Paquet d\'ondes

Dans la physique, un paquet d'ondes de est une enveloppe ou un paquet contenant un nombre arbitraire de formes de vague. Dans la mécanique quantique De le paquet d'ondes est attribué une signification spéciale : il est interprété pour être un " ; wave" de probabilité ; décrivant la probabilité qu'une particule ou des particules dans un état particulier sera mesurée pour avoir une position et un élan donnés.

En appliquant l'équation de Schrödinger de en mécanique quantique il est possible de déduire l'évolution de temps de d'un système, semblable au processus du formalisme hamiltonien du dans la mécanique classique . Le paquet d'ondes est une solution mathématique à l'équation de Schrödinger. La place du secteur sous la solution de paquet d'ondes est interprétée pour être la densité de probabilité de trouver la particule dans une région.

Dans la représentation du même rang de la vague (telle que le système du même rang cartésien ) la position de la vague est donnée par la position du paquet. D'ailleurs, plus le paquet d'ondes est étroit, et donc le meilleur a défini la position du paquet d'ondes, plus l'incertitude dans l'élan de la vague est grande. Cette différence est connue comme principe d'incertitude de de Heisenberg .

Fond

Au début des années 1900 il est devenu évident que la mécanique classique a eu quelques failings importants. Le Isaac Newton a à l'origine proposé l'idée que la lumière soit venue en paquets discrets qu'il a appelés " ; corpuscles" ; , mais le comportement onduleux de beaucoup de phénomènes légers a rapidement mené des scientifiques favoriser une description de vague de l'électromagnétisme . Il n'avait pas lieu jusqu'aux années 30 que la nature de particules de la lumière a vraiment commencé à être largement accepté dans la physique . Le développement du &mdash de la mécanique quantique ; et son succès à expliquer le &mdash expérimental déroutant de résultats ; était à la base de cette acceptation.

Un des concepts les plus importants dans la formulation de la mécanique quantique est l'idée que la lumière vient dans les paquets discrets appelés les photons . L'énergie de la lumière est une fonction discrète de la fréquence : $de$

E = nhf

L'énergie est un nombre entier, le n , le multiple le constante de s de Planck de ', le h , et la fréquence, le f . Ceci a résolu un problème significatif dans la physique classique, appelée le la catastrophe ultra-violette . Les idées de la mécanique quantique ont continué à être développées tout au long du 20ème siècle . L'image qui a été développée était d'un monde particulaire, avec tous les phénomènes et matière faits de et agissants l'un sur l'autre avec les particules discrètes ; cependant, ces particules ont été décrites par une vague de probabilité. Les interactions, les endroits, et la toute la physique seraient réduits aux calculs de ces vagues de l'amplitude de probabilité. Particule-comme la nature du monde a été sensiblement confirmé par l'expérience , alors que les phénomènes onduleux pourraient être caractérisés comme conséquences de la nature de paquet d'ondes des particules.

Mathématiques des paquets d'ondes

Comme exemple, considérer les solutions de vague à l'équation d'ondes suivante : $de$

{\ partial^2 u \ au-dessus de \ t^2 partiel} = c^2 {\ nabla^2 u}

là où c est la vitesse de la propagation des ondes dans un milieu donné. Using la convention de temps de physique, le $e^\; \{-\; I\; \backslash \; Omega\; t\}$, l'équation d'ondes a avion-ondulent des solutions - du $u\; de$

(\ "BOLD" {x}, t) = e^ {I {(\ "BOLD" {k \ cdot X}} \ Omega t)}

là où $|\backslash \; "BOLD"\; \{k\}|=\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\}\; \{c\}$.

Pour simplifier, considérer seulement les vagues propageant dans une dimension. Alors la solution générale est

$u\; (x,\; t)=\; A\; e^\; \{I\; (KX\; \backslash \; Omega\; t)\}\; +\; B\; e^\; \{-\; I\; (KX\; \backslash \}\; d\text{'}Omega\; t)\; \backslash ,$

Un paquet d'ondes est une perturbation localisée cette des résultats de la somme de beaucoup de différentes formes de vague. Si le paquet est fortement localisé, plus de fréquences sont nécessaires pour permettre la superposition constructive dans la région de la localisation et la superposition destructive en dehors de la région. Des solutions basiques dans l'une dimension, une forme générale d'un paquet d'ondes peut être exprimée As

$f\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash racine\; carrée\{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int^\; \{\backslash ,\; \backslash \; infty\}\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; A\; (k)\; e^\; de\; ~\; \{I\}\; (de\; KX\; \backslash \; Omega\; (k)\; t)\; \backslash ,\; le\; DK$.

Le facteur $1/\backslash \; racine\; carrée\; \{2\; \backslash \; pi\}$ vient des conventions de la transformée de Fourier . Le $A\; d\text{'}amplitude\; (k)$ contient les coefficients de la superposition linéaire des solutions d'onde plane. Ces coefficients peuvent alternativement être exprimés en fonction du $f\; (x,\; t)$ évalué à $t=0$ en inversant la relation de transformée de Fourier ci-dessus :

$A\; (k)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int^\; \{\backslash ,\; \backslash \; infty\}\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; f\; (x,\; 0)\; ~\; e^\; \{-\}\; d\text{'}ikx\; \backslash ,\; dx$.

Cette équation a une solution simple et utile en accord avec la distribution de Maxwell de : $A\; de$

(k) = ~ d'A_ {0} \ exp (- \ frac {1} {\ racine carrée {2 \ pi}}|k - k_ {0}|)

là où le $A\_\; \{o\}$ et le $k\_\; \{o\}$ sont des constantes.

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