Plan complexe

Dans les mathématiques , le plan complexe est une représentation géométrique des nombres complexes établi par le vrai axe et l'axe imaginaire orthogonal. Il peut considérer comme un avion cartésien modifié , avec la partie réelle d'un nombre complexe représenté par un déplacement le long de l'axe des abscisses, et la pièce imaginaire par un déplacement le long de l'axe des ordonnées.

Le plan complexe s'appelle parfois le Argand le plat parce qu'il est employé dans les diagrammes d'Argand de . Ceux-ci sont baptisés du nom de Jean-Robert Argand , bien qu'ils aient été décrits la première fois par le Norvégien-Danois Caspar Wessel d'arpenteur et de mathématicien de terre. Des diagrammes d'Argand sont fréquemment employés pour tracer les positions des poteaux et des zéros d'une fonction dans le plan complexe.

Le concept du plan complexe permet à un l'interprétation géométrique de des nombres complexes. Sous l'addition , ils ajoutent comme les vecteurs que la multiplication de deux nombres complexes peut être exprimée le plus facilement en &ndash des coordonnées polaires ; l'importance (ou le module) du produit est le produit des deux valeurs absolues ou des modules, et l'angle (ou l'argument) du produit est la somme des deux angles, ou des arguments. En particulier, la multiplication par un nombre complexe du module 1 agit en tant que rotation.

Conventions d'écriture

Dans l'analyse complexe les nombres complexes sont d'habitude représentés par le de symbole z , qui peut être séparé dans ses vraies ( X ) et imaginaires ( y ) pièces, comme ceci :

$z\; =\; x\; +\; iy\; \backslash ,$

là où le X et le y sont vrais les nombres, et le i est l'unité imaginaire. Dans cette notation usuelle le z de nombre complexe correspond au point ( X , y ) dans l'avion cartésien .

Dans l'avion cartésien le point ( X , y ) peut également être représenté (dans des coordonnées polaires) As

$(x,\; y)\; =\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta,\; r\; \backslash \; péché\; \backslash )\; de\; thêta\; \backslash \; qquad\; \backslash \; est\; parti\; (r\; =\; \backslash racine\; carrée\{x^2+y^2\}\; ;\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; theta=\; \backslash \; arctan\; \backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\; \backslash \; droit).\; \backslash ,$

Dans l'avion cartésien il peut supposer que l'arctangente prend des valeurs de &minus ; π de au π de (dans des radians , et un certain soin doit être pris pour définir la vraie fonction d'arctangente du pour des points ( X , y ) quand le ≤ 0 du X . Dans le plan complexe ces coordonnées polaires prennent la forme

$z\; =\; x\; +\; iy\; =\; |z|\backslash \; parti\; (\backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; +\; I\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; droit)\; =\; |z|e^\; \{\}\; d\text{'}I\; \backslash \; thêta\; \backslash ,$

là où

$|z|\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x^2+y^2\}\; ;\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; =\; de\; thêta\; \backslash \; arg\; (z)\; =\; -\; I\; \backslash$

de notation \ frac {z} Projections stéréographiques

voient également :

la projection stéréographique

Parfois il est utile de penser au plan complexe comme si il a occupé la surface d'une sphère. Imaginer une sphère du rayon d'unité, et mettre le juste de plan complexe par le milieu de lui, ainsi le centre de la sphère coïncide avec le z d'origine = 0 du plan complexe, et l'équateur sur la sphère coïncide avec le cercle d'unité dans l'avion.

Nous pouvons établir une correspondance linéaire entre les points sur la surface de la sphère et les points dans le plan complexe comme suit. Donné un point dans l'avion, tracer une ligne droite le reliant au Pôle Nord sur la sphère. Cette ligne intersectera la surface de la sphère à exactement un autre point. Le z de point = 0 sera projeté sur le pôle du sud de la sphère. Puisque l'intérieur du cercle d'unité se trouve à l'intérieur de la sphère, cette région entière (| z | < ; 1) sera tracé sur l'hémisphère sud. Le cercle d'unité lui-même (| z | = 1) sera tracé sur l'équateur, et l'extérieur du cercle d'unité (| z | > ; 1) sera tracé sur l'hémisphère nord. Clairement ce procédé est &ndash réversible ; donné n'importe quel point sur la surface de la sphère qui n'est pas le Pôle Nord, nous pouvons tracer une ligne droite reliant ce point au Pôle Nord et intersectant l'avion plat à exactement un point.

Sous cette projection stéréographique il y a juste un &ndash de point ; le &ndash du Pôle Nord lui-même ; cela n'est pas associé à tout point dans le plan complexe. Nous perfectionnons la correspondance linéaire en ajoutant un plus de point au &ndash de plan complexe ; le soi-disant point de au &ndash de l'infini ; et l'associant au Pôle Nord sur la sphère. Cet espace topologique, le plan complexe plus le point à l'infini, est connu comme plan complexe prolongé . Et c'est pourquoi les mathématiciens parlent d'un " simple ; point à l'infinity" ; en discutant l'analyse complexe. Il y a deux points à l'infini (positif, et au négatif) sur la ligne de vrai nombre, mais il y a seulement un point à l'infini (le Pôle Nord) dans le plan complexe prolongé.

Imaginer pour un instant ce qui arrivera aux lignes de la latitude et de la longitude quand elles sont projetées de la sphère sur l'avion plat. Toutes les lignes de la latitude sont parallèle à l'équateur, ainsi elles deviendront les cercles parfaits portés sur le z d'origine = 0. Et les lignes de la longitude deviendront les lignes droites passant par l'origine (et également par le " ; point à l'infinity" ; , puisqu'elles traversent les pôles du nord et du sud sur la sphère).

Ce n'est pas la seule projection stéréographique possible d'une sphère sur un avion. Par exemple, le pôle du sud de la sphère pourrait être placé sur le z d'origine = 0 dans un avion qui est tangente à la sphère. Les détails n'importent pas vraiment. N'importe quelle projection stéréographique d'une sphère sur un avion produira un " ; point à l'infinity" ; , et il tracera les lignes de la latitude et de la longitude sur la sphère dans des cercles et des lignes droites, respectivement, dans l'avion.

Coupure de l'avion

Quand la discussion des fonctions d'une variable complexe qu'il est souvent commode de penser à un a coupé dans le plan complexe. Cette idée surgit naturellement dans plusieurs différents contextes.

Rapports et points de branchement à valeurs multiples

Considérer le rapport two-valued simple

$W\; =\; f\; (z)\; =\; \backslash \; P.\; \backslash racinecarrée\; \{z\}\; =\; z^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,$

Avant que nous puissions traiter ce rapport comme fonction single-valued , la gamme de la valeur en résultant doit être limitée de façon ou d'autre. En traitant les racines carrées de vrais nombres ceci est facilement fait. Par exemple, nous pouvons juste définir

$y\; =\; g\; (x)\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; =\; x^\; \{\backslash \}\; de\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash ,$

pour être le non négatif y de vrai nombre tels que y ² = X . Cette idée ne fonctionne pas tellement bien dans le plan complexe bidimensionnel. Pour voir pourquoi, nous laisser pensent à la manière la valeur du f ( z ) varie pendant que le z de point se déplace autour du cercle d'unité. Nous pouvons écrire

$z\; =\; e^\; \{I\; \backslash thêta\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; qquad\; w=z^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; e^\; \{\backslash \}\; de\; frac\; \{I\; \backslash \; thêta\}\; \{2\}\; \backslash \; qquad\; (0\; \backslash \; leq\; \backslash \; thêta\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi).\; \backslash ,$

Évidemment, car le z déplace toute la manière autour du cercle, le W trace seulement dehors la moitié du cercle. Tellement un mouvement continu dans le plan complexe a transformé le positif e de racine carrée ⁰ = 1 en iπ négatif ^{du e de racine carrée} = &minus ; 1.

Ce problème surgit parce que le z de point = 0 a juste une racine carrée, alors que chaque autre ≠ 0 du z de nombre complexe a exactement deux racines carrées. Sur la ligne de vrai nombre nous pourrions éviter ce problème en érigeant un " ; barrier" ; au unique X = 0. Une plus grande barrière est nécessaire dans le plan complexe, pour empêcher n'importe quelle découpe fermée d'encercler complètement le z du point de branchement = 0. Ceci est généralement fait en présentant une coupe de branche de ; dans ce cas-ci le " ; cut" ; pourrait s'étendre du z de point = 0 le long du vrai axe positif au point à l'infini, de sorte que l'argument du variable z dans l'avion de coupe soit limité au < d'arg de ≤ de la gamme 0 ( z ) ; π de 2 .

Nous pouvons maintenant donner une description complète du W = ½ de ^{du z . Pour nous faire ainsi avons besoin de deux copies du z - surfacer, chacune de elles coupent le long du vrai axe. Sur une copie nous définissons la racine carrée de 1 pour être e0 = 1, et de l'autre nous définissons la racine carrée de 1 pour être l'iπ du e = &minus ; 1. Nous appelons ces deux copies des feuilles complètes de d'avion de coupe. En nous faisant à un argument de continuité voyons que (maintenant le W) de fonction single-valued = ½} de ^{du z trace la première feuille dans la moitié supérieure du W - surfacer, où 0 < d'arg de ≤ ( W ) ; le π de , tout en traçant la deuxième feuille dans la moitié inférieure du W - surfacer (où < d'arg de ≤ de π de ( W ) ; π de 2 ).}

La branche coupée dedans cet exemple ne doit pas se trouver le long du vrai axe. Ce ne doit pas même être une ligne droite. N'importe quelle courbe continue reliant le z d'origine = 0 au point à l'infini fonctionnerait. Dans certains cas la coupe de branche ne doit pas même passer par le point à l'infini. Par exemple, considérer le rapport

$W\; =\; g\; (z)\; =\; \backslash \; (z^2\; -\; 1\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,$

Ici le &minus polynôme du z ² ; 1 disparaît quand le z = ±1, ainsi le g a évidemment deux points de branchement. Nous pouvons " ; cut" ; l'avion le long du vrai axe, du &minus ; 1 à 1, et obtenir une feuille sur laquelle le g ( z ) est une fonction single-valued. Alternativement, la coupe peut fonctionner du z = 1 le long du vrai axe positif par le point à l'infini, puis continue le " ; up" ; le vrai axe négatif à l'autre point de branchement, z = &minus ; 1.

Cette situation le plus facilement est visualisée en employant la projection stéréographique de décrite au-dessus de . Sur la sphère un de ces derniers coupe des courses longitudinalement par l'hémisphère sud, reliant un point sur l'équateur ( z = &minus ; 1) avec un autre point sur l'équateur ( z = 1), et dépassement par le pôle du sud (l'origine, z = 0) sur le chemin. La deuxième version de la coupe fonctionne longitudinalement par l'hémisphère nord et relie les mêmes deux points équatoriaux par le dépassement par le Pôle Nord (c'est-à-dire, le point à l'infini).

Restriction du domaine des fonctions méromorphes

Une fonction méromorphe est une fonction complexe qui est le holoèdre et donc le analytique partout dans son domaine excepté à un fini, ou le comptable infini, nombre de points. Les points auxquels une telle fonction ne peut pas être définie s'appellent les poteaux de la fonction méromorphe. Parfois tous ces poteaux se situent dans une ligne droite. Dans ce cas les mathématiciens peuvent dire que la fonction est " ; holoèdre sur le plane" de coupe ;. Voici un exemple simple.

La fonction gamma , définie près

$\backslash \; =\; du\; gamma\; (z)\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{-\; \backslash \; gamma\; z\}\}\; \{z\}\; \backslash \; ^\; du\; prod\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; est\; parti\; \backslash ,$

là où le γ de est le Euler-Mascheroni constant, et a les poteaux simples à 0, &minus ; 1, &minus ; 2, &minus ; 3,… parce qu'exactement un dénominateur dans le produit infini disparaît quand le z est zéro, ou un nombre entier négatif. Puisque tous ses poteaux se trouvent sur le vrai axe négatif, du z = 0 au point à l'infini, cette fonction pourrait être décrit As

" ; holoèdre sur l'avion de coupe, la coupe se prolongeant le long du vrai axe négatif, de 0 (inclus) au point à infinity." ;

Alternativement, Γ ( z ) pourrait être décrit As

" ; holoèdre dans l'avion de coupe avec le &minus ; π < < d'arg ( z ) ; π et exclusion de du z de point = 0." ;

Noter que cette coupe est légèrement différente de la coupe de branche de que nous avons déjà rencontré, parce qu'elle réellement exclut le vrai axe négatif de l'avion de coupe. La coupe de branche a laissé le vrai axe lié à l'avion de coupe d'un côté (0 θ ≤), mais divisé lui de l'avion de coupe le long de l'autre côté (< de θ de ; π de 2 ).

Naturellement, il n'est pas réellement nécessaire d'exclure la ligne segment entière du z = 0 au &minus ; ∞ pour construire un domaine dans lequel Γ ( z ) est holoèdre. Tout que nous vraiment devons faire est la piqûre l'avion à un ensemble de points comptable infini {0, &minus ; 1, &minus ; 2, &minus ; 3,…}. Mais une découpe fermée dans l'avion perforé pourrait encercler un ou plusieurs des poteaux de Γ ( z ), donnant une intégrale qui n'est pas nécessairement zéro, par le théorème de résidu de . En coupant le plan complexe nous nous assurons non seulement que Γ ( z ) est holoèdre dans ce &ndash restreint de domaine ; nous nous assurons également que l'intégrale de Γ au-dessus de n'importe quelle courbe fermée se situant dans l'avion de coupe est identiquement égale à zéro. Et ceci peut être important dans quelques arguments mathématiques.

Spécification des régions de convergence

Beaucoup de fonctions complexes sont définies par la série infinie , ou par les fractions continues . Une considération fondamentale dans l'analyse de ces expressions infiniment longues identifie la partie du plan complexe en lequel elles convergent à une valeur finie. Une coupe dedans l'avion peut faciliter ce processus, car les exemples suivants montrent.

Considérer la fonction définie par la série infinie

$f\; (z)\; =\; \backslash \; ^\; du\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; sont\; partis\; (z^2\; +\; n\; \backslash \; droit)\; du\; ^\; \{-\; 2\}.\; \backslash ,$

Depuis le z ² = (&minus ; le z ) ² pour chaque z , il de nombre complexe est clair que le f ( z ) soit une fonction égale du z , ainsi l'analyse peut être limitée à la moitié du plan complexe. Et puisque la série est non définie quand

$z^2\; +\; n\; =\; 0\; \backslash quadruple\backslash ,\; =\; de\; Leftrightarrow\; \backslash \; quadruple\; z\; \backslash \; P.\; i\; \backslash \; racine\; carrée\; \{n\}\; \backslash ,$

il semble raisonnable de couper l'avion le long de l'axe imaginaire entier et d'établir la convergence de cette série où la partie réelle de z n'est pas zéro avant d'entreprendre la tâche plus laborieuse du de examen f ( z ) quand le z est un nombre imaginaire pur.

Dans cet exemple la coupe est une seule convenance, parce que les points auxquels la somme infinie est non défini sont isolés, et le a coupé l'avion de peut être remplacé par convenablement un avion de perforé par . Dans quelques contextes la coupe est nécessaire, et pas simplement commode. Considérer la fraction continue périodique infinie

$f\; (z)\; =\; 1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{\backslash \; ddots\}\}\}\}.\; \backslash ,$

Il peut montrer que le f ( z ) converge à une valeur finie si et seulement si le z n'est pas un vrai nombre négatif tels que < du z ; &minus ; ¼. En d'autres termes, la région de convergence pour cette fraction continue est l'avion de coupe, où la coupe fonctionne le long du vrai axe négatif, du &minus ; ¼ au point à l'infini.

Collant le dos d'avion de coupe ensemble

voient également :

extérieur de Riemann

Nous avons le déjà vu comment le rapport

$W\; =\; f\; (z)\; =\; \backslash \; P.\; \backslash \; racine\; carré\; \{z\}\; =\; z^\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash ,$

peut être transformé en fonction single-valued en dédoublant le domaine du f dans deux feuilles débranchées. Il est également possible au " ; glue" ; ces deux feuilles soutiennent ensemble pour former un simple Riemann extérieur sur lequel le f ( z ) = le ½ de ^{du z peut être défini comme fonction holoèdre dont l'image est le entier W - avion (excepté le W de point = 0). Voici comment ce travaille.}

Imaginer deux copies du plan complexe de coupe, les coupes se prolongeant le long du vrai axe positif du z = 0 au point à l'infini. Sur une feuille définir 0 < d'arg de ≤ ( z ) ; π de 2 , de sorte que ½ 1 = e ⁰ = 1, par définition. Sur la deuxième feuille définir 2 le < d'arg de ≤ du π de ( z ) ; π de 4 , de sorte que ½ 1 = iπ ^{du e} = &minus ; 1, encore par définition. Renverser maintenant la deuxième feuille upside-down, ainsi les points imaginaires d'axe dans la direction opposée de l'axe imaginaire sur la première feuille, avec les deux vraies haches se dirigeant dans la même direction, et le " ; glue" ; les deux feuilles ensemble (de sorte que le bord sur la première feuille ait marqué le " ; θ de = 0" ; est relié au bord marqué " ; θ < 4 " du π de ; sur la deuxième feuille, et le bord sur la deuxième feuille a marqué le " ; θ de = 2 " du π de ; est relié au bord marqué " ; θ < 2 " du π de ; sur la première feuille). Le résultat est le domaine extérieur de Riemann sur lequel le f ( z ) = le ½ de ^{du z est single-valued et holoèdre (excepté quand z = 0).}

Random links:

Bruns lac, le Wisconsin | John Trenchard | Lalak janv. | Liste de leaders d'État en 1342 | Société des mathématiciens, des physiciens et des astronomes de la Slovénie | Plano_complejo

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