Orthogonalité

Dans les mathématiques , le orthogonal, comme adjectif simple , pas une partie d'une plus longue expression, est une généralisation du perpendiculaire de . Il signifie aux angles droits du grec du ὀρθός orthos , signifiant le " ; straight" ; , utilisé par Euclid pour signifier le droit ; et γωνία gonia , signifiant l'angle de . Deux rues qui se croisent à un à angle droit sont orthogonales à une une autre. Ces dernières années, " ; perpendicular" ; est venu pour être employé plus par rapport à de bonnes triangles en dehors de d'un contexte d'avion du même rang, tandis que " ; orthogonal" ; est employé en discutant des vecteurs ou la géométrie du même rang.

Explication

Formellement, deux vecteurs $x$ de et $y$ dans un espace $V$ de produit intérieur de sont orthogonaux si leur $de\; produit\; intérieur\; \backslash \; langle\; X,\; y\; \backslash \; rangle$ est zéro. Cette situation est $x\; \backslash \; perp\; dénotés\; y$.

Deux sous-espaces $A$ et $B$ de vecteur de de l'espace de vecteur $V$ s'appellent les sous-espaces orthogonaux si chaque vecteur dans $A$ est orthogonal à chaque vecteur dans $B$. Le plus grand sous-espace qui est orthogonal à un sous-espace donné est son complément orthogonal .

Un $Tlinéairede\; la\; transformation\; :\; V\; \backslash \; rightarrow\; V$ s'appelle une transformation linéaire orthogonale si elle préserve le produit intérieur . C'est-à-dire, pour toutes les paires de vecteurs $x$ et $y$ dans l'espace $V$ de produit intérieur, $de\; \backslash \; langle\; Tx,\; Ty\; \backslash \; =\; de\; rangle\; \backslash \; langle\; X,\; y\; \backslash \; rangle.$ Ceci signifie que $T$ préserve l'angle entre $x$ et $y$, et que les longueurs de $Tx$ et de $x$ sont égales.

Un système de réécriture de limite de serait le orthogonal s'il est gauche-linéaire et est non-ambigu. Les systèmes orthogonaux de réécriture de limite sont le confluent.

Le normal de mot est parfois également employé au lieu d'orthogonal. Cependant, le normal peut également se rapporter aux vecteurs d'unité . En particulier, le orthonormal se rapporte à une collection de vecteurs qui sont orthogonaux et normaux (de l'unité de longueur). Ainsi, using le normal de limite pour signifier le " ; orthogonal" ; est souvent évité.

Dans les espaces de vecteur euclidiens

Dans 2 - ou 3 - l'espace euclidien dimensionnel du , deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est zéro, c. ils font un angle de 90° ou l'orthogonalité des radians du π/2 par conséquent des vecteurs est une généralisation du concept du perpendiculaire. En termes de sous-espaces euclidiens le complément orthogonal d'une ligne est la perpendiculaire de l'avion à lui, et vice versa. Noter cependant qu'il n'y a aucune correspondance quant aux avions perpendiculaires, parce que les vecteurs dans les sous-espaces commencent à partir de l'origine .

Dans l'espace 4 euclidien dimensionnel, le complément orthogonal d'une ligne est un hyperplan et vice versa, et ce d'un avion est un avion.

Plusieurs vecteurs s'appellent le par paires qu'orthogonaux le cas échéant deux de eux sont orthogonaux, et un ensemble de tels vecteurs s'appelle un ensemble orthogonal . Un tel ensemble est un ensemble orthonormal si tous ses vecteurs sont des vecteurs par paires orthogonaux différents de zéro des vecteurs d'unité sont toujours le linéairement indépendant.

Fonctions orthogonales

Il est commun pour employer le produit intérieur suivant pour deux le f des fonctions et le g : $de$

\ langle f, = de g \ rangle_w \ int_a^b f (x) g (x) W (x) \, dx.

Ici nous présentons un $w\; non\; négatif\; de\; lafonction\; de\; poids(x)$ dans la définition de ce produit intérieur.

Nous disons que ces fonctions sont le orthogonal si ce produit intérieur est zéro : $de$

\ int_a^b f (x) g (x) W (x) \, dx = 0.

Nous écrivons les normes en ce qui concerne ce produit intérieur et la fonction de de poids en tant que $de\; ||f||=\; de\; \_w\; \backslash racine\; carrée\{\backslash \; langle\; f,\; f\; \backslash \; rangle\_w\}$

Les membres d'un ordre { i de _{de f : le i = 1, 2, 3,…} sont : orthogonal de
si $du$
de
\ f_i de langle, f_j \ rangle= \ ^ d'int_ {- \ infty} \ f_i infty (x) f_j (x) W (x) \, dx=||f_i||^2 \ delta_ {I, j} =||f_j||^2 \ $du$
de
du de}

du delta_ {I, j} \ f_i orthonormaux de langle, f_j \ rangle= \ ^ d'int_ {- \ infty} \ f_i infty (x) f_j (x) W (x) \, dx= \ delta_ {I, j} là où le $de\; \backslash \; delta\_\; \{I,\; j\}\; =\; \backslash \; sont\; partis\; \backslash \; \{\backslash \; commencent\; \{matrice\}\; 1\; et\; \backslash \; mathrm\; \{si\}\; \backslash \; i=j\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; mathrm\; \{si\}\; \backslash \; I\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; j\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}$ est le delta de Kronecker de . En d'autres termes, n'importe quels deux d'entre eux sont orthogonaux, et la norme de chacune est 1 dans le cas de l'ordre orthonormal. Voir en particulier les polynômes orthogonaux .

Exemples


les vecteurs (1, 3, 2), (3, &minus ; 1, 0), (1/3, 1, &minus ; 5/3) sont orthogonal entre eux, depuis (1) (3) + (3) (&minus ; 1) + (2) (0) = 0, (3) (1/3) + (&minus ; 1) (1) + (0) (&minus ; 5/3) = 0, (1) (1/3) + (3) (1) &minus ; (2) (5/3) = 0. Observer également que le produit scalaire des vecteurs avec eux-mêmes sont les normes de ces vecteurs, ainsi pour vérifier l'orthogonalité, nous doivent seulement vérifier le produit scalaire avec chaque autre vecteur.

les vecteurs (1, 0, 1, 0,…)^T et (0, 1, 0, 1,…)^T sont orthogonaux entre eux. Clairement le produit scalaire de ces vecteurs est 0. Nous pouvons alors faire la généralisation évidente pour considérer les vecteurs dans le n du Z ₂ ^:

pour un certain positif de nombre entier un , et pour 1 de ≤ du k de ≤ un &minus de ; 1, ces vecteurs sont orthogonal, par exemple (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0) ^T, (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)^T, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0) ^T sont orthogonal. le

prennent deux le t des fonctions quadratiques 2 + 3 et 5 le t ² + &minus du t ; 17/9. Ces fonctions sont orthogonales en ce qui concerne une fonction de poids spécifique sur l'intervalle du &minus ; 1 à 1. Le produit de ces deux fonctions est 10 le t ³ + 17 &minus du t ² ; 7/9 &minus du t ; 17/3, et maintenant,

$\backslash \; int\_\; \{-\; le\; ^\; de\; 1\}\; \{1\}\; \backslash \; parti\; (\{7\; \backslash \; plus\; de\; 9\})\; de\; t\; 10t^3+17t^2-\; \{17\; \backslash \; plus\; de\; 3\}\; \backslash \; droit\; \backslash ,\; ledécollement=\; \backslash \; a\; laissé\; 2\}\; le\; ^\; de\; t^4+\; \{17\; \backslash \; plus\; de\; 3\}\; t^3-\; \{7\; \backslash \; plus\; de\; 18\}\; t^2-\; \{17\; \backslash \; plus\; de\; 3\}\; t\; \backslash \; right\_\; \{-\; 1\}\; \{1\}$ $=\; de$

de
\ parti ({5 \ plus de 2} (1)^4+ {17 \ plus de 3} (1)^3- {7 \ plus de 18} (1)^2- {17 \ plus de 3} (1) \ droit) - \ ({5 \ plus de 2} (- 1) ^4+ {17 \ plus de 3} (- 1) ^3- {7 \ plus de 18} (- 1) ^2- {17 \ plus de 3} (- 1) \ droit) laissé $=\; de$

de
{19 \ plus de 9} - {19 \ plus de 9} =0.

les fonctions 1, péché nx ), cos (nx (de de ) : le n = 1, 2, 3,… sont orthogonal en ce qui concerne la mesure de Lebesgue de sur l'intervalle de 0 à 2π. Ce fait est de base dans la théorie de la série de Fourier De . ordres polynômes eponymously appelés de

les divers sont des ordres des polynômes orthogonaux . En particulier : le
les polynômes de Hermite de sont orthogonal en ce qui concerne le de distribution normale avec le

de la valeur prévue 0.

que les polynômes de Legendre de sont orthogonaux en ce qui concerne la distribution uniforme sur l'intervalle du &minus ; 1 à 1. le
les polynômes de Laguerre de sont orthogonal en ce qui concerne la distribution exponentielle . Légèrement davantage les ordres polynômes du Général Laguerre sont orthogonaux en ce qui concerne le

gamma des distributions

de que les polynômes de Tchebychev de de la première sorte sont orthogonaux en ce qui concerne la mesure $1/\backslash \; racine\; carrée\; \{1-x^2\}.\; le$

de

les polynômes de Tchebychev de la deuxième sorte sont orthogonal en ce qui concerne la distribution de demi-cercle de Wigner de . le

dans le , deux Eigenstates de la mécanique quantique De d'un Wavefunction , le $\backslash \; psi\_m$ et $\backslash \; psi\_n$, sont orthogonal s'ils correspondent à différentes valeurs propres. Ce moyens, dans la notation de Dirac de , ces $\backslash \; langle\; \backslash \; psi\_m\; |\; \backslash \; psi\_n\; \backslash \; rangle\; =\; 0$ à moins que le $\backslash \; psi\_m$ et $\backslash \; psi\_n$ correspondent à la même valeur propre. Ceci suit de l'équation de ce Schrödinger de est une équation de Sturm-Liouville (dans la formulation de Schrödinger) ou cela des choses observables sont donnés par les opérateurs hermitiens (dans la formulation de Heisenberg).

Significations dérivées

D'autres significations du orthogonal de mot ont évolué de son utilisation plus à court terme dans les mathématiques.

Art

Dans l'art la perspective a imaginé que des lignes indiquant le point Vanishing désigné sous le nom « des lignes orthogonales ».

De l'informatique < ! -- Cette section est liée du Motorola 68000 -->

L'orthogonalité est une propriété de conception de système facilitant la praticabilité et la compacité des conceptions complexes. L'orthogonalité garantit que cela la modification de l'effet technique produit par un composant d'un système ni ne crée ni propage des effets secondaires à d'autres composants du système. Le comportement émergent d'un système se composant des composants devrait être commandé strictement par des définitions formelles de sa logique et pas par des effets secondaires résultant de l'intégration pauvre, c. conception non-orthogonale des modules et des interfaces. L'orthogonalité réduit examiner et temps d'élaboration parce qu'il est plus facile de vérifier les conceptions que ni ne causer à des effets secondaires ni dépendre de elles.

Par exemple, une voiture a les composants et les commandes orthogonaux (par exemple l'accélération du véhicule n'influence pas toute autre chose mais les composants impliqués exclusivement de la fonction d'accélération). D'une part, une conception non-orthogonale pourrait faire influencer sa direction son freinage (par exemple commande électronique de stabilité de ), ou son coup sec de vitesse sa suspension. En conséquence, cette utilisation est vue pour être dérivée de l'utilisation du orthogonal dans les mathématiques : On peut projeter un vecteur sur un sous-espace en le projetant sur chaque membre d'un ensemble de vecteurs de base de séparément et en ajoutant le de projections si et seulement si les vecteurs de base sont mutuellement orthogonaux.

Un ensemble d'instruction serait le l'instruction qu'orthogonale de le cas échéant peut utiliser n'importe quel registre dans n'importe quel mode d'adressage . Cette terminologie résulte de considérer une instruction comme vecteur dont les composants sont les champs d'instruction. Un champ identifie les registres à actionner au moment, et un autre spécifie le mode d'adressage. Un ensemble d'instruction orthogonal code uniquement toutes les combinaisons des registres et des modes d'adressage.

Communications par radio

Dans les communications par radio, les arrangements de multiple-accès sont orthogonaux quand un récepteur idéal peut complètement rejeter arbitrairement les signaux non désirés forts using les différentes fonctions de base que le signal désiré. Un tel arrangement est le TDMA , où les fonctions de base orthogonales sont des impulsions rectangulaires non-recouvertes (" ; " de tranches de temps ;).

Un autre arrangement est le multiplexage frequency-division orthogonal (OFDM) de , qui se rapporte à l'utilisation, par un émetteur simple, d'un ensemble de signaux multiplexés par fréquence avec l'espacement minimum exact de fréquence requis pour les rendre orthogonaux de sorte qu'ils ne s'y mêlent pas les uns avec les autres. Les exemples bien connus incluent des versions du WI-Fi du 802.11 ; DVB-T , le système numérique terrestre d'émission de TV Utilisé dans la majeure partie du monde extérieur l'Amérique du Nord ; et DMT, le format standard d'ADSL .

Statistiques, économétrie, et sciences économiques

En exécutant l'analyse statistique, les variables qui affectent un résultat particulier serait orthogonales si elles sont non-corrélatives. C'est-à-dire qu'en variant chacun séparément, on peut prévoir l'effet combiné de les varier conjointement. Si la corrélation est présente, les facteurs ne sont pas orthogonaux. En outre, les restrictions d'orthogonalité sont nécessaires pour l'inférence. Cette signification d'orthogonalité dérive de la mathématique, parce que les vecteurs orthogonaux sont linéairement indépendant.

Taxonomie

En taxonomie , une classification orthogonale est une dans laquelle aucun article n'est un membre de plus d'un groupe, c., les classifications sont mutuellement - exclusivité.

Combinatoire

Dans la combinatoire, deux × du n ; les places latines du n serait orthogonales si leur superposition rapporte toutes les combinaisons possibles du n ² des entrées.

Chimie

Dans la protection orthogonale de de chimie est une stratégie permettant le deprotection des groupes fonctionnels indépendamment les uns des autres.

Voir également

la Casserole-orthogonalité orthogonale de

d'Orthonormality

de de

du complément

de de
l'orthogonalisation de de
de processus de

de Gramme-Schmidt se produit dans le Coquaternions * surface orthogonale normal

de de

du groupe

de la base de de

de des polynômes

de

de de la matrice orthogonale

de orthogonal orthonormal de

.

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