Ordre multiplicatif

Dans la théorie des nombres , donnée un du nombre entier un et un positif de nombre entier n avec le gcd ( un , n ) de = 1, l'ordre multiplicatif du un n de modulo de est le plus petit positif de nombre entier k avec le de par &equiv du k de ^{de ; 1 ( n de modulo ). L'ordre du un n de modulo de est habituellement écrit à du n d'ord_{un , ou n} ( d'O_{un ).}}

Par exemple, pour déterminer l'ordre multiplicatif 4 du modulo 7, nous calculons 4² = le &equiv 16 ; 2 (modulo 7) et &equiv 4³ ; 4× ; &equiv 2 = 8 ; 1 (modulo 7), tellement ord₇(4) = 3.

Sans connaissance que nous travaillons dans un groupe fini, nous pouvons prouver que le un de réellement a un ordre en notant que les puissances du qu'un peut seulement prendre un nombre fini du différent n de modulo de valeurs, tellement là doivent être deux puissances, indiquent le s et le t , tels que un &equiv du s de ^{de ; un n de module du t} de ^{de . Depuis le un et le n est le copremier, ceci implique ce un ^{de | s - t |&equiv de} ; 1 n de modulo.}

Le concept de l'ordre multiplicatif est un cas spécial de l'ordre de des éléments de groupe. L'ordre multiplicatif d'un de nombre un n de modulo de est l'ordre du par dans le groupe multiplicatif dont les éléments sont le n de modulo de résidus des nombres copremiers au n , et dont l'opération de groupe est le n de modulo de multiplication. C'est le groupe de d'unités du n de _{du Z de l'anneau ; il a le &phi ; ( n ) éléments, &phi ; être la fonction totient d'Euler de , et est dénoté comme U ( n ) ou U ( n} de _{de Z ).}

Par suite du théorème de Lagrange de , le du n d'ord_{un de toujours divise le &phi de ; ( n ). Si le du n} d'ord_{un est réellement égal au &phi ; ( n ) et donc aussi grand que possible, alors le un s'appelle un n de modulo de la racine primitive . Ceci signifie que le U ( n ) de groupe est le cyclique et la classe de résidu du qu'un produit de elle.}

Voir également

Arithmétique modulaire
Ordre de (théorie de groupe)

Random links: