Paires duelles

Dans l'analyse fonctionnelle et les secteurs relatifs des mathématiques un conjuguent les paires ou le système duel est une paire des espaces de vecteur avec une forme bilinéaire associé.

Une méthode commune dans l'analyse fonctionnelle, en étudiant les espaces de vecteur de Normed est d'analyser la relation de l'espace à son duel continu, l'espace de vecteur de toutes les formes linéaires continues possible sur l'espace original. Une paire duelle généralise ce concept aux espaces de vecteur arbitraires, avec la dualité exprimé par une forme bilinéaire. Using la forme bilinéaire, les normes semi peuvent être construites pour définir une topologie polaire sur les espaces de vecteur et pour les transformer en espaces de corps convexe de localement , généralisations des espaces de vecteur normed.

Définition

Une paire duelle est un $de 3 tuples (X, Y, \, de langle \ rangle)$ se composant des deux espaces de vecteur $X$ et $Y$ au-dessus du même ( vrai ou complexe) mettent en place le $de \ mathbb {F}$ et un $\, de langle \ rangle : X \ périodes Y \ mapsto \ mathbb {F}$ avec

$\ forall X \ dans X \ setminus \ {0 \} \ quadruple \ existe y \ dans Y : \ langle X, y \ rangle \ quantité nette de substance explosive 0$ et

$\ forall y \ dans Y \ setminus \ {0 \} \ quadruple \ existe x \ dans X : \ langle X, y \ rangle \ quantité nette de substance explosive 0$

Nous disons, de $\ langle \ rangle$ met le de $X$ et de $Y$ dans la dualité .

Nous appelons le $x de deux éléments \ dans X$ et $y \ dans le orthogonal de Y$ si $de \ langle X, y \ rangle = 0.$ Nous appelons le $ensembles \ subseteq X$ et le orthogonal de $N \ subseteq Y$ le cas échéant deux éléments de $X$ et de $Y$ sont orthogonal.

Exemple

Un $V$ de l'espace de vecteur ainsi que son duel algébrique $V^*$ et la forme bilinéaire définie en tant que le $de \ langle X, f \ rangle : = f (x) \ qquad X \ dans V \ mbox {,} f \ dans V^*$ forme une paire duelle.

De un $E topologique convexe$ de l'espace de l'espace de vecteur localement ainsi que son $E'< du /math> duel topologique et la forme bilinéaire définie en tant que le de \ langle X, f \ rangle : = f (x) \ qquad X \ dans E \ mbox {,} f \ dans E' forme une paire duelle. (pour montrer ceci, le théorème de Hahn-Banach de est nécessaire)$

Pour chaque $duel de paires (X, Y, \, de langle \ rangle)$ nous pouvons définir un nouveau $duel de paires (Y, X, \, de langle \ rangle')$ avec, de $\ langle de \ rangle': (y, x) \ \ langle X, y \ rangle$

Un espace $E$ d'ordre de et son $E^ duel du bêta \ beta$ avec la forme bilinéaire définie en tant que le $de \ langle X, y \ rangle : = \ y_i de x_i ^ du sum_ {i=1} {\ infty} \ quadruple X \ dans E, y \ dans E^ \ beta$ former une paire duelle.

Voir également

topologie duelle
Ensemble polaire
Topologie polaire
Paires duelles réductrices

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