P (complexité)

Dans la théorie de complexité informatique , le P est l'une des classes les plus fondamentales de complexité de qu'elle contient tous les problèmes de décision qui peuvent être résolus par une machine déterministe de Turing de using une quantité polynôme du de temps de calcul de , ou temps polynôme .

Le P est souvent pris pour être la classe des problèmes informatiques qui sont " ; efficacement solvable" ; ou " ; tractable" ; , bien qu'il y ait des classes potentiellement plus grandes qui sont également considérées menables comme le RP et le BPP . En outre, là existent les problèmes dans le P qui sont insurmontables en pratique ; par exemple, certains exigent au moins des opérations du n ^1000000. Voir les problèmes plus durs de encore des classes de complexité pour davantage de discussion.

Problèmes notables dans P

Le P est connu pour contenir beaucoup de problèmes normaux, y compris les versions de décision de la programmation linéaire , de calculer le plus grand diviseur commun , et de trouver un maximum de assortir . En 2002, on lui a montré que le problème de déterminer si un nombre est le principal est dans le P . La classe relative des problèmes de fonction de est le ''' de point de gel de ''' de .

Plusieurs problèmes normaux sont complets pour le P , y compris connectivité du la '' rue '' - (ou le Reachability ) sur les graphiques alternatifs. L'article sur le ''' du ''' P de - les problèmes complets énumère encore d'autres problèmes appropriés dans le P .

Rapports avec d'autres classes

Une généralisation du P est le ''' du NP de ''' de , qui est la classe des langues que l'on peut décider dans le temps polynôme du sur une machine non déterministe de Turing de . Nous avons alors trivialement le P est un sous-ensemble de NP . Cependant le non fondé, la plupart des experts croient que c'est un sous-ensemble strict.

Le P est également connu pour être au moins aussi grand que le ''' L le ''' , la classe de des problèmes que l'on peut décider dans une quantité logarithmique du d'espace mémoire . Un decider using le $O (\ espace de notation n)$ ne peut pas employer plus que $2^ {O (\ notation n)} = n^ {temps d'O (1)}$ , parce que c'est tout le nombre de configurations possibles ; ainsi, le L est un sous-ensemble de P . Un autre problème important est si le L = P . Nous connaissons ce P = AL , l'ensemble de de problèmes solubles dans la mémoire logarithmique par le alternant les machines de Turing que le P de est également connu pour n'être pas plus grand que le PSPACE , la classe des problèmes que l'on peut décider dans l'espace polynôme. Encore, si le P = PSPACE est un problème non résolu. Pour récapituler :

$\ mbox {L} \ subseteq \ mbox {AL} = \ mbox {P} \ subseteq \ mbox {NP} \ subseteq \ mbox {} de PSPACE \ subseteq \ mbox {EXPTIME}$

Ici, le EXPTIME est la classe des problèmes solubles dans le temps exponentiel. De toutes les classes montrées ci-dessus, seulement deux retenues strictes sont connues :
Le P est strictement contenu dans le EXPTIME . En conséquence, tout le EXPTIME - le extérieur P de mensonge dur de problèmes, et au moins une des retenues à la droite du P ci-dessus est stricte (en fait, on le croit largement que chacun des trois est strict).
Le L est strictement contenu dans le PSPACE .

Les problèmes les plus difficiles dans P sont des problèmes P-complets du .

Une autre généralisation du P est le P/poly , ou le Polynôme-Temps non-uniforme . Si un problème est dans le P/poly , alors il peut être résolu dans le temps polynôme déterministe à condition que on donne une corde de conseil de qui dépend seulement de la longueur de l'entrée. À la différence de pour le NP , cependant, la machine de polynôme-temps n'a pas besoin de détecter les cordes frauduleuses de conseil ; ce n'est pas un vérificateur. Le P/poly est une grande classe contenant presque tous les algorithmes pratiques, y compris tout le BPP . S'il contient le NP , alors la hiérarchie polynôme s'effondre au deuxième niveau. D'une part, elle contient également quelques algorithmes impraticables, y compris certains problèmes undecidable du tels que la version unaire de n'importe quel problème undecidable.

En 1999, Jin-Yi Eao et D. Sivakumar, construisant sur le travail par le Mitsunori Ogihara , a montré cela si là existe une langue clairsemée ce qui est le P-complet, puis le L de = P .

Propriétés

les algorithmes de Polynôme-temps sont fermés sous la composition. Intuitivement, ceci indique que si on écrit une fonction qui est polynôme-temps supposant que les appels de fonction sont constant-temps, et si ces fonctions appelées elles-mêmes exigent le temps polynôme, alors l'algorithme entier prend du temps polynôme. Une conséquence de ceci est que le P est le bas pour lui-même. C'est également l'une des raisons principales que le P est considéré une classe non lié à un type de machine particulier ; tout " de machine ; feature" ; , comme le à accès sélectif, qui peut être simulé dans le temps polynôme peut simplement se composer avec l'algorithme principal de polynôme-temps pour le ramener à un algorithme de polynôme-temps sur une machine plus fondamentale.

Preuves pures d'existence des algorithmes de polynôme-temps

Quelques problèmes sont connus pour être solubles dans le polynôme-temps, mais aucun algorithme concret n'est connu pour les résoudre. Par exemple, le théorème de Robertson-Seymour de garantit qu'il y a une liste finie de mineurs interdits qui caractérise (par exemple) l'ensemble de graphiques qui peuvent être inclus sur un tore ; d'ailleurs, Robertson et Seymour ont prouvé qu'il y a un algorithme d'O ( n ³) pour déterminer si un graphique a un graphique donné en tant que mineur. Ceci rapporte à un la preuve Nonconstructive qu'il y a un algorithme de polynôme-temps pour déterminer si un graphique donné peut être inclus sur un tore, malgré le fait que aucun algorithme concret n'est connu pour ce problème.

Caractérisations alternatives

Dans la complexité descriptive , le P peut être décrit comme problèmes exprimables dans le FO (LFP) , la classe de la logique de premier ordre avec un moindre opérateur du point fixe supplémentaire à lui. En manuel 1999 d'Immerman sur la complexité descriptive, Immerman attribue ce résultat à Vardi 1982 et à Immerman 1982.

Histoire

Kozen déclare que Cobham et Edmonds sont " ; généralement crédité de l'invention de la notion du time" polynôme ;.

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