Pente

La pente est employée souvent pour décrire la mesure de l'inclination, de la pente, du gradient, ou de la catégorie d'une ligne droite . Une valeur plus élevée de pente indique une pente plus raide. La pente est définie comme rapport du " ; " de l'élévation ; divisé par le " ; " de la course ; entre deux points sur une ligne, ou en d'autres termes, le rapport du changement d'altitude à la distance horizontale entre deux points quelconques sur la ligne. C'est également toujours la même chose que combien d'élévations d'une fonctionnent.

Using le calcul , on peut calculer la pente de la tangente à une courbe à un point.

Le concept de la pente, et beaucoup de cet article, s'applique directement aux catégories ou aux gradients dans la géographie et le génie civil .

Définition de pente

La pente d'une ligne dans l'avion contenant les haches du X et du y est généralement représentée par le m de lettre, et est définie pendant que le changement du y coordonnent divisé par le changement correspondant du X du même rang, entre deux points distincts sur la ligne. Ceci est décrit par l'équation suivante : = de

m de  \ frac {\ delta y} {\ delta X}.

(Le symbole , " de de delta de ; Δ ", est utilisé généralement dans les mathématiques pour signifier le " ; difference" ; ou " ; change" ;.)

Donné deux points ( X ₁, y ₁) et ( X ₂, y ₂), le changement du X d'un à l'autre est le X ₂ - le X ₁, alors que le changement du y est le y ₂ - le y ₁. La substitution de les deux quantités dans l'équation ci-dessus obtient ce qui suit : = de $m de \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}.$

Définition scientifique : Le taux auquel un objet accélère sur une distance contre le graphique de temps est montré. Calculé par Slope = élévation/course d'un graphique. Depuis le y - axe est vertical et le X - l'axe est horizontal par convention, l'équation ci-dessus est souvent mémorisé comme " ; élévation au-dessus de run" ; , où le y de Δ est le " ; rise" ; et le X de Δ est le " ; run" ;. Par conséquent, par convention, le m est égal au changement du y , la coordonnée verticale, divisée par le changement du X , la coordonnée horizontale ; c'est-à-dire, le m est le rapport des changements. Ce concept est fondamental à l'algèbre , à la géométrie analytique , à la trigonométrie , et au calcul .

Noter que la manière les points sont choisies sur la ligne et leur ordre n'importe pas ; la pente sera la même dans chaque cas. D'autres courbes ont le " ; accélérant le " de ; les pentes et une peuvent employer le calcul pour déterminer de telles pentes.

Exemples

Supposer qu'une ligne fonctionne par deux points : P (1, 2) et Q (13, 8) . En divisant la différence dans le y - coordonnées par la différence dans le X - les coordonnées, une peuvent obtenir la pente de la ligne :

m de = \ = de frac {\ delta y} {\ delta X} \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \ frac {8 - 2} {13 - 1} = \ 12} = du frac {6} {\ frac {1} {2}.

La pente est du 1/2 = 0.

En tant qu'autre exemple, considérer une ligne qui fonctionne par les points (4, 15) et (3, 21). Puis, la pente de la ligne est = de $m de \ frac {21 - 15} {3 - 4} = \ frac {6} {- 1} = -6.$

La géométrie

Plus la valeur absolue d'une pente est grande, plus la ligne est raide. Un trait horizontal a la pente 0, une ligne 45° de montée a une pente de +1, et une ligne 45° en baisse a une pente de -1. Une pente de ligne verticale est éliminé par .

Le θ d'angle qu'une ligne fait avec l'axe positif du X est étroitement lié au m de pente par l'intermédiaire de la fonction de la tangente : = de $m de \ tan \, \ theta$ et $de \ thêta = \ arctan \, m$ (voir la trigonométrie ).

Deux lignes sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales et elles ne sont pas coïncidentes ou si elles toutes les deux sont verticales et donc n'ont pas éliminé des pentes. Deux lignes sont le perpendiculaire si et seulement si le produit de leurs pentes est -1 ou on a une pente (d'un trait 0 horizontal) et l'autre a une pente non définie (une ligne verticale).

Pente d'une route articles principaux de de de

: Catégorie de (pente) , séparation de catégorie Il y a deux manières communes de décrire combien raide une route ou le chemin de fer est. On est par l'angle en degrés, et l'autre est par la pente dans un pourcentage. Voir également le chemin de fer de montagne de . Les formules pour convertir une pente comme pourcentage en angle en degrés et sont vice versa :

de \ mbox {angle} = \ arctan \ frac {\ mbox {pente}} {100},

et, de

\ mbox de {pente} = 100 \ tan (\ mbox {angle}) \,

là où l'angle de est en degrés et fonctions de trigonométrie fonctionner en degrés. Par exemple, une pente de 100% est 45°.

Une troisième manière est de donner une unité d'élévation disent dedans 10, 20, 50 ou 100 unités horizontales, par exemple 1h10. 1h20, 1h50 ou 1:100 (etc.

Algèbre

Si le y est une fonction linéaire du X , alors le coefficient de X est la pente de la ligne créée en traçant la fonction. Par conséquent, si l'équation de la ligne est donnée dans le de forme

y = MX + b \,

alors le m est la pente. Cette forme de l'équation d'une ligne s'appelle le pente-arrêtent la forme , parce que le b peut être interprété comme Y-arrêtent de la ligne, le y - coordonner où la ligne intersecte le y - axe.

Si le m de pente d'une ligne et un point ( X ₀, y ₀) sur la ligne toutes les deux sont connus, alors l'équation de la ligne peut être trouvée using la formule de point-pente de : ) x_0 \, $y de - y_0 = m (x -.$ < ! -- \, \ ! force un png rendent, qui se débarasse d'un bogue provoqué par le rendu de HTML -->

Par exemple, considérer une ligne fonctionnant par les points (2, 8) et (3, 20). Cette ligne a une pente, le m , du $de \ du frac {(20 - 8)} {(3 - 2)} \ ; = 12 \,$ . On peut alors écrire l'équation de la ligne, sous la forme de point-pente : - 8 = 12 (x - 2) $y = 12x - 24 \,$ ou : $y = 12x - 16 \,$ .

La pente d'une équation linéaire sous la forme générale : $Ax de + par + C = 0 \,$ est donné par la formule :

$\ frac {- A} {} de B \ ; \,$ .

Calcul

Le concept d'une pente est central au calcul différentiel . Pour des fonctions non linéaires, le taux de changement varie le long de la courbe. Le dérivé de la fonction à un point est la pente de la ligne la tangente à la courbe au point, et est ainsi égal au taux de changement de la fonction à ce point.

Si nous laissions le X de Δ et le y de Δ être les distances (le long des haches de X et de y , respectivement) entre deux points sur une courbe, puis la pente donnée par la définition ci-dessus, = de $m de \ frac {\ delta y} {\ delta X}$ ,

est la pente d'une ligne sécante à la courbe. Pour une ligne, la sécante entre deux points quelconques est la ligne elle-même, mais ce n'est pas la caisse pour aucun autre type de courbe.

Par exemple, la pente du de intersection sécant y = ² du X à (0.9) est du m ; = ; (9 ; - ; 0) ; / ; (3 ; - ; 0) ; = ; 3 (à la laquelle s'avère justement être la pente de la tangente, et seulement à, X = 1.5, une conséquence du théorème de valeur moyenne ).

En rapprochant les deux points plus étroitement de sorte que le y de Δ et diminution du X de Δ, la ligne sécante approche plus étroitement une ligne de tangente de la courbe, et en tant que tels la pente de la sécante approche cela de la tangente. Using le calcul différentiel , nous pouvons déterminer la limite , ou la valeur que le X du y /Δ de Δ approche comme y de Δ et X de Δ obtiennent plus près de zéro ; elle suit que cette limite est la pente exacte de la tangente. Si le y dépend du X , alors il est suffisant de prendre la limite où seulement les approches zéro du X de Δ. Par conséquent, la pente de la tangente est la limite du X du y /Δ de Δ car les approches zéro du X de Δ. Nous appelons cette limite le dérivé .

Voir également

Le gradient est une généralisation du concept de la pente pour des fonctions de plus que celles variables.
Définitions de pente de

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