Oscillateur harmonique

le

cet article est au sujet de l'oscillateur harmonique dans la mécanique classique. Pour son usage dans la mécanique quantique De , voir l'oscillateur harmonique de Quantum de . Dans la mécanique classique , un oscillateur harmonique est un système qui, une fois déplacé de sa position d'équilibre, éprouve une force de reconstitution $F$ de proportionnelle au déplacement $x$ selon la loi de Hooke de : $de\; F\; =\; -\; k\; X\; \backslash ,$ là où $k$ est un positif constant.

Si $F$ est la seule force agissant sur le système, le système s'appelle un oscillateur harmonique simple , et il subit le mouvement harmonique simple : Oscillations sinusoïdales du au sujet du point d'équilibre, avec une amplitude constante et une fréquence constante (qui de ne dépend pas de l'amplitude ).

Si une force de friction ( de atténuant ) proportionnelle à la vitesse est également présente, l'oscillateur harmonique est décrit comme oscillateur atténué par . Dans une telle situation, la fréquence des oscillations est plus petite que dans le cas non-atténué, et l'amplitude des oscillations diminue avec du temps.

Si une force dépendant du temps externe est présente, l'oscillateur harmonique est décrit comme oscillateur conduit par .

Les exemples mécaniques incluent le pendula (avec de petits angles de déplacement), les masses de reliées aux ressorts et le acoustique d'autres systèmes analogues des systèmes incluent les oscillateurs harmoniques électriques tels que les circuits du RLC (voir les systèmes équivalents ci-dessous).

Oscillateur harmonique simple

L'oscillateur harmonique simple n'a aucune force d'entraînement, et aucun frottement ( de atténuant ), ainsi la force nette est juste : $de$

F = - k X \,

Using de de Newton la loi en second lieu $de$

F = m a = - k X \,

L'accélération, $a$ est égale au deuxième dérivé de $x$. $m\; \backslash \; frac\; de$

{\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} = - k x

Si nous définissons le $\{\backslash \; omega\_0\}\; ^2\; =\; k/m$, alors l'équation peut être écrite comme suit, $\backslash \; frac\; de$

{\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2 X = 0 Nous observons cela :

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2\; X\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t^2\}\; =\; \backslash \; ddot\; X\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; point\; \{X\}\}\; \{\backslash \}\; de\; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash \; point\; \{x\}$ et substituant

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \backslash \; point\; X\; +\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2\; X\; =\; 0$
$\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; point\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; point\; X\; +\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2\; X\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; 0$ $de\; \backslash \; point\; de\; intégration\; \{x\}\; ^2\; +\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2\; x^2\; =\; K$ là où le K est l'intégration constant de , place le K = (&omega de de A ; ₀) ²

$\backslash \; point\; \{x\}\; ^2\; =\; A^2\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2-\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2\; x^2$
$\backslash \; point\; \{x\}\; =\; \backslash \; P.\; \{\backslash \; omega\_0\}\; \backslash racinecarré\; \{A^2\; -\; x^2\}$
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; P.\; \backslash racine\; carrée\{A^2\; -\; x^2\}\}\; =\; \{\backslash \; omega\_0\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t$ intégrant, les résultats (&phi y compris de constante d'intégration ;) sont le $de\; \backslash \; commencent\; \{des\; cas\}\; \backslash \; =\; d\text{'}arcsin\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\}\}\; \backslash \; omega\_0\; t\; +\; \backslash \; \backslash \; de\; phi\; \backslash \; \backslash \; +\; =\; \backslash \; omega\_0\; t\; \backslash \; phi\; \backslash \; extrémité\; \{cas\}\; d\text{'}arccos\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\}\}$

et a la solution générale $X\; de$

= A \ cos {(\ omega_0 t + \ phi)} \,

là où le $A\; de\; l\text{'}amplitude\; \backslash ,$ et le mettent le $\backslash \; phi\; en\; phase\; de\; \backslash ,\; les$ sont déterminés par les conditions initiales.

Alternativement, la solution générale peut être écrite As $X\; de$

= A \ péché {(\ omega_0 t + \ phi)} \,

là où la valeur du $\backslash \; du\; phi\; \backslash ,$ est décalée par le $\backslash \; pi/2\; \backslash ,\; du$ relativement à la forme précédente ;

ou As

$X\; =\; A\; \backslash \; péché\; \{\backslash \; omega\_0\; t\}\; +\; B\; \backslash \; cos\}\; \{\backslash \; omega\_0\; t\; \backslash ,$

là où le $A\; \backslash ,$ et $B\; \backslash ,\; les$ sont les constantes qui sont déterminées par les conditions initiales, au lieu du $A\; \backslash ,$ et $\backslash \; phi\; \backslash ,\; du$ sous les formes précédentes.

La fréquence des oscillations est indiquée près

< ! -- = de $de\; f\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\_0\}\; \{2\; \backslash \; pi\}$ --> $de\; \backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\_0\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}$

L'énergie cinétique est = de $T\; de$

\ frac {1} {2} = de m \ laissé (\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} \ droit) ^2 \ frac {1} {2} k A^2 \ sin^2 (\ omega_0 t + \ phi) .

et l'énergie potentielle est $U\; de$

= \ = du frac {1} {2} k x^2 \ frac {1} {2} k A^2 \ cos^2 (\ omega_0 t + \ phi)

ainsi toute l'énergie du système a la valeur constante = de $E\; de$

\ frac {1} {2} k A^2.

Oscillateur harmonique conduit

Un oscillateur harmonique conduit satisfait l'équation linéaire non homogène du second degré $\backslash \; frac\; de$

de
{\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = A_0 \ cos (\ Omega t),

là où le $A\_\; \{0\}$ est l'amplitude et le $moteurs\; \backslash \; omega$ est la fréquence l'entraînement pour un mécanisme d'entraînement sinusoïdal. Ce type de système apparaît dans des circuits à C. LC (inducteur - condensateur de de ) et des systèmes idéalisés de ressort manquant de la résistance mécanique interne ou de la résistance de l'air de d'external .

Oscillateur harmonique atténué

voient également : atténuant le

Un oscillateur harmonique atténué satisfait l'équation du second degré

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t^2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; b\}\; \{m\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; +\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2x\; =\; 0,$

là où $b$ est une constante d'amortissement expérimentalement déterminée satisfaisant le $F\; de\; rapport\; =\; -\; bv$. Un exemple d'un système obéissant cette équation serait une eau du fond pesée de ressort si on assume que la force d'atténuation exercée par l'eau est linéairement proportionnelle à $v$.

La fréquence de l'oscillateur harmonique atténué est indiquée près $de$

\ omega_1 = \ racine carrée {\ omega_0^2 - R_m^2} là où $R\_m=\; de$

\ frac {b} {2m}.

Oscillateur harmonique atténué et conduit

Ceci satisfait l'équation $m\; \backslash \; frac\; de$

{\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + r \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + kx= F_0 \ cos (\ Omega t).

La solution générale est une somme d'un passager (la solution pour atténué undriven l'oscillateur harmonique, l'ODE homogène du ) qui dépend des conditions initiales, et d'un équilibré (solution particulière de l'ODE nonhomogenous) qui est indépendant des conditions initiales et dépend seulement de conduire la fréquence, force d'entraînement, force de reconstitution, la force d'atténuation,

La solution équilibrée est

$X\; (t)\; =\; \backslash \; frac\; \{F\_0\}\; \{\}\; de\; Z\_m\; \backslash \; Omega\; \backslash \; péché\; (\backslash \; -\; d\text{'}Omega\; t\; \backslash \; phi)$

là où = de Z_m de $de$

\ racine carrée {r^2 + \ laissé (\ - d'Omega m \ frac {k} {\ Omega} \ droit) ^2}

est la valeur absolue de l'impédance ou de la fonction de réponse linéaire $de$

Z = r+ i \ - laissé (\ Omega m \ frac {k} {\ Omega} \ droit)

et $\backslash \; phi\; de$

= \ arctan \ laissé (\ frac {\ - d'Omega m \ frac {k} {\ Omega}} {r} \ droit)

est la phase de l'oscillation relativement à la force d'entraînement.

L'on a pourrait voir le ce pour une certaine fréquence motrice, $\backslash Omega$, l'amplitude (relativement à un $F\_0$ donné) est maximal. Ceci se produit pour la fréquence = de _r de $de$

{\ Omega} \ racine carrée {\ frac {k} {m} - 2 \ laissés (\ frac {r} {2 m} \ droit) ^2}

et s'appelle la résonance de du déplacement de .

En résumé : à un équilibré la fréquence de l'oscillation est la même que celle de la force d'entraînement, mais l'oscillation est phase-a compensé et a mesuré par les montants qui dépendent de la fréquence de la force d'entraînement par rapport à la fréquence (résonnante) preferred du système de oscillation.

Exemple : Circuit du RLC.

Définition mathématique complète

La plupart des oscillateurs harmoniques, au moins approximativement, résolvent l'équation :

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t^2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; b\}\; \{m\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; +\; \{\backslash \; omega\_0\}\; ^2x\; =\; A\_0\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; t)$

là où le t est temps, le b est la constante d'amortissement, ω_o est la pulsation caractéristique, et le A _ocos ( t de ω) représente quelque chose qui conduit le système avec le A _o d'amplitude et le ω de pulsation. le X est la mesure qui oscille ; il peut être position, courant, ou presque toute autre chose. La pulsation est liée à la fréquence, le f , près = de $de$

f \ frac {\ Omega} {2 \ pi}.

Limites importantes

Amplitude : déplacement maximal de l'équilibre .
Période : le temps elle prend le système pour accomplir un cycle d'oscillation. Inverse de la fréquence .
Fréquence : le nombre de cycles que le système exécute par temps d'unité (habituellement mesuré dans Hertz = 1/s).
Pulsation : $\backslash \; Omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f$
Phase : quelle quantité de cycle le système a accompli (le système qui commence a lieu dans la phase zéro, le système qui a accompli la moitié d'un cycle est dans le $de\; phase\; \backslash \; pi$).
États initiaux l'état du système au t = 0, le commencement des oscillations.

Oscillateur harmonique simple

Un oscillateur harmonique simple est simplement un oscillateur qui ni n'est atténué ni est conduit. Ainsi l'équation pour décrire un est : $\backslash \; frac\; de$

de
{\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = 0.

Physiquement, ce qui précède existe jamais réellement, puisqu'il y aura toujours frottement ou une autre résistance, mais deux exemples approximatifs sont une masse un ressort et un circuit du LC.

Dans le cas d'une masse fixée à un ressort, les lois de Newton, ont combiné avec la loi de Hooke pour le comportement d'un ressort, déclare cela : $de$

de
- k X = mA \, le

où le k est le constant m de
du ressort est le X la masse est la position du de masse de
qu'un est son accélération .

Puisque le d'accélération un est le deuxième dérivé du X de position, nous pouvons récrire l'équation comme suit : $de$

de
- k X = m \ frac {\ mathrm {d} ^2 X} {\ mathrm {d} t^2}.

La solution la plus simple à l'équation ci-dessus est

$x\; =\; A\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; t\; +\; \backslash )\; de\; delta\; \backslash ,$

et le deuxième dérivé de celui est $\backslash \; frac\; de$

de
{\ mathrm {d} ^2 X} {\ mathrm {d} t^2} = - A \ omega^2 \ cos (\ + d'Omega t \ delta) le

où le A est l'amplitude , δ est le déphasage, et le ω est la pulsation .

Branchant ces derniers de nouveau dans l'équation originale, nous avons : $de$

de
- un k \ cos (\ + d'Omega t \ delta) = - un m \ omega^2 \ cos (\ + d'Omega t \ delta). \,

Puis, après se divisant les deux côté par $-A\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; t\; +\; \backslash )\; de\; delta\; \backslash ,$ nous obtenons : $k\; de$

de
= m \ omega^2 \,

ou, en tant que lui est généralement écrit : = de $\backslash \; Omega\; de\; de$
\ racine carrée {\ frac {k} {m}}.

La formule ci-dessus indique que le ω de la pulsation de la solution dépend seulement des caractéristiques physiques du système, et pas les conditions initiales (ceux sont représentés par le A et le δ). Nous marquerons ce ω comme ω_o dorénavant. Ceci deviendra plus tardif important.

Équation universelle d'oscillateur

Le $de\; d\text{'}équation\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau^2\}\; +\; 2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau\}\; +\; q\; =\; 0$

est connu comme équation universelle d'oscillateur de puisque tous les systèmes oscillants linéaires du second degré peuvent être réduits à cette forme. Ceci est fait par le Nondimensionalization .

Si forçant fonction est f ( t ) = cos (ωt de ) = cos ( ωt_cτ ) = cos (τ ω), où ω = ωt_c , équation devient

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau^2\}\; +\; 2\; \backslash zéta\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau\}\; +\; q\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau).$

La solution à cette équation contient deux parts, le " ; transient" ; et le " ; " équilibré ;.

Solution passagère

La solution basée sur résoudre l'équation ordinaire est pour le arbitraire c ₁ de constantes et le c ₂ est

La solution passagère est indépendant de la fonction forçante. Si le système est en critique atténué, la réponse est indépendant de l'atténuation.

Solution équilibrée

Appliquer le " ; method" des variables complexes ; en résolvant l'équation auxiliaire ci-dessous et en trouvant alors la partie réelle de sa solution : $de\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2\; q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau^2\}\; +\; 2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau\}\; +\; q\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau)\; +\; I\; \backslash \; péché\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau)\; =\; e^\; \{I\; \backslash \; Omega\; \backslash \; tau\}.$

Supposer la solution est de la forme < ! -- \, \ ! est maintenir la formule rendue comme png au lieu du HTML. Veuillez ne pas l'enlever. --> $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; q\_s\; (\backslash \; tau)\; =\; e^\; d\text{'}A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}.$

Ses dérivés de zéro au deuxième ordre sont les $q\_s\; de\; =\; l\text{'}e^\; d\text{'}A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\},\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_s\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau\}\; =\; I\; \backslash \; e^\; d\text{'}Omega\; A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\},\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2\; q\_s\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; d\; \backslash \; tau^2\}\; =\; l\text{'}e^\; -\; \backslash \; omega^2\; A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}.$

La substitution de ces quantités dans l'équation donne < ! -- \, \ ! est maintenir la formule rendue comme png au lieu du HTML. Veuillez ne pas l'enlever. --> $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; e^\; -\; \backslash \; omega^2\; A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}\; +\; e^\; de\; 2\; \backslash \; zéta\; i\; \backslash \; Omega\; A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}\; +\; e^\; d\text{'}A\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}\; =\; (-\; \backslash \; omega^2\; A\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 2\; \backslash \; zéta\; i\; \backslash \; Omega\; A\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; A)\; e^\; \{I\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi)\}\; =\; e^\; \{I\; \backslash \; Omega\; \backslash \; tau\}.$

Division par la limite exponentielle sur les résultats gauches dedans < ! -- \, \ ! est maintenir la formule rendue comme png au lieu du HTML. Veuillez ne pas l'enlever. --> $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; -\; \backslash \; omega^2\; A\; +\; 2\; \backslash \; zéta\; i\; \backslash \; Omega\; =\; d\text{'}A\; +\; d\text{'}A\; =\; d\text{'}e^\; \{-\; I\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; -\; I\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi.$

L'égalisation des vraies et imaginaires pièces a comme conséquence le $Aindépendantde\; de\; deux\; équations\; (1\; \backslash \; omega^2)=\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \; qquad\; 2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega\; A\; =\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi.$

Pièce d'amplitude

Ajuster les deux équations et les ajouter donne ensemble le $de\; \backslash \; est\; parti.\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; A^2\; (1\; \backslash \; omega^2)^2\; =\; \backslash \; \backslash \; de\; cos^2\; \backslash \; phi\; \backslash \; (2\; \backslash \; =\; de\; zéta\; \backslash \; Omega\; A)^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; phi\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash droit\backslash \}\; \backslash \; Rightarrow\; A^2\; +\; (2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega)\; ^2\; =\; 1.$

Par convention la racine positive est prise puisque l'amplitude est habituellement considérée une quantité positive. Par conséquent, $A\; de\; =\; =\; d\text{'}A\; (\backslash ,\; de\; zéta\; \backslash \; Omega)\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{(1\; \backslash \; omega^2)^2\; +\; (2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega)\; ^2\}\}.$

Comparer ce résultat à la section de théorie sur la résonance , aussi bien que le " ; part" de grandeur ; du circuit du RLC. Cette fonction d'amplitude est particulièrement importante dans l'analyse et l'arrangement de la réponse en fr3quence des systèmes de second ordre.

Noter que les variables dans ces équations doivent être identifiées avant de montrer l'équation.

Pièce de phase

Pour résoudre pour φ, se divisent les deux équation pour obtenir

$\backslash \; tan\; \backslash \; phi\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega\}\; \{1\; -\; \backslash \; omega^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; omega^2\; -\; 1\}\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; phi\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; phi\; (\backslash ,\; de\; zéta\; \backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; zéta\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; omega^2\; -\; 1\}\; \backslash \; droit).$

Cette fonction de phase est particulièrement importante dans l'analyse et l'arrangement de la réponse en fr3quence des systèmes de second ordre.

Pleine solution

Combinaison des résultats de parties d'amplitude et de phase dans le $de\; de\; solution\; équilibrée\; \backslash ,\; \backslash \; !\; q\_s\; (\backslash \; tau)\; =\; A\; (\backslash \; zéta,\; \backslash )\; d\text{'}Omega\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi\; (\backslash ,\; de\; zéta\; \backslash \; Omega))\; =\; A\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; phi).$

La solution de l'équation universelle originale d'oscillateur est une superposition (somme) de des solutions passagères et équilibrées < ! -- \, \ ! est maintenir la formule rendue comme png au lieu du HTML. Veuillez ne pas l'enlever. --> $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; q\; (\backslash \; tau)\; =\; q\_t\; (\backslash \; tau)\; +\; q\_s\; (\backslash \; tau).$

Pour une description plus complète de la façon résoudre l'équation ci-dessus, voir les odes linéaires de avec les coefficients constants .

Systèmes équivalents

Les oscillateurs harmoniques se produisant dans un certain nombre de secteurs de la technologie sont équivalents dans le sens que leurs modèles mathématiques sont identiques (voir l'équation universelle d'oscillateur de ci-dessus). Au-dessous de est une table montrant des quantités analogues dans quatre systèmes harmoniques d'oscillateur en mécanique et électronique. Si des paramètres analogues sur la même ligne dans la table sont donnés numériquement des valeurs égales, le comportement des oscillateurs sera identique.

Applications

Le problème de l'oscillateur harmonique simple se pose fréquemment dans la physique en raison de la forme de sa fonction d'énergie potentielle : $V\; de$

(x) = \ frac {1} {2} k x^2.

Donné un $V\; arbitraire\; de\; fonction\; d\text{'}énergie\; potentielle\; (x)$, un peut faire une expansion de Taylor de en termes de $x$ autour d'un minimum d'énergie ($x\; =\; x\_0$) pour modeler le comportement de petites perturbations d'équilibre. + de $V\; de$

(x) = V (x_0) + V'((x-x_0) x_0) \ frac {1} {2} (x-x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3

Puisque le $V\; (x\_0)$ est un minimum, la première dérivée évaluée à $x\_0$ doit être zéro, ainsi la limite linéaire lâche : $V\; de$

(x) = + de V (x_0) \ frac {1} {2} (x-x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3

Le V ( X ₀) de la limite constante est arbitraire et peut être abandonné ainsi, et une transformation du même rang permet à la forme de l'oscillateur harmonique simple d'être recherchée : $V\; de$

(x) \ approximativement \ = de frac {1} {2} x^2 V^ {(2)} (0) \ frac {1} {2} k x^2

Ainsi, donné un $V\; arbitraire\; de\; fonction\; d\text{'}énergie\; potentielle\; (x)$ avec un deuxième dérivé non-vanishing, un peut employer la solution à l'oscillateur harmonique simple pour fournir une solution approximative pour de petites perturbations autour du point d'équilibre.

Exemples

Pendule simple

N'assumant aucune atténuation et petite amplitude, l'équation régissant un pendule simple est

$\{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t^2\}\; +\; \{g\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \}\; d\text{'}aune\; \backslash \; theta=0.$

La solution à cette équation est donnée par :

$\backslash \; thêta\; (t)\; =\; \backslash \; theta\_0\; \backslash \; cos\; \backslash \; parti\; (\backslash \; racine\; carrée\; \{g\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; aune\}\; t\; \backslash )\; droit\; \backslash quadruple\backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; |\backslash \; theta\_0|\; \backslash \; ll\; 1$

là où le $\backslash \; theta\_0$ est le plus grand angle atteint par le pendule. La période , le moment de pour une oscillation complète, est indiquée par $2\; \backslash \; pi$ divisés par celui qui multiplie le temps dans l'argument du cosinus

$T\_0\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; racine\; carré\; \{\backslash \; aune\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; de\; g\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; quadruple\; |\backslash \; theta\_0|\; \backslash \; ll\; 1.$

Pendule balançant au-dessus de la plaque tournante

Le mouvement harmonique simple peut dans certains cas être considéré la projection unidimensionnelle du mouvement circulaire bidimensionnel. Considérer un long pendule balançant au-dessus de la plaque tournante d'un tourne-disque . Sur le bord de la plaque tournante il y a un objet. Si l'objet est regardé du même niveau que la plaque tournante, une projection du mouvement de l'objet semble se déplacer vers l'arrière et expédie sur une ligne droite. Il est possible de changer la fréquence de la rotation de la plaque tournante afin d'avoir une synchronisation parfaite avec le mouvement du pendule.

La vitesse angulaire de la plaque tournante est la pulsation du pendule.

Généralement la pulsation de de - également connue sous le nom de pulsation, d'un mouvement harmonique simple à ligne directe est la vitesse angulaire du mouvement circulaire correspondant.

Par conséquent, un mouvement avec le T de période et le T du f =1/de fréquence a la pulsation $de$

\ = d'omega=2 \ pi f \ frac {2 \ pi} {T}.

Généralement la pulsation et la vitesse angulaire ne sont pas synonymes. Par exemple la pulsation d'un pendule n'est pas la vitesse angulaire du pendule elle-même, mais c'est la vitesse angulaire du mouvement circulaire correspondant.

système de la Ressort-masse

Quand un ressort est étiré ou comprimé par une masse, le ressort développe une force de reconstitution. La loi de Hooke de donne le rapport de la force exercée par le ressort quand le ressort est comprimé ou a étiré une certaine longueur : le $F\; de$

\ est parti (t \ droit) du =kx \ a laissé (t \ droit)

là où le F est la force, le k est la constante de ressort, et le X est le déplacement de la masse en ce qui concerne la position d'équilibre.

Ce rapport prouve que la distance du ressort est toujours vis-à-vis la force du ressort.

En employant l'équilibre de force ou une méthode d'énergie, il peut aisément montrer que le mouvement de ce système est donné par l'équation suivante : le $m\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ^\; de\; mathrm\; \{d\}\; \{2\}\; de$

} de {\ ^ de mathrm {d} {t} {2}} x \ a laissé (t \ droit) +kx (t)=0.

Si le déplacement initial est A, et il n'y a aucune vitesse initiale, la solution de cette équation est donnée par : $X\; \backslash \; de\; (t\; \backslash \; droit)\; =A\; \backslash \; cos\; laissé\; \backslash \; ((\backslash \; racine\; carrée\; \{k/m\})\; t\; \backslash \; droit\; laissés).$

; Variation d'énergie du système de ressort-amortisseur

En termes d'énergie, tous les systèmes ont deux types d'énergie, de l'énergie potentielle et d'énergie cinétique . Quand un ressort est étiré ou comprimé, il stocke l'énergie potentielle élastique, qui alors est transférée dans l'énergie cinétique. L'énergie potentielle dans un ressort est déterminée par le $d\text{'}équation\; U\; =\; 1/2\; \backslash ,\; le\; ^\; de\; k\; \{x\}\; \{2\}.$

Quand le ressort est étiré ou comprimé, l'énergie cinétique de la masse obtient convertie en énergie potentielle du ressort. Par la conservation de l'énergie, assumant les informations est défini à la position d'équilibre, quand le ressort atteint son énergie potentielle maximum, l'énergie cinétique de la masse est zéro. Quand le ressort est libéré, le ressort essayera d'atteindre de nouveau à l'équilibre, et toute son énergie potentielle est convertie en énergie cinétique de Massachusetts.

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