Paquet de tangente

Dans les mathématiques , le paquet de tangente de d'un lissent (ou différentiable) le divers M de , dénoté par le T (le M ) ou juste le TM , est le disjoignent l'union des espaces de tangente des points de = de $TM\; de\; du\; M\; \backslash \; coprod\_\; \{x\; \backslash \; en\; M\}\; T\_xM.$ Un élément du TM est une paire ( X , v ) où &isin du X ; &isin du M et du v ; M , l'espace de tangente du X de _{du T au X . Il y a un $normalde\; de\; projection\; \backslash \; pi\; \backslash \; deux\; points\; TM\; \backslash \; à\; M\; \backslash ,$ ce qui envoie ( X , v ) au bas X de point.}

Topologie et structure douce

Le paquet de tangente vient équipé d'une topologie normale (le pas le disjoignent la topologie des syndicats) et de la structure douce afin de la transformer en tubulure à son propre chef. La dimension du TM est deux fois la dimension du M .

Chaque espace de tangente d'un n - tubulure dimensionnelle est un n - l'espace de vecteur dimensionnel. Si le U est un sous-ensemble contractible du ouvert de M , alors il y a un Diffeomorphism des × du TU au U ; n de ^{du R qui limite à un isomorphisme linéaire chaque X } du U du X de _{du T de l'espace de tangente des × {; n}} de ^{du R . Car une tubulure, cependant, le TM n'est pas toujours diffeomorphic aux × du M de tubulure de produit ; n} de ^{du R . Quand il est des × du M de forme ; Le n} de ^{du R , alors le paquet de tangente serait le insignifiant. Les paquets insignifiants de tangente se produisent habituellement avec les espaces topologiques insignifiants ou quand il y a l'action de groupe spéciale . Par exemple, dans le cas où la tubulure est un ensemble ouvert dans le n} de ^{du R . Également le paquet de tangente du cercle d'unité est insignifiant parce que c'est un groupe de Lie qui agit sur lui-même. Juste comme des tubulures sont localement modelées sur (les sous-ensembles ouverts de) l'espace euclidien , des paquets de tangente sont localement modelés sur des × du U ; n} de ^{du R , où le U est un sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien.}

Si le M est un doux n - tubulure dimensionnelle, alors lui vient équipé d'un atlas des diagrammes (_{&alpha de U ;} , &phi ; _{&alpha ;} ) où _{&alpha du U ;} est un ensemble ouvert dans le M et le $de\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; deuxpointsU\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; R^n$ est un Diffeomorphism . Ces coordonnées locales sur le U provoquent un isomorphisme entre le M du X de <sub>du T et le n de <sup>du R pour chaque &isin du X ; U . Nous peut puis définir carte

$\backslash \; tilde\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; deux\; points\; \backslash \; pi^\; \{-\; 1\})\; (d\text{'}U\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; R^\; \{2n\}$ par le $\backslash \; tilde\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha\; de\; (x,\; v^i\; \backslash \; partial\_i)\; =\; (\backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha\; (x),\; v^1,\; \backslash \; cdots,\; v^n)$ Nous employons ces cartes pour définir la topologie et la structure douce sur le TM . Un A de sous-ensemble du TM est ouvert si et seulement si $\backslash \; tilde\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha\; (A\; \backslash \; chapeau\; \backslash \; pi^\; \{-\; 1\}\; (U\_\; \backslash \; alpha))$ est ouvert dans le n</sup> du R ^{2 pour chaque &alpha ;. Ces cartes sont alors des homeomorphisms entre les sous-ensembles ouverts de TM et le n} du R ^{2 et servent donc de diagrammes à la structure douce sur le TM . Les fonctions de transition sur le $de\; chevauchements\; de\; diagramme\; \backslash \; pi^\; \{-\; 1\}\; (U\_\; \backslash \; alpha\; \backslash \; chapeau\; U\_\; \backslash \; bêta)$ sont induites par les matrices de Jacobian de la transformation du même rang associée et sont donc les cartes lisses entre les sous-ensembles ouverts de n} du R ^2.</sub>

Le paquet de tangente est un exemple d'une construction plus générale appelée un paquet (qui est lui-même de vecteur de un genre spécifique de faisceau de fibres ). Explicitement, le paquet de tangente à un n - le divers dimensionnel M peut être défini comme paquet luxuriant de vecteur du n au-dessus du M dont les fonctions de transition sont données par le Jacobian des transformations du même rang associées.

Exemples

L'exemple le plus simple est celui du n de ^{du R . Dans ce cas-ci le paquet de tangente est insignifiant et isomorphe au n} du R 2. Un autre exemple simple est le cercle d'unité , le S ¹. Le paquet de tangente du cercle est également insignifiant et isomorphe aux × du S ¹ ; R . Géométriquement, c'est un cylindre de taille infinie (voir l'image sur la droite supérieure).

Malheureusement, les seuls paquets de tangente qui peuvent être aisément visualisés sont ceux de la vraie ligne le R et du S ¹ de cercle d'unité, qui sont insignifiants. Pour les tubulures à deux dimensions le paquet de tangente est 4 dimensionnels et par conséquent pas facilement visualizable.

Un exemple simple d'un paquet non trivial de tangente est celui du S ² de sphère d'unité : ce paquet de tangente est non trivial par suite du théorème velu de boule de .

Champs de vecteur

Une attribution sans heurt d'un vecteur de tangente à chaque point d'une tubulure s'appelle un champ de vecteur . Spécifiquement, un champ de vecteur sur un divers M est un $V\; de\; de\; la\; carte\; \backslash \; deux\; points\; doux\; M\; \backslash \; à\; TM$ tels que l'image du X , le dénoté X de _{du V , se situe dans le M du X} de _{du T , l'espace de tangente au X . Dans la langue des faisceaux de fibres, une telle carte s'appelle une section de . Un champ de vecteur sur le M est donc une section du paquet de tangente de M .}

L'ensemble de tous les champs de vecteur sur le M est dénoté par &Gamma ; ( TM ). Les champs de vecteur peuvent être supplémentaire ensemble _x = V_x + W_x du

Un champ de vecteur local sur le M est une section locale de du paquet de tangente. C'est-à-dire, un champ de vecteur local est défini seulement sur un certain ouvert d'ensemble U dans le M et assigne à chaque point de U un vecteur dans l'espace de tangente associé. L'ensemble de champs de vecteur locaux sur le M forme une structure connue sous le nom de gerbe des vrais espaces de vecteur sur le M .

Champ de vecteur canonique sur $TM$

Sur chaque TM de paquet de tangente on peut définir un champ de vecteur canonique. Si ( X , v ) sont les coordonnées locales pour le TM , le champ de vecteur a = de $de\; d\text{'}expression\; V\; \backslash \; sum\_i\; \backslash \; est\; parti.\; v^i\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; v^i\; partiel\}\; \backslash \; droit|\_\; \{(x,\; v)\}.$ Précisons que le V agit en tant que $Vde\; carte\backslash \; deux\; points\; TM\; \backslash \; à\; TTM$. On peut également prouver que le V ne dépend pas des coordonnées locales choisies pour le TM .

L'existence d'un tel champ de vecteur sur le TM peut être comparée à l'existence d'une 1 forme canonique sur le paquet de Cotangent de . Parfois le V s'appelle également le champ de vecteur de Liouville, ou le champ de vecteur radial. Using le V on peut caractériser le paquet de tangente. Essentiellement, le V peut être caractérisé using 4 axiomes, et si une tubulure a un champ de vecteur satisfaire ces axiomes, alors la tubulure est un paquet de tangente et le champ de vecteur est le champ de vecteur canonique là-dessus. Voir par exemple, De León et autres.

Ascenseurs

Il y a de diverses manières de soulever des objets sur le M dans des objets sur le TM . Par exemple, si le c est une courbe dans le M , puis le c (la tangente de de c ) est une courbe dans le TM . Précisons que sans d'autres prétentions sur le M (dire, un métrique Riemannian), il n'y a aucun ascenseur semblable dans le paquet de Cotangent de .

L'ascenseur vertical de d'un $f\; de\; fonction\; \backslash \; deux\; points\; M\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ est le f^v de $de\; fonction\; \backslash \; deux\; points\; TM\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ défini près $f^v=f\; \backslash \; circ\; \backslash \; pi$, où le $\backslash \; pi\; \backslash \; deux\; points\; TM\; \backslash \; à\; M$ est projection canonique.

Paquets évolués de tangente

Un paquet de second ordre de tangente peut être défini par l'intermédiaire de l'application répétée du paquet de tangente :

$T^2\; M\; =\; T\; (TM).$

Juste comme des fonctions de transition sur des chevauchements de diagramme sont induites par les matrices de Jacobian des fonctions de transition correspondantes, des cartes du second degré sont induites par le tenseur

= du $J\_\; \{I,\; j,\; k\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; phi\_\; \backslash \; alpha^i\}\; \{\backslash \; u^j\; partiel\; \backslash \; u^k\; partiel\}.$

Généralement le $T^k\; M$ de paquet de tangente de $k$th-order peut être défini inductivement comme $T\; (T^\; \{k-1\}\; M)$. Officieusement ces tangentes évoluées peuvent être considérées en tant que dérivés évolués.

Voir également

Pushforward (différentiel)
Champ de vecteur
Paquet de Cotangent de
Paquet de vue de
Isomorphisme musical

.

Random links:

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