P-groupe puissant

Dans les mathématiques , dans le domaine de la théorie de groupe , particulièrement dans l'étude des P-groupes et des pro-p-groupes le concept du puissant p de - les groupes joue un rôle important. Ils ont été présentés dedans, où un certain nombre d'applications sont données, y compris des résultats sur le puissant p - groupes des multiplicateurs de Schur de sont employés dans l'étude des automorphismes du p - les groupes, la solution du problème de Burnside limité par , la classification des p-groupes finis par l'intermédiaire des coclass conjecture, et si une excellente méthode de comprendre les pro-p-groupes analytiques.

Définition formelle

Un P-groupe fini

G

de s'appelle le puissant si le sous-groupe

de collecteur de est contenu dans le

G^p de sous-groupe = \ g^p de langle | g \ dans G \ rangle

pour

p

impair, ou si

est contenu dans le sous-groupe

G^4

pour le p =2.

Propriétés des p-groupes puissants

puissant p - groupes avoir beaucoup de propriétés semblables aux groupes abéliens et constituer ainsi une bonne base pour étudier le p - groupes. Chaque fini p - groupe peut être exprimé comme section d'un puissant p - groupe.

puissant p - groupes être également utile dans l'étude des groupes pro- de '' p '' de car elle fournit des moyens simples pour caractériser le '' p '' - groupes analytiques adic de (groupes qui sont les tubulures au-dessus du p - nombres adic) : Un groupe pro- de façon finie produit du p est le p - analytique adic si et seulement s'il contient un sous-groupe normal ouvert du qui est puissant.

Quelques propriétés semblables au abélien '' p '' - les groupes sont : si $G$ est un puissant p - groupe puis :
Le $de \ phi (G)$ de $G$ a le $\ phi de propriété (G) = G^p.$
= de $G^ {p^k} \ {g^ {p^k}|g \ dans G \}$ pour tous les $k \ geq 1.$ c'est-à-dire, le produit par groupe par des puissances de $p$ th est avec précision le réglé des puissances de $p$ th.
Si $G = \ langle g_1, \ ldots, g_d \ rangle$ puis $G^ {p^k} = \ langle g_1^ {p^k}, \ ldots, g_d^ {} de p^k \ rangle$ pour tous les $k \ geq 1.$
L'entrée de $k$ th de la série centrale inférieure de $G$ a le $\ gamma_k (G) \ leq G^ {p^ {k-1}}$ pour tous les $k \ geq 1.$
Chaque groupe de quotient de d'un puissant p - le groupe est puissant.
Le Prüfer luxuriant de $G$ est égal au nombre minimal de générateurs de $G.$

Certains moins abélien-comme des propriétés sont : si $G$ est un puissant p - groupe puis :
le $G^ {p^k}$ est puissant.
Les sous-groupes de $G$ ne sont pas nécessairement puissants.

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