Ordre exact

Dans les mathématiques , particulièrement dans l'algèbre homologique et d'autres applications de théorie abélienne de la catégorie , aussi bien que dans la théorie de groupe , un ordre exact est l'ordre (fini ou infini) d'a des objets et du Morphisms entre eux tels que l'image d'un morphism égale le grain du prochain.

Définition

Pour être précis, fixer une catégorie abélienne (tel que la catégorie de groupes abéliens ou la catégorie des espaces de vecteur au-dessus d'un champ donné ) ou une autre catégorie avec les grains et le Cokernels (tel que la catégorie de tout le groupe ). Choisir un ensemble d'index de nombres entiers consécutifs du Alors pour chaque de nombre entier i dans l'ensemble d'index, laisser le i de _{du A être un objet dans la catégorie et laisser le i} de _{du f être un morphism du i +1} de _{du i} au A de _{du A . Ceci définit un ordre des objets et des morphisms.}

L'ordre est le exact au i de _{du A si l'image du &minus du i de _{du f ; 1} est égal au grain du i} de _{du f : &minus du i de _{du f du
im de
; 1} = i} de _{du f de ker. L'ordre lui-même est le exact s'il est exact à chaque objet (excepté au tout premier et tout dernier objet, où la précision ne semble pas raisonnable).}

Exemple

Considèrent suivant ordre de abélien groupe

$0 \ \ Bbb {Z} \ \ Bbb {Z} \ \ Bbb {Z} /2 \ Bbb {} de Z \ à 0$ là où 0 dénote le groupe abélien insignifiant avec un élément simple, la carte du Z au Z est multiplication par le 2 , et la carte du Z au Z du Z /2 du groupe de facteur est donnée en réduisant le modulo 2. de de nombres entiers. C'est en effet un ordre exact :
l'image de la carte 0&rarr ; Le Z est {0}, et le grain de la multiplication par 2 est également {0}, ainsi l'ordre est exact au premier Z .
l'image de la multiplication par 2 est 2 le Z , et le grain de réduire le modulo 2 est également 2 le Z , ainsi l'ordre est exact au deuxième Z .
l'image de réduire le modulo 2 est tout le Z du Z /2, et le grain de la carte zéro est également tout le Z du Z /2, ainsi l'ordre est exact au Z du Z /2 de position

Cas spéciaux

Pour sembler raisonnable de la définition, il est utile de considérer ce que signifie dans des cas relativement simples où l'ordre est fini et commence ou finit il avec 0.

le &rarr de l'ordre 0 ; &rarr du A ; Le B est exact au A si et seulement si la carte du A au B a le grain {0}, c. si et seulement si cette carte est un monomorphisme .
Duel, le &rarr du B d'ordre ; &rarr du C ; 0 est exact au C si et seulement si l'image de la carte du B au C est tout le C , c. si et seulement si cette carte est un Epimorphism .
Une conséquence de ces deux derniers faits est que le &rarr de l'ordre 0 ; &rarr du X ; &rarr du Y ; 0 est exact si et seulement si la carte du X au Y est un isomorphisme .

En traitant des ordres exacts des groupes, il est commun pour écrire 1 au lieu de 0 pour le groupe insignifiant avec un élément simple.

Importants sont les ordres exacts courts , qui sont des ordres exacts de la forme

Par ce qui précède, nous savons que pour un tel ordre exact court, le f est un monomorphisme et le g est un epimorphism. En outre, l'image du f est égale au grain du g . Il est utile de penser au A comme subobject du B avec le f étant l'encastrement du A dans le B , et du C comme correspondant B / A d'objet de facteur, avec le g de carte étant la projection normale du B au B / A (dont le grain est exactement le A ).

Faits

Le lemme de division déclare cela si l'ordre exact court ci-dessus admet un t de morphism : &rarr du B ; A tels que le f du t o est l'identité sur le du A ou le un u de morphism : &rarr du C ; Le B tels que le u du g o est l'identité sur le C , puis le B est une somme directe tordue par de A et de C . (Pour des groupes, une somme directe twisted est un produit semidirect ; dans une catégorie abélienne, chaque somme directe twisted est une somme directe ordinaire.) Dans ce cas-ci, nous disons que le court d'ordre exact dédouble .

Le lemme de serpent de montre comment un diagramme commutatif avec deux rangées exactes provoque un plus long ordre exact. Le lemme du neuf est un cas spécial.

Le lemme du cinq donne les conditions dans lesquelles la carte moyenne dans un diagramme commutatif avec des rangées exactes de la longueur 5 est un isomorphisme ; le lemme du short cinq de est un cas spécial s'appliquant en aux ordres exacts courts.

L'importance des ordres exacts courts est soulignée par le fait des résultats de cet chaque ordre exact de " ; together" de tissage ; plusieurs ordres exacts courts de recouvrement. Considérer par exemple l'ordre exact

$A_1 de \ à A_2 \ à A_3 \ à A_4 \ à A_5 \ à A_6 \, \ !$

et définir = de $C_k de \ ker (A_k \ à A_ {k+1}) = \ = d'operatorname {im} (A_ {k-1} \ à A_k) \ operatorname {coker} (A_ {k-2} \ à A_ {k-1})$ Alors nous obtenons un diagramme commutatif dans lequel toutes les diagonales sont des ordres exacts courts :
de
Réciproquement, donné n'importe quelle liste de recouvrir des ordres exacts courts, leurs limites moyennes forment un ordre exact de la même manière.

Applications des ordres exacts

Dans la théorie de catégories abéliennes, les ordres exacts de short sont employés souvent comme langue commode pour parler des objets sub-- et de facteur.

Le problème de prolongation de est essentiellement la question, donnée les limites de fin le A et le C d'un ordre exact court, quelles possibilités existent pour le B de limite moyenne ? Dans la catégorie des groupes, c'est équivalent à la question, quels groupes que le B ont le A comme sous-groupe normal et le C en tant que groupe de facteur correspondant ? Ce problème est important dans la classification de des groupes . Voir également le groupe externe d'automorphisme de .

Noter que dans un ordre exact, le i de _{du f du i +1} o de _{du f de composition trace le i} de _{du A à 0 dans le i +2} de _{du A , ainsi chaque ordre exact est une chaîne complexe de . En outre, seulement le i}-images de _{du f des éléments du i} de _{du A sont tracés à 0 par le i +1} de _{du f , ainsi l'homologie de ce complexe à chaînes est insignifiante. Plus succinctement : les ordres exacts de sont avec précision ces complexes à chaînes qui sont le acyclique. Donné n'importe quel complexe à chaînes, son homologie peut donc être considérée comme mesure du degré auquel elle n'est pas exacte.}

Si nous prenons une série d'ordres exacts courts liés par les complexes à chaînes (c'est-à-dire, un ordre exact court des complexes à chaînes, ou d'un autre point de vue, d'un complexe de chaîne des ordres exacts courts), alors nous pouvons dériver de ceci un long ordre exact (c. un ordre exact de répertorié par les nombres normaux) par l'application répétée du lemme de serpent de . Ceci est expliqué dans l'article sur l'homologie . Il monte dans la topologie algébrique dans l'étude de l'homologie relative ; l'ordre de Mayer-Vietoris de est un autre exemple. Les longs ordres exacts induits par des ordres exacts courts sont également caractéristique des functors dérivés par

Les functors exacts sont Functors qui transforment des ordres exacts en ordres exacts.

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