Pendule inversé

Un pendule inversé par (également appelé un chariot et un poteau ) se compose d'une tige mince fixée à son fond à un chariot mobile. Considérant qu'un pendule normal est stable en accrochant en bas, un pendule inversé vertical est en soi instable, et doit être activement équilibré afin de rester droit, typiquement en déplaçant le chariot horizontalement en tant qu'élément d'un système de la rétroaction .

Le pendule inversé est un problème classique dans la dynamique et la théorie de commande et employé couramment comme repère pour des algorithmes de commande d'essai (réseaux neurologiques de contrôleurs PID, algorithmes génétiques etc. Les variations sur ce problème incluent des liens multiples, permettant au mouvement du chariot d'être commandé tout en maintenant le pendule, et équilibrant le système de chariot-pendule sur une balançoir. Le pendule inversé est lié aux conseils de fusée ou de missile, où la poussée est actionnée au fond d'un véhicule grand. L'entente d'un problème semblable est instaurée dans la technologie du Segway , un dispositif de individu-équilibrage de transport. La plus grande utilisation mise en application sont sur les grues de levage énormes sur des chantiers navaux. En déplaçant les récipients d'expédition dans les deux sens, les grues déplacent la boîte en conséquence de sorte qu'il jamais des oscillations ou des balancements. Il reste toujours parfaitement placé sous l'opérateur même lorsque se déplaçant ou s'arrêtant rapidement.

Une autre manière qu'un pendule inversé peut être stabilisé, sans n'importe quel mécanisme de rétroaction ou de commande, est en oscillant l'appui rapidement en haut et en bas. Si l'oscillation est suffisamment forte (en termes de son accélération et amplitude) puis le pendule inversé peut récupérer des perturbations d'une façon de façon saisissante contre-intuitive. Si le point moteur se déplace le mouvement harmonique simple , le mouvement du pendule est décrit par l'équation de Mathieu de .

Dans la pratique, le pendule inversé est fréquemment fait d'une bande en aluminium, monté sur un pivot de roulement à billes ; la force oscillante est commodément appliquée avec une scie sauteuse .

Équations du mouvement

Pendule sur un chariot

Les équations du mouvement peuvent être dérivées facilement using les équations de Lagrange de . En référence au schéma où x (t) est la position du chariot, $\backslash \; thêta\; (t)$ est l'angle du pendule en ce qui concerne la direction verticale et les forces temporaires sont pesanteur et une force externe dans la x-direction, le $L\; lagrangien\; du\; =\; T\; -\; V$, où T est l'énergie cinétique dans le système et le V l'énergie potentielle, ainsi l'expression écrite pour $L$ est :

$L\; =\; \backslash \; +\; du\; frac\; \{1\}\; \{2\}\; M\; v\_1^2\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; m\; v\_2^2\; -\; m\; g\; \backslash \; aune\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta$ là où $v\_1$ est la vitesse du chariot et du $v\_2$ est la vitesse de la masse $m$ de point. $v\_1$ et $v\_2$ peuvent être exprimés en termes de x et $\backslash \; theta$ en écrivant la vitesse comme première dérivée de la position ;

$v\_1^2=\; \backslash \; point\; x^2$

$v\_2^2=\; (\{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; est\; parti\; (\backslash \; aune\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; droit)\})\; ^2\; +\; (\{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; laissé\; (x+\; \backslash \; aune\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; droits)\})\; ^2$ La simplification de l'expression pour $v\_2$ mène à :

$v\_2^2=\; \backslash \; point\; x^2\; +2\; \backslash \; point\; X\; \backslash \; aune\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; +\; de\; thêta\; \backslash \; ell^2\; \backslash \; point\; \backslash \; theta^2$

Le lagrangien est maintenant donné par :

$L\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; est\; parti\; (M+m\; \backslash )\; droit\; \backslash \; point\; x^2\; +m\; l\; \backslash \; point\; X\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; +\; de\; thêta\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; m\; l^2\; \backslash \; point\; \backslash \; theta^2-m\; g\; l\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta$ et les équations du mouvement sont :

$\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \{\backslash \; point\; X\}\}\; -\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; x\; partiel\}\; =\; F$

$\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \{\backslash \; point\; \backslash \; thêta\}\}\; -\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; =\; 0$ la substitution de L dans ces équations et la simplification mène aux équations qui décrivent le mouvement du pendule inversé :

$\backslash \; est\; parti\; (M\; +\; m\; \backslash )\; droit\; \backslash \; ddot\; X\; +\; m\; l\; \backslash \; ddot\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; -\; m\; l\; \backslash \; point\; \backslash \; theta^2\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; =\; F$

$m\; l\; (-\; +\; de\; g\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; ddot\; X\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; +\; l\; \backslash \; ddot\; \backslash \; thêta)\; =\; 0$ Ces équations sont non linéaires, mais puisque le but d'un système de contrôle serait de maintenir le pendule droit les équations peuvent être linéarisées autour du $\backslash \; du\; thêta\; \backslash \; approximativement\; du\; 0$.

Pendule avec la base oscillante

L'équation du mouvement pour un pendule avec une base oscillante est dérivée la même manière qu'avec le pendule sur le chariot, using le lagrangien.
La position de la masse de point est maintenant donnée par : le $de\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; aune\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta,\; y\; +\; \backslash \; aune\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; droit)$ et la vitesse est trouvée en prenant la première dérivée de la position : $v^2=\; \backslash \; point\; y^2-2\; \backslash \; aune\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; \backslash \; point\; y\; \backslash \; +\; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; ell^2\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; ^2.$

Le lagrangien pour ce système peut être écrit comme :

$L\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; m\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; point\; y^2-2\; \backslash \; aune\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; \backslash \; point\; y\; \backslash \; +\; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; ell^2\; \backslash \; point\; \backslash \; thêta\; ^2\; \backslash \; droit)\; -\; m\; g\; \backslash \; est\; parti\; (y\; +\; \backslash \; aune\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; droits)$ et l'équation du mouvement suit de :

$\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \{\backslash \; point\; \backslash \; thêta\}\}\; -\; \{\backslash \; partiel\; \{L\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; =\; 0$ ayant pour résultat :

$\backslash \; -\; d\text{'}aune\; \backslash \; ddot\; \backslash \; thêta\; \backslash \; ddot\; y\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; =\; g\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta.$ Si y représente un mouvement harmonique simple , $y\; =\; a\; \backslash \; péché\; \backslash \; Omega\; t$, l'équation suivant est :

$\backslash \; ddot\; \backslash \; thêta\; -\; \{g\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \}\; d\text{'}aune\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; =\; -\; \{a\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \}\; d\text{'}aune\; \backslash \; omega^2\; \backslash \; péché\; \backslash \; Omega\; t\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta.$

Une solution pour cette équation prouvera que le pendule reste droit pour des oscillations fortes. La première parcelle de terrain prouve que quand $y$ est une oscillation lente, le pendule tombe rapidement au-dessus de une fois perturbé de la position droite. Le $d\text{'}angle\; \backslash \; theta$ dépasse 90° après une brève durée, qui signifie que le pendule est tombé sur le ground.
si $y$ est une oscillation rapide que le pendule peut être maintenu stable autour de la position verticale. La deuxième parcelle de terrain prouve qu'une fois perturbé à partir de la position verticale, le pendule commence maintenant une oscillation autour de la position verticale ($\backslash \; thêta\; =\; 0$). La déviation de la position verticale reste petite, et le pendule ne tombe pas plus de.

Voir également

Eunicycle
Unicycle robotique
Segway
Pendule inversé par double
Pendule de volant de

.

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