Pfaffian

Dans les mathématiques , le déterminant d'une matrice Biaiser-symétrique peut toujours être écrit comme place d'un polynôme dans les entrées de matrice. Ce polynôme s'appelle le Pfaffian de la matrice. Le Pfaffian nonvanishing seulement pour 2 × du n ; 2 matrices biaiser-symétriques du n , dans ce cas c'est un polynôme du n de degré.

Exemples

0 \ extrémité {bmatrix} =a.

{pf} \ commencent {bmatrix} \ de 0 et d'a et de b et de c \ - a et 0 et \ de d et d'e \ - b et - d et \ de 0& f \ - c et - e et - f et 0 \ extrémité {bmatrix} =af-be+dc.

de  \ mbox {pf} \ commencent {bmatrix} \ commencer {matrice} 0 et \ lambda_1 \ \ - \ lambda_1 et 0 \ extrémité {matrice} et 0 et \ cdots et 0 \ \ 0 et \ commencent {matrice} 0 et \ lambda_2 \ \ - \ lambda_2 et 0 \ extrémité {matrice} et et 0 \ \ \ vdots et et \ ddots et \ \ de vdots \ 0 et 0 et \ cdots et \ commencent {matrice} 0 et \ \ de lambda_n \ - \ lambda_n et 0 \ extrémité {la matrice} \ = de fin {bmatrix} \ lambda_1 \ lambda_2 \ cdots \ lambda_n.

Définition formelle

Laisser le A = { un i, j de _{de } soit 2 une matrice biaiser-symétrique du n du n ×2. Le Pfaffian du A est défini par l'équation = de $\ mathrm de {pf} (a) \ frac {1} {2^n n !}\ sum_ {\ sigma \ dans} de S_ {2n} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ a_ ^ du prod_ {i=1} {n} {\, de sigma (2i-1) \ sigma (2i)}$}

là où le n du S _{2 est le groupe symétrique et le sgn (σ) est la signature du σ.}

On peut se servir de la biaiser-symétrie du A pour éviter d'additionner au-dessus de toutes les permutations possibles de que laissent Π soient l'ensemble de toutes les cloisons de {1, 2,…, 2 n } dans des paires sans souci d'ordre. Il y a (2 &minus de n ; 1) ! ! de telles cloisons. Un ∈ Π de α d'élément, peut être écrit As $\ alpha= \ {(i_1, j_1), (i_2, j_2), \ cdots, (i_n,) de j_n \}$ de

avec le k de _{du i} < k et $i_1 < i_2 de$ _{du j < \ cdots < i_n. Laissé}

$\ pi= \ commencent {bmatrix} 1 et 2 et 3 et 4 et \ cdots et 2n \ \ i_1 et j_1 et i_2 et j_2 et \ cdots et j_ {} de n \ extrémité {bmatrix}$

être une permutation correspondante. Ceci dépend seulement du α de cloison et pas du choix particulier du π. Donné un α de cloison comme ci-dessus définir $de A_ \ alpha = \ a_ a_ d'operatorname {sgn} (\ pi) {i_1, j_1} {i_2, j_2} \ a_ de cdots {i_n, j_n}.$

Le Pfaffian du A est alors donné près $de \ operatorname {pf} (A)= \ sum_ {\ alpha \ dans \ pi} A_ \ alpha.$

Le Pfaffian des × du n un ; la matrice biaiser-symétrique du n pour le n impair est définie pour être zéro, car la cause déterminante d'une matrice biaiser-symétrique impaire est zéro, puisque pour une matrice, un $\ det \, un A = \ det \, un A^T biaiser-symétriques = \ det \, - A = (- 1) ^n \ det \, A$ , et pour le n impair, ceci implique le $\ det \, A = 0$ .

Définition alternative

On peut s'associer à n'importe quel 2 biaiser-symétrique A de matrice du n du n ×2 = { un ij de de _{de } un bivector}

$\ omega= \ sum_ {i$

là où { e ¹, e ²,…, n de e ^{2} est la base standard du R ²ⁿ. Le Pfaffian est alors défini par l'équation $de \ frac {1} {n !}\ = d'omega^n \ mbox {pf} (a) \ ; e^1 \ cale e^2 \ cale \ cdots \ e^ de cale {2n},$ ici le n} de ω^{dénote le produit de cale des copies du n de ω avec lui-même.}

Dérivation de cause déterminante

Le Pfaffian peut être dérivé du déterminant pour une matrice Biaiser-symétrique A de comme suit. Using la formule de Laplace de nous pouvons écrire la cause déterminante As $\ det de a_ de ^ (d'A)= (- 1) {p+1} {p1} A_ {p1} + (- 1) a_ de ^ + d'A_ d'a_ de ^ {p+2} {p2} {p2} \ cdots+ (- 1) {n+p} {PN} A_ {PN},$

là où le $A_ {pi}$ est le p, matrice mineure d'I de la matrice A. Nous employons plus loin la formule de Laplace de pour noter cela $de \ det (A)=|A|^n,$

puisque cette cause déterminante est celle d'un $n \ de matrice des périodes n$ dont les seuls éléments différents de zéro sont les diagonales (chacune avec le det de valeur (A)) et est une matrice dont l'I, composant de jth est l'I la correspondance, matrice de mineur de j. De cette façon, suivant une preuve de Parameswaran, nous pouvons écrire la cause déterminante comme, $\ det de (A) \ équivalent \ Delta_n= \ parti| \ commencer {la rangée} {cccc} &a_ d'a_ {11} {12} et \ \ du cdots&a_ {1n} \ &a_ d'a_ {21} {22} et \ \ du cdots&a_ {2n} \ \ vdots&&& \ vdots \ \ a_ {n1} &a_ {N2} et \ cdots&a_ {} de nn \ extrémité {rangée} \ droit| .$

Le mineur du $\ laissé| \ commencent {rangée} {cc} a_ {11} &a_ {12} \ \ a_ {21} &a_ {22} \ extrémité {rangée} \ droit|$ serait $\ Delta_ {N2}$ . Avec ce $de de notation \ est parti| \ commencer {rangée} {cccc} 1&0& \ cdots&0 \ \ 0&1& \ cdots&0 \ \ &a_ d'a_ {31} {32} et \ \ du cdots&a_ {3n} \ \ cdots& \ cdots& \ \ de cdots& \ cdots \ a_ {n1} &a_ {N2} et \ cdots&a_ {} de nn \ extrémité {rangée} \ droit| \ périodes \ parti| \ commencer {rangée} {cccc} le &A_ d'A_ {11} {21} et \ \ du cdots&A_ {n1} \ &A_ d'A_ {12} {22} et \ \ de cdots&A_ {N2} \ &A_ d'A_ {13} {23} et \ \ du cdots&A_ {n3} \ \ cdots& \ cdots& \ \ de cdots& \ cdots \ A_ {1n} &A_ {2n} et \ cdots&A_ {} de nn \ extrémité {rangée} \ droit|$

\ parti| \ commencent {rangée} {cc} A_ {11} &A_ {21} \ \ A_ {12} &a_ {22} \ extrémité {rangée} \ droit|\ Delta_n^ {N2}

Ainsi

$\ Delta_ {} de N2 \ Delta_n^ {n-1} = \ est parti| \ commencent {rangée} {cc} A_ {11} &A_ {21} \ \ A_ {12} &a_ {22} \ extrémité {rangée} \ droit|\ Delta_n^ {N2}$

Naturellement, c'était seulement arbitrairement que nous avons choisi d'enlever les deux premières rangées, et plus génériquement nous pouvons écrire

$A_ {rr} A_ {solides solubles} - A_ {rs} A_ {Sr} = \ Delta_ {rs,} de rs \ Delta_ {n}$

là où le $\ Delta_ {rs, rs}$ est la cause déterminante de la matrice originale avec les rangées r et s, aussi bien que les colonnes r et s enlevés. L'équation ci-dessus simplifie dans le cas biaiser-symétrique à = de ${\ Delta_ {rs,} de rs \ Delta_n}$ .

Nous branchons maintenant ceci de nouveau dans la formule originale pour la cause déterminante,

$\ Delta_n= (- ^ de 1) {p+1} a_ {p1} \ racine carré {\} {p1, p1 \ Delta_n} de Delta_ + (- 1) ^ {p+2} a_ {p2} \ racine carré {\} {p2, p2 \ Delta_n} de Delta_ + \ cdots+ (- ^ de 1) {n+p} a_ {} de PN \ racine carrée {\ Delta_ {PN,} de PN \ Delta_n},$

ou avec la légère manipulation,

$\ racine carré {\ Delta_n} = (- ^ de 1) {p+1} \ laissé (\ a_ {p1} \ racine carrée {\ Delta_ {p1, p1}} - a_ {p2} \ racine carré {\ Delta_ {p2, p2}} + \ cdots+ (- ^ de 1) {n-1} a_ {} de PN \ racine carrée {\ Delta_ {PN, PN}} \ \ droit),$

Le déterminant est ainsi à angle droit du côté droit, et ainsi nous identifions le côté droit comme Pfaffian.

Identités

Pour 2 × du n un ; 2 biaiser-symétrique A et 2 × arbitraires du n un de matrice du n ; 2 B de matrice du n ,
= de $\ mbox de {pf} (A)^2 \ det (A)$
$de \ mbox {pf} (BAB^T)= \ det (B) \ mbox {pf} (A)$
$A) \ lambda^n \ mbox {pf} (A)$
$de \ mbox {pf} (A^T) = (- ^n de 1) \ mbox {pf} (A)$

pour une matrice bloquer-diagonale le

de
$A_1 \ oplus A_2= \ commencent {bmatrix} A_1 et 0 \ \ 0 et A_2 \ extrémité {bmatrix},$

pf ( A ₂ de de A ₁⊕) = pf ( A ₁) pf ( A ₂).

pour les × arbitraires du n un ; M de matrice du n : de
le $de \ mbox {pf} \ commencent {bmatrix} 0 et \ de M \ - M^T et 0 \ extrémité {bmatrix} = (- 1) ^ {n (n-1) /2} \ det M.$

Applications

le Pfaffian est un polynôme invariable d'une matrice biaiser-symétrique (note qu'elle n'est pas invariable sous un changement général de base mais plutôt sous une transformation orthogonale du approprié ). En soi, il est important dans la théorie des classes de caractéristique de en particulier, il peut être employé pour définir la classe d'Euler de d'une tubulure Riemannian qui est utilisée dans le théorème de Gauss-Capot généralisé par .

le nombre de matchings parfaits dans un le graphique que planaire s'avère être la valeur absolue d'un Pfaffian, par conséquent est temps polynôme calculable. C'est étonnant donné cela pour un graphique général, le problème est très difficile (soi-disant #P-complet). Ce résultat est employé pour calculer la fonction de cloison des modèles d'Ising des verres de rotation dans la physique, respectivement des champs aléatoires de Markov de dans l'étude de machine (Globerson et Jaakkola, 2007), où le graphique fondamental est planaire. Récemment il est également employé pour dériver des algorithmes efficaces pour certains des problèmes autrement apparemment insurmontables, y compris la simulation efficace de certains types de calcul de quantum limité par .

le calcul du nombre de manières possibles le damier de couvrir de tuiles de d'échiquier standard ou 8 by-8 avec 32 dominos est un exemple simple d'un problème qui peut être résolu par l'utilisation de la technique de Pfaffian.816 manières possibles de couvrir de tuiles un échiquier de cette manière. Spécifiquement, 12988816 est le nombre de manières possibles de couvrir une place 8 by-8 de 32 rectangles 1 by-2. 12988816 est un nombre carré : 12988816 ; = ; 3604²). Noter que 12988816 peuvent être écrits sous la forme : $2x1802^2+2x1802^2$ , où tous les nombres ont une racine de Digitals de de 2. le

plus généralement, le nombre de manières de couvrir une place du $2n$ -by- $2n$ de dominos du $2n^2$ (comme calculé indépendamment par Temperley et M. Fisher et Kasteleyn en 1961) est donné par $de \ ^N du prod_ {j=1} \ ^N du prod_ {k=1} \ (4 \ cos^2 \ frac {\ pi j} {2n + 1} + 4 \ cos^2 \ frac {\ pi k} {2n + 1} \ droit)$ laissé le

cette technique peut être appliqué dans beaucoup de sujets mathématique-connexes, par exemple, dans le classique, calcul à deux dimensions du de la fonction de corrélateur de Dimère-dimère de dans la mécanique quantique De .

Histoire

Le Pfaffian de limite a été présenté par le Arthur Cayley , qui a employé le terme en 1852 : " ; Les permutants de cette classe (de leur raccordement avec recherche de Pfaff sur des équations) je nommerai le Pfaffians . " ; La limite honore le allemand Johann Friedrich Pfaff de mathématicien.

Voir également

dimère
Polyomino
Mécanique statistique

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