Ovale de Cassini

Dans les mathématiques , un Cassini ovale est un réglé (ou lieu ) des points dans l'avion tels que chaque de point p sur le ovale a une relation spéciale à deux autres, le q ₁ de points fixes et le q ₂ : le produit du la distance du p au q ₁ et la distance du p au q ₂ est constante. C'est-à-dire, si nous définissons le dist de fonction ( un , b ) pour être la distance d'un de point par à un b de point, puis tous les points sur un ovale de Cassini satisfont le $de\; d\text{'}équation\; \backslash \; mbox\; \{dist\}\; (q\_1,\; p)\; \backslash \; mbox\; \{dist\}\; (q\_2,\; p)=b^2\; \backslash ,$ là où le b est un constant.

Le q ₁ de points et le q ₂ s'appellent les centres de l'ovale.

Des ovales de Cassini sont baptisés du nom du Giovanni Domenico Cassini d'astronome. D'autres noms incluent les ovales de Cassinian de et les ovales de de Cassini .

Supposer que le q ₁ est le point ( un , 0), et le q ₂ est le point (- un , 0). Alors les points sur la courbe satisfont le $de\; de$
d'équation ((x-a) ^2+y^2) ((x+a)^2+y^2)=b^4

Les équations équivalentes incluent $de$

de
(x^2+y^2)^2-2a^2 (x^2-y^2)+a^4=b^4

et $de$

de
(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4

L'équation polaire équivalente est de
$r^4-2a^2r^2\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; thêta\; =\; b^4-a^4$

La forme de l'ovale dépend du b / de rapport un . Quand le b / un est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et reliée. Quand le b / un est moins de 1, le lieu comporte deux boucles débranchées. Quand le b / un est égal à 1, le lieu est un Lemniscate de Bernoulli .

Si le = b la courbe est raisonnable, mais en général la courbe a une paire de doubles points à l'infini dans l'avion projectif complexe , à x = ± ; le i , le y = 1, le z = 0 et aucune autre singularité, et n'est une courbe algébrique d'avion de du genre un de , et par conséquent du birationally équivalent à une courbe elliptique .

Rescaling en substituant la hache de au X et le ay pour le y , nous obtenons un famille d'un-paramètre $de$

(x^2+y^2+1)^2-4x^2=b^4 \,

ce qui a le J-invariable $j\; de$

= 16 \ frac {(b^8-16b^4+16) ^3} {b^ {16} (1-b^4)}.

Noter que la définition de la courbe est analogue à celle de l'ellipse , où $de\; de\; la\; somme\; \backslash \; mbox\; \{dist\}\; (q\_1,\; p)+\; \backslash \; mbox\; \{dist\}\; (q\_2,\; p)\; \backslash ,$ est constant, plutôt que le produit.

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