le X aussi bien qu'un satisfait. Ce concept généralise profitablement la notion d'une limite et est le soutien des concepts tels que l'ensemble fermé par et la fermeture topologique . En effet, un ensemble est fermé si et seulement s'il contient tous ses points de limite, et l'opération topologique de fermeture peut être considérée comme opération qui enrichit un ensemble en ajoutant ses points de limite.

Un concept relatif est le point de faisceau de ou le point d'accumulation de d'un ordre .

Définition

Laisser le S être un sous-ensemble d'un X de l'espace topologique . Nous disons qu'un de point X dans le X est un point de limite de du S si chaque ensemble ouvert contenant le X contient également un point de S autres que le X lui-même. C'est équivalent à exiger que chaque voisinage du X contient un point de S autres que le X lui-même. (Il est souvent commode d'employer le " ; ouvrir le neighbourhood" ; forme de la définition pour prouver qu'un point est un point de limite et pour employer le " ; neighbourhood" général ; former de la définition pour dériver des faits d'un point de limite connu.)

Types de points de limite

Si chaque contenant réglé ouvert X contient infiniment beaucoup de points de S puis le X est un type spécifique de point de limite appelé un point de ω-accumulation de de S .

Si chaque contenant réglé ouvert X contient uncountably beaucoup de points de S puis le X est un type spécifique de point de limite appelé un point de condensation de de du S .

Point de faisceau

Si le X est un espace métrique , alors un de point X dans le X est un point de faisceau de d'un ordre (x_n&thinsp de ;) si pour chaque &epsilon de ; > de ; 0, là sont infiniment beaucoup de valeurs du n tels que &thinsp du d ; ( X , x_n&thinsp de ;) < ; &epsilon de ; . D'une manière equivalente, ce chaque voisinage du X contient le x_{n de} pour infiniment des beaucoup le n .

Un point de limite de l'ensemble de points dans un ordre est un point de faisceau de l'ordre. Cependant, si pour infiniment des beaucoup le n les valeurs du x_n de sont égal, ce point est un point de faisceau de l'ordre mais pas nécessairement un point de limite de l'ensemble de points dans l'ordre.

Un point de faisceau d'un ordre est une limite de Subsequential : la limite d'un certain Subsequence . Le concept d'un filet généralise l'idée d'un ordre. Les points de faisceau dans les filets entourent l'idée des points de condensation et des points de ω-accumulation :

Si le φ est un filet sur le X basé sur le réglé dirigé D et le A est un sous-ensemble de X , alors le φ est fréquemment dans le A si pour chaque α dans le D là existe un certain α de ≥ de β, β dans le D , de sorte que le φ (β) soit dans le A . Un de point X dans le X serait un point d'accumulation ou le point de faisceau d'un filet si (et seulement si) pour chaque U de voisinage du X , le filet est fréquemment dans le U .

Des points de groupement et de limite sont également définis pour la matière relative des filtres .

L'ensemble de tous les points de faisceau d'un ordre s'appelle parfois un ensemble de limite .

Quelques faits

Nous avons la caractérisation suivante des points de limite : le X est un point de limite de S si et seulement s'il est dans la fermeture du S \ { X }.
Preuve de : Nous employons le fait qu'un point est dans la fermeture d'un ensemble si et seulement si chaque voisinage du point contient un point de l'ensemble. Maintenant, le X est un point de limite de S , si et seulement si chaque voisinage du X contient un point de S autres que le X , si et seulement si chaque voisinage du X contient un point de S \ { X }, si et seulement si le X est dans la fermeture du S \ { X }.

si nous employons L ( S ) pour dénoter l'ensemble de points de limite de S , puis de nous ont la caractérisation suivante de la fermeture du S : La fermeture du S est égale à l'union du S et L ( S ).
Preuve de : (" ; Subset" gauche ;) Supposer que le X est dans la fermeture du S . Si le X est dans le S , nous sommes faits. Si le X n'est pas dans le S , alors chaque voisinage du X contient un point de S , et ce point ne peut pas être le X . En d'autres termes, le X est un point de limite de S et le X est en L ( S ). (" ; Bon subset" ;) Si le X est dans le S , alors chaque voisinage du X rencontre clairement le S , ainsi le X est dans la fermeture du S . Si le X est en L ( S ), alors chaque voisinage du X contient un point de S (autre que X ), ainsi le X est encore dans la fermeture du S . Ceci accomplit la preuve.
Le corollaire du

A de ce résultat nous donne une caractérisation des ensembles fermés : Un S d'ensemble est fermé si et seulement s'il contient tous ses points de limite.
Preuve de : Le S est fermé si et seulement si le S est égal à sa fermeture si et seulement si le S = ∪ L ( S ) du S si et seulement si L ( S ) est contenu dans le S .
une autre preuve : Laisser le S être un ensemble et un fermés X par point de limite de S . Alors le X doit être dans le S , parce que autrement le complément du S serait un voisinage ouvert du X qui n'intersecte pas le S . Réciproquement, supposer que le S contient tous ses points de limite. Nous prouverons que le complément du S est un ensemble ouvert. Laisser le X être un point dans le complément du S . Par prétention, le X n'est pas un point de limite, et par conséquent là existe un ouvert U de voisinage du X qui n'intersecte pas le S , et ainsi le U se situe entièrement dans le complément du S . Par conséquent le complément du S est ouvert.

aucun point d'isolement est un point de limite de réglé.
Preuve de : Si le X est un point d'isolement, alors { X } est un voisinage du X qui ne contient aucun point autres que le X .
Le X de l'espace du

A est le discret si et seulement si aucun sous-ensemble de X n'a un point de limite.
Preuve de : Si le X est discret, alors chaque point est isolé et ne peut pas être un point de limite de réglé. Réciproquement, si le X n'est pas discret, puis il y a un singleton { X } qui n'est pas ouvert. Par conséquent, chaque voisinage ouvert de { X } contient un X de ≠ du y de point, et ainsi le X est un point de limite de X .

si un X de l'espace a la topologie insignifiante et le S est un sous-ensemble de X avec plus d'un élément, puis tous éléments du X sont des points de limite de S . Si le S est un singleton, alors chaque point de X \ S est toujours un point de limite de S .
Preuve de : Tant que le S \ { X } est non vide, sa fermeture sera le X . Elle est seulement vide quand le S est vide ou le X est l'élément unique du S .

si un ordre dans un X de l'espace converge à un de point L dans le X et les éléments sont différent du L le L de alors est un point de limite de X .

si le L est un point de limite de X de l'espace puis il n'y a pas nécessairement un ordre dans le X \ {L} convergence au L . Par exemple, le nombre ordinal (&omega du plus petit incomptable ; ₁) est un point de limite (en ce qui concerne la topologie d'ordre de ) de l'ensemble de nombres ordinaux comptables, mais un ordre convergent des ensembles comptables a une limite qui n'est pas plus grande que l'union de ces ensembles, qui est comptable.

cependant, si le L est un point de limite de métrique du X de l'espace du puis là est par ordre dans le X \ {L} convergence au L .

Voir également

Point adhérent

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