Permanent

Dans l'algèbre linéaire , le permanent d'une matrice est une fonction d'une matrice liée au déterminant. La constante aussi bien que la cause déterminante sont des polynômes des entrées de la matrice.

Définition

Un n - par le A de matrice du n = ( un i, j de _{de ) est défini As $de \ operatorname {permanente} (A)= \ sum_ {\ sigma \ dans S_n} \ a_ ^n du prod_ {i=1} {, d'I \ sigma (i)}.$ La somme ici se prolonge au-dessus de tout le &sigma d'éléments ; du symétrique n du groupe S_{de , c. au-dessus de toutes les permutations des numéros 1, 2,…, n .}
Par exemple, le $de \ operatorname {permanente} \ commencent {\ d'a&b de pmatrix} \ c&d \ extrémité {pmatrix} =ad+bc.$
La définition de la constante du A diffère de celle du déterminant du A parce que les signatures des permutations ne sont pas tenues compte. Si on regarde la constante comme carte qui prend le n dirige comme arguments, alors c'est une carte multilinéaire et il est symétrique (la signification cet n'importe quel ordre des vecteurs a comme conséquence la même constante). Une formule semblable au de Laplace de pour le développement d'une cause déterminante le long d'une rangée ou d'une colonne est également valide pour la constante ; tous les signes doivent être ignorés pour la constante.

Applications
À la différence de la cause déterminante, la constante n'a aucune interprétation géométrique facile ; elle est principalement employée dans la combinatoire . La constante décrit le nombre de matchings parfaits dans un graphique bipartite . Plus spécifiquement, laisser le G être un graphique bipartite avec le A ₁, le A ₂,…, n} de _{du A d'un côté et B ₁, le B ₂ des sommets ,…, le n} de _{du B de l'autre côté. Puis, le G peut être décrit par un n - par le A de matrice du n = ( un i, j} de _{de ) où un i, j de _de = 1 s'il y a un bord entre le i} de _{du A de sommets et le j} de _{du B et le un i de _{de , j} = 0 autrement. La constante de cette matrice est égale au nombre de matchings parfaits dans le graphique.
Complexité
Il est également plus difficile calculer la constante que la cause déterminante. Tandis que la cause déterminante peut être calculée dans le temps polynôme par l'élimination gaussienne , l'élimination gaussienne ne peut pas être employée pour calculer la constante. D'ailleurs, calculant la constante d'une matrice 0-1 (la matrice dont les entrées sont 0 ou 1) est le #P-complet (preuve ). Ainsi, si la constante peut être calculée dans le temps polynôme par n'importe quelle méthode, puis du point de gel de ; = ; #P de qui est un rapport encore plus fort que le P de ; = ; Le NP . Quand les entrées du A sont non négatives, cependant, la constante peut être le calculé approximativement dans le temps polynôme probabiliste du , jusqu'à une erreur de &epsilon ; M , où le M est la valeur de la constante et du &epsilon ; > 0 est arbitraire.
Immanant
La constante et la cause déterminante sont les deux cas spéciaux du immanant : Donné un le caractère complexe $\ chi de : S_n \ rightarrow \ mathbb {C}$ du groupe symétrique $S_n$ , la correspondance immanant au $\ chi$ d'un n - par le A de matrice du n est

$\ operatorname {IMM} _ \ chi (A)= \ sum_ {\ sigma \ dans} de S_n \ chi (\ sigma) \ a_ ^n de prod_ {i=1} {, d'I \ sigma (i)}.$
La constante est récupérée de cette définition en prenant le $\ chi$ pour être le $\ sigma \ mapsto insignifiants 1$ de caractère, et la cause déterminante est récupérée en prenant le $\ chi$ pour être la fonction de signe $sgn$ , qui est le caractère irréductible unidimensionnel non trivial unique de $S_n$ .

Voir également

déterminant
Le Bapat-Prient le théorème , une application de constante dans les statistiques d'ordre .
Random links: Comté de Douglas, Nevada | Tailles de Bedford, Ohio | Pat LaMarche | Darren Carter | Octurn | Permanente}