Paquet de retrait

Dans les mathématiques , un paquet de retrait de ou le le paquet induit est une construction utile dans la théorie des faisceaux de fibres indiqués un &pi de de faisceau de fibres ; : &rarr du E ; B et un continu f de la carte : &prime du B ; &rarr ; Le B un peut définir un " ; pullback" ; du E par le f comme f * E de paquet au-dessus de &prime du B ;. La fibre du f * E au-dessus d'un de point X dans le &prime du B ; est juste la fibre du E au-dessus du f ( X ). Ainsi f * le E est le disjoignent l'union de toutes ces fibres équipées d'une topologie appropriée .

Définition formelle

Laisser le &pi de ; : &rarr du E ; Le B soit un faisceau de fibres avec le abstrait F de fibre et a laissé le f : &prime du B ; &rarr ; Le B soit une carte continue . Définir le paquet de retrait de par = de $f^ de {*} E \ {(x, e) \ dans B \ périodes E \ mi f (x) = \ pi (e) \} \ B'\ de sous-ensemble chronomètre E$ et l'équiper de la topologie de sous-espace de et du &pi de carte de projection ; &prime ; : &rarr du E du f ^* ; &prime du B ; donné par la projection sur le premier facteur, c., $de \ pi'(X, e) = X. \,$ La projection sur le deuxième facteur donne un $de carte \ tilde f \ f^ de deux points {*} E \ à E$ tels que le suivant de diagramme permute :

Si ( U , &phi ;) est un trivialization local du E puis (^{&minus de f ; 1} U , &psi ;) est un trivialization local du E du f ^* où le $(x, e) = (, de x \ mbox {proj} _2 (\ phi (e))). \,$ Il suit alors que le E du f ^* est un faisceau de fibres au-dessus de &prime du B ; avec le F de fibre. Le E du f ^* de paquet s'appelle le retrait de du E par le f ou le paquet de induit par le f . Le $\ tilde f$ est alors un f de bâche du morphism de paquet de .

Propriétés

N'importe quel s de la section du E au-dessus du B induit une section du E du f ^*, appelée le s du f ^* de la section de retrait de , simplement en définissant des $f^*s=s \ circ f$ .

Si le &rarr du E de paquet ; Le B a le du groupe de structure de G avec l'ij de de _{du t de fonctions de transition (en ce qui concerne une famille des trivializations locaux {( i}, &phi de _{de U ; i} de _{)} ) alors le E du f ^* de paquet de retrait a également le G de groupe de structure. Transition fonction dans f ^* E sont donné par

$f^ {*} t_ {ij} = t_ {} d'ij \ circ f.$}

Si &rarr du E ; Le B est un paquet de vecteur de ou le paquet principal puis ainsi est le E du f ^* de retrait. Dans le cas d'un paquet principal la bonne action du G sur le E du f ^* est donnée par le $de (x, e) \ cdot g = (x, e \ cdot g)$ Elle alors suit que le $de carte \ tilde f$ est Equivariant et ainsi définit un morphism de principaux paquets.

Dans la langue de la théorie de catégorie de , la construction de paquet de retrait est un exemple du retrait catégorique plus général. Comme tel il satisfait la propriété universelle correspondante .

La construction du paquet de retrait peut être effectuée dans les sous-catégories de la catégorie des espaces topologiques , tel que la catégorie des tubulures douces la dernière construction est utile dans la géométrie et la topologie différentielles

Exemples : Il est illuminating pour considérer le retrait de la carte du degré 2 du cercle à lui-même au-dessus du degré 3 ou la carte 4 du cercle à lui-même. Dans de tels exemples on obtient parfois un espace relié et parfois débranché, mais toujours plusieurs copies du cercle.

Paquets et gerbes

Des paquets peuvent également être décrits par leurs gerbes de de sections . Le retrait des paquets correspond alors à l'image inverse des gerbes, qui est un functor de Contravariant . Une gerbe, cependant, est plus naturellement un objet du covariant , puisqu'elle a un Pushforward , appelé le l'image directe d'une gerbe . La tension et l'effet entre les paquets et les gerbes, ou l'image inverse et directe, peuvent être avantageux dans beaucoup de secteurs de la géométrie. Cependant, l'image directe d'une gerbe de sections d'un paquet est le pas en général la gerbe de sections d'un certain paquet d'image directe, de sorte que bien que la notion d'un « pushforward d'un paquet » soit définie dans quelques contextes (par exemple, le pushforward par un diffeomorphism), en général on le comprenne mieux dans la catégorie des gerbes, parce que les objets qu'elle crée ne peuvent pas en général être des paquets.

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