Paon de George

Le paon ( le 9 avril de George de , 1791 - 8 novembre , 1858 ) était un mathématicien anglais du .

La vie

le nord du Angleterre , 14 milles du Richmond dans le Yorkshire . Thomas Peacock, était un ecclésiastique de l'église de de l'Angleterre , titulaire et pendant 50 années de curé de la paroisse de Denton, où il a également gardé une école. Dans la vie tôt le paon n'a montré aucune précocité de génie, et était plus remarquable pour des exploits audacieux de s'élever que pour que tout attachement spécial étudie. Il a reçu son éducation élémentaire de son père, et à 17 ans, a été envoyé à Richmond, à une école enseignée par un diplômé de l'Université de Cambridge pour recevoir l'instruction préparatoire à entrer à cette université. À cette école il s'est distingué considérablement dans les classiques et dans les mathématiques plutôt élémentaires puis prié pour l'entrée à Cambridge. Dans le 1809 il est devenu un étudiant de l'université de trinité de , Cambridge .

Dans le 1812 le paon a pris le rang du Wrangler deuxièmes, et le deuxième prix , le wrangler aîné du Smith de étant John Herschel . Deux ans après il est devenu un candidat pour une camaraderie dans son université et l'a gagnée immédiatement, en partie au moyen de sa connaissance étendue et précise des classiques. Une camaraderie alors signifiée au sujet de livres 200 par an, défendable pendant sept années a fourni le camarade ne s'est pas mariée en attendant, et capable d'être prolongé après les sept années a fourni le camarade a pris des ordres de secrétaire.

L'année après la prise d'une camaraderie, le paon a été nommé un précepteur et le conférencier de son université, qui le place a continué à se tenir pendant beaucoup d'années. Le paon, en commun avec beaucoup d'autres étudiants de sa propre position, a été profondément impressionné du besoin de reformer la position de Cambridge ignorant la notation différentielle du calcul., et tandis qu'un étudiant préparant une licence formait toujours une ligue avec le Babbage et le Herschel pour adopter des mesures de l'apporter environ. Dans 1815 elles ont formé ce qu'elles ont appelé le la société analytique , l'objet dont a été donné pour étant préconiser le doctrine de d le 'du continent contre le point - âge de de l'université.

Le premier mouvement de la part de la société analytique devait traduire du Français le travail plus petit du Lacroix sur le calcul différentiel et intégral ; il a été édité dans le 1816 . À ce moment-là les meilleurs manuels, aussi bien que les plus grands travaux sur des mathématiques, ont existé dans la langue française. Le paon a continué la traduction avec un volume contenant une collection copieuse de d'exemples de l'application du différentiel et du calcul intégral , qui a été édité dans le 1820 . La vente des deux livres était rapide, et contribué matériellement pour promouvoir l'objet de la société. Dans ce temps, les hauts wranglers d'un an sont devenus les examinateurs des tripos mathématiques trois ou quatre ans après. Le paon a été nommé un examinateur dans le 1817 , et il n'a pas manqué de se servir de la position comme levier puissant pour avancer la cause de la réforme. Dans ses questions réglées pour l'examen la notation différentielle pour la première fois a été officiellement utilisée à Cambridge. L'innovation n'a pas échappé à la censure, mais il a écrit à un ami comme suit : " ; Je vous assure que je ne cesserai jamais de m'exercer à l'extrême dans la cause de la réforme, et que je ne refuserai jamais n'importe quel bureau ce qui peut augmenter ma puissance de l'effectuer. Je suis presque certain de l'nomination au bureau du modérateur dans le 1818 - le 1819 , et car je suis un examinateur dans la vertu de mon bureau, parce que l'année prochaine d'année où je suivrai un cours bien plus décidé que jusqu'ici, puisque j'estimerai que des hommes ont été disposés pour le changement, et serai puis permis d'avoir acquis un meilleur système par la publication des livres élémentaires améliorés. J'ai l'influence considérable en tant que conférencier, et je ne la négligerai pas. Elle est par persévérance silencieuse seulement, cela que nous pouvons espérer pour réduire le monstre many-headed du préjudice et pour faire l'université répondre à son caractère en tant que mère affectueuse de la bonne étude et du science." ; Ces quelques phrases donnent une perspicacité dans le caractère du paon : il était un réformateur ardent et quelques années ont apporté le succès à la cause de la société analytique.

Une autre réforme à laquelle le paon a travaillé était l'enseignement de l'algèbre . Dans le 1830 il a édité un traité de sur l'algèbre qui a eu pour son objet le placement de l'algèbre sur une véritable base scientifique, proportionnée pour le développement qu'elle avait reçu aux mains des mathématiciens continentaux. Pour élever la science astronomique la société astronomique de Londres a été fondée, et le paon, Babbage et Herschel de trois réformateurs étaient encore des moteurs dans l'entreprise. Le paon était un des instigateurs les plus ardents d'un observatoire astronomique à Cambridge, et l'un des fondateurs de la société philosophique de Cambridge.

Dans le 1831 l'association britannique pour l'avancement de la Science (prototype des associations américaines, françaises et Australasian) a tenu sa première rencontre dans la ville antique du York . Une des premières résolutions adoptées était d'obtenir des rapports sur l'état et le progrès des sciences particulières, être élaboré de temps en temps par les personnes compétentes pour l'information des réunions annuelles, et de la première à placer sur la liste était un rapport sur le progrès de la science mathématique. Whewell, le mathématicien et philosophe, était un vice-président de la réunion : il a été chargé de choisir le journaliste. Il a demandé la première fois à monsieur W. Hamilton, qui a diminué ; il a alors demandé au paon, qui a accepté. Le paon a eu son rapport prêt pour la troisième réunion de l'association, qui a été tenue à Cambridge dans le 1833 ; bien que limité à l'algèbre , la trigonométrie , et l'arithmétique des sinus, il est un du meilleur de la longue série de rapports valables pour lesquels ont été préparés et imprimés par l'association.

Dans le 1837 le paon a été nommé professeur de Lowndean d'astronomie à l'université de Cambridge, la chaise après occupée par Adams, le Co-découvreur du Neptune , et plus tard occupée par la boule de Robert de de monsieur, célébrée pour sa théorie de des vis . Dans le 1839 il a été nommé le doyen d'Ely, le diocèse de Cambridge. Tout en tenant cette position il a écrit un manuel sur l'algèbre dans deux volumes, celui a appelé le l'algèbre arithmétique , et l'autre algèbre symbolique de . Un autre objet de réforme était les statuts de l'université ; il a travaillé dur à lui et a été fait à un membre d'une commission désignée par le gouvernement pour le but ; mais il est mort le 8 novembre , le 1858 , par la soixante-huitième année de son âge. Son dernier acte public était d'assister à une réunion de la Commission.

La théorie algébrique du paon

La contribution principale du paon à l'analyse mathématique est sa tentative de placer l'algèbre sur une base strictement logique. Il a fondé ce qui s'est appelé l'école philologique ou symbolique des mathématiciens ; à quel Gregory , à De Morgan et à Boole a appartenu. Sa réponse à Maseres et à Frend était que la science de l'algèbre s'est composée de deux parts -- algèbre arithmétique et algèbre symbolique -- et cela ils ont erré en limitant la science à la cloison arithmétique. Sa vue d'algèbre arithmétique est comme suit : " ; Dans l'algèbre arithmétique nous considérons des symboles en tant que représentation des nombres, et les opérations auxquelles ils sont soumis aussi inclus dans les mêmes définitions que dans l'arithmétique commune ; les signes $+$ et $-$ dénotent les opérations de l'addition et de la soustraction dans leur signification ordinaire seulement, et ces opérations sont considérées en tant qu'impossible dans tous les cas où les symboles soumis à eux possèdent les valeurs qui les rendraient ainsi au cas où elles étaient remplacées par des nombres numériques ; ainsi dans les expressions telles que le $a + le b$ nous devons supposer $a$ et $b$ pour être des quantités de la même sorte ; dans d'autres, comme le $a - b$ , nous devons supposer $a$ plus grand que $b$ et donc homogène avec lui ; dans les produits et les quotients, comme $ab$ et $\ frac {a} {b}$ nous devons supposer le multiplicateur et le diviseur pour être des nombres abstraits ; tout résulte quelque, y compris les quantités négatives, qui ne sont pas strictement déductibles en tant que conclusions légitimes des définitions des multiples opérations doivent être rejetées comme impossibles, ou comme étrangères au science." ;

Le principe du paon peut être énoncé ainsi : le symbole élémentaire de l'algèbre arithmétique dénote un Digital , c., un nombre de nombre entier ; et chaque combinaison des symboles élémentaires doit réduire à un nombre numérique, autrement elle est impossible ou étrangère à la science. Si $a$ et $b$ sont des nombres, alors le $a + le b$ est toujours un nombre ; mais $a - b$ est un nombre seulement quand $b$ est moins que $a$ . Encore, dans les mêmes conditions, $ab$ est toujours un nombre, mais le $\ frac {a} {b}$ est vraiment un nombre seulement quand $b$ est un diviseur exact de $a$ . Par conséquent le dilemme suivant : Ou le $\ frac {a} {b}$ doivent être tenus pour pour une expression impossible généralement ou bien la signification du symbole fondamental de l'algèbre doit être prolongée afin d'inclure les fractions raisonnables. Si l'ancien klaxon du dilemme est choisi, l'algèbre arithmétique devient une seule ombre ; si le dernier klaxon est choisi, les opérations de l'algèbre ne peuvent pas être définies sur la supposition que le symbole élémentaire est un nombre de nombre entier. Le paon essaye de sortir de la difficulté près à supposer qu'un symbole qui est employé car un multiplicateur est toujours un nombre de nombre entier, mais cela un symbole au lieu du multiplicande peut être une fraction. Par exemple, dans $ab$ , $a$ peut dénoter seulement un nombre de nombre entier, mais $b$ peut dénoter une fraction raisonnable. Il n'y a maintenant plus de principe fondamental dans l'algèbre arithmétique que ces $ab = ba$ ; ce qui serait illégitime selon le principe du paon.

Un des premiers auteurs anglais sur le arithmétique est un Robert record, qui a consacré son travail au Roi Edouard le sixième. L'auteur donne à son traité la forme d'un dialogue entre le maître et le disciple. Le disciple lutte longtemps au-dessus de cette difficulté, -- cela multipliant une chose a pu la faire moins. Le maître essaye d'expliquer l'anomalie en se référant à la proportion ; que le produit dû à une fraction soutient la même proportion avec la chose s'est multiplié que la fraction soutient à l'unité. Mais le disciple n'est pas satisfaisant et le maître continue pour indiquer : " ; Si je me multiplie par plus d'un, la chose est augmentée ; si je la prends mais une fois, elle n'est pas changée, et si je la prends moins d'une fois, elle ne peut pas être tellement comme elle était avant. Alors voyant qu'une fraction est moins d'une, si je me multiplie par une fraction, elle suit que je la prends moins qu'once." ; Sur quoi le disciple répond, " ; Monsieur, je vous remercie beaucoup pour cette raison, -- et j'espère que je perçois le thing." ;

Le fait est celui même dans le arithmétique les deux processus de la multiplication et la division sont généralisées dans une multiplication commune ; et la difficulté consiste en dépassement de l'idée originale de la multiplication à l'idée généralisée d'un tenseur de , que l'idée inclut comprimer la grandeur aussi bien que l'étirer. Laisser $m$ dénoter un nombre de nombre entier ; la prochaine étape est de gagner l'idée du réciproque de $m$ , pas comme $\ frac {1} {m}$ mais simplement comme $/m$ . Quand $m$ et $/n$ sont composés nous avons l'idée d'un raisonnable fractionnons ; pour en général $m/n$ ne réduira pas à un nombre ni au réciproque d'un nombre.

Supposer, cependant, que nous passons au-dessus de cette objection ; comment le paon jette-t-il les fondements pour l'algèbre générale ? Il l'appelle algèbre symbolique, et il passe de l'algèbre arithmétique à l'algèbre symbolique de la façon suivante : " ; L'algèbre symbolique adopte les règles de l'algèbre arithmétique mais enlève tout à fait leurs restrictions ; ainsi la soustraction symbolique diffère de la même opération dans l'algèbre arithmétique en étant possible à toutes les relations de la valeur des symboles ou des expressions utilisés. Tous les résultats d'algèbre arithmétique qui sont déduits par l'application de ses règles, et qui sont généraux dans le détail de forme cependant en valeur, sont des résultats de même d'algèbre symbolique où ils sont généraux en valeur aussi bien que sous la forme ; ainsi le produit du $a^ {m}$ et du $a^ {n}$ qui est le $a^ {m+n}$ quand $m$ et $n$ sont les nombres entiers et donc le général dans le détail de forme cependant en valeur, sera leur produit de même quand $m$ et $n$ sont généraux en valeur aussi bien que sous la forme ; la série pour le $(a+b)^ {n}$ déterminé par les principes de l'algèbre arithmétique quand $n$ est n'importe quel nombre entier, s'il soit exhibé sous une forme générale, sans référence à une limite finale , peut être montré sur le même principe à la série équivalente pour le $(a+b)^n$ quand $n$ est général dans la forme et le value." ;

Le principe ici indiqué au moyen d'exemples a été appelé par Peacock le " ; principe de la permanence des formes équivalentes, " ; et à la page 59 de l'algèbre symbolique de il est ainsi déclaré : " ; Quelque formes algébriques soient équivalentes quand les symboles sont généraux sous la forme, mais le détail en valeur, sera équivalent de même quand les symboles sont généraux en valeur aussi bien que dans form." ;

Par exemple, laisser $a$ , $b$ , $c$ , $d$ dénotent tous les nombres de nombre entier, mais sujet aux restrictions que $b$ est moins que $a$ , et à $d$ moins que $c$ ; il peut alors montrer arithmétiquement que le $(a - b) (c - d)=ac + le BD - annonce - bc$ . Le principe du paon indique que la forme de l'aile gauche est équivalente à la forme du côté droit, non seulement quand les restrictions dites d'être moins sont enlevées, mais quand $a$ , $b$ , $c$ , $d$ dénotent le symbole algébrique le plus général. Il signifie que $a$ , $b$ , $c$ , $d$ peut être les fractions raisonnables, ou les surds, ou les quantités imaginaires, ou en effet les opérateurs tel que le $\ frac {d} {dx}$ . L'équivalence en n'est pas établie au moyen de la nature de la quantité dénotée ; on assume que l'équivalence est vraie, et alors elle est essayée de trouver les différentes interprétations qui peuvent être mises sur le symbole.

Il n'est pas difficile de voir que le problème avant nous implique le problème fondamental d'une logique ou d'une théorie raisonnable de la connaissance ; à savoir, comment allons nous capables monter des vérités particulières à des vérités plus générales. Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ dénotent des nombres de nombre entier, dont $b$ est moins que $a$ et $d$ moins que $c$ , puis le $(a - b) (c - d)=ac + le BD - annonce - bc$ .

C'est premier vu que les restrictions ci-dessus peuvent être enlevées, et l'équation ci-dessus se tient toujours. Mais l'antécédent est toujours trop étroit ; le véritable problème scientifique consiste en spécifiant la signification des symboles, qui, et seulement qui, admettra des formes étant égales. Il n'est pas de trouver le " ; un certain meanings" ; , mais le " ; la plupart de meaning" général ; , qui permet à l'équivalence d'être vraie. Examinons quelques autres cas ; nous constaterons que le principe du paon n'est pas une solution de la difficulté ; le grand processus logique de la généralisation ne peut pas être réduit à un tel procédé facile et arbitraire. Quand $a$ , $m$ , $n$ dénotent des nombres de nombre entier, il peut montrer l'a^ du that $a^ {m} {n} = l'a^ {m+n}$ .

Selon le paon la forme du côté gauche est toujours d'être égale à la forme du côté droit, et les significations de $a$ , $m$ , $n$ doivent être trouvées par interprétation. Supposer que $a$ prend la forme de la quantité disproportionnée $e$ , la base du système normal du nombre des logarithmes A de est une forme dégradée d'une quantité complexe $p+q^ {\ racine carrée {- 1}}$ et une quantité complexe est une forme dégradée d'un Quaternion ; par conséquent un signifiant ce qui peut être assigné à $m$ et à $n$ est celui du quaternion. Le principe du paon nous mènerait supposer cet e^ du $e^ {m} {n} = l'e^ {m+n}$ , $m$ et $n$ dénotant des quaternions ; mais est c'au juste ce que Hamilton, l'inventeur de la généralisation de quaternion, nie. Il y a des raisons de croire qu'il a été confondu, et que les formes demeurent équivalentes même sous cette généralisation extrême de $m$ et de $n$ ; mais le point est ceci : ce n'est pas une question de définition conventionnelle et vérité formelle ; c'est une question de définition objective et vraie vérité. Les symboles avoir la signification prescribed, ou l'équivalence a-t-elle laissé fait-elle ne se tient-elle pas toujours ? Et s'il ne se tient pas, quelle est la forme plus élevée ou plus complexe que l'équivalence assume ?

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