Ordre de Thue-Morse

Dans les mathématiques et ses applications, l'ordre de Thue-Morse de , ou l'ordre de Prouhet-Thue-Morse de , est un ordre binaire de certain dont les segments initiaux alternent (dans un certain sens).

L'ordre de Thue-Morse commence :

0&thinsp ; 1&thinsp ; 10&thinsp ; 1001&thinsp ; 10010110&thinsp ; 1001011001101001…

Cependant, parfois d'autres symboles sont employés sans compter que 0 et 1, tel que 1 et 2, ou 1 et 0 (dans l'ordre opposé), ou à gauche et à droite, en haut et en bas, etc. Ainsi on peut parler du d'ordre de Thue-Morse sur par paires commandées par données .

Définition

Il y a plusieurs manières équivalentes de définir l'ordre de Thue-Morse.

Définition directe

Pour calculer l'élément $t_n$ de $n$ th, écrire le nombre $n$ dans la binaire. Si le nombre de ceux dans cette expansion binaire est puis $t_n=1$ impair, si même puis $t_n=0$ . Pour cette raison les numéros de d'appel de John H. Conway et autres $n$ satisfaisant des nombres ious du OD de $t_n=1$ et les nombres pour lesquels l'ev IL de de $t_n=0$ numérote.

Relation de récurrence

L'ordre de Thue-Morse est l'ordre $t_n$ satisfaisant $t_0 = 0$ et ${2n+1} = 1 t_n$

pour tout le positif n de nombres entiers.

L-système

L'ordre de Thue-Morse est le rendement du système suivant de Lindenmayer de : variables 0 1 de constantes aucun début 0 de le ordonne (0 → 01), (1 → 10)

Caractérisation using au niveau du bit la négation

L'ordre de Thue-Morse sous la forme donnée ci-dessus, comme ordre du peu peut être le défini périodiquement using l'opération de la négation au niveau du bit. Ainsi, le premier élément est 0. Alors une fois que les premiers 2^{éléments du n} ont été spécifiés, la formation d'un s de corde, puis des prochains 2^{éléments du n} doit former au niveau du bit la négation du s . Maintenant nous avons défini les premiers 2^{éléments du n +1}, et nous recurse.

Définissant les premiers fait un pas en détail :
Nous commençons par 0.
Au niveau du bit la négation de 0 est 1.
Combinant ces derniers, les 2 premiers éléments sont 01.
Au niveau du bit la négation de 01 est 10.
Combinant ces derniers, les 4 premiers éléments sont 0110.
Au niveau du bit la négation de 0110 est 1001.
Combinant ces derniers, les 8 premiers éléments sont 01101001.
Et ainsi de suite.

Produit infini

L'ordre peut également être défini par :

$\ prod_ {i=0} ^ {} (^ de 1 - x^ {2^ {I}}) = \ ^ de sum_ {j=0} {\ infty} (- 1) {t_j} x^ {j} \ mbox {,} \ !$ là où le j de _{du t est l'élément de Th du j si nous commençons au j = 0.}

Quelques propriétés

Puisque chaque nouveau bloc dans l'ordre de Thue-Morse est défini en formant au niveau du bit la négation du commencement, et ceci est répété au début du prochain bloc, l'ordre de Thue-Morse est rempli de places de : cordes consécutives qui sont répétées. C'est-à-dire, il y a beaucoup d'exemples du XX , où le X est une certaine corde. Cependant, il n'y a aucun cube en : exemples du XXX . Il n'y a également aucun à angle droit de recouvrement de : exemples de 0 X X 1. du X 1 de 0 ou 1 du X 0.

Le rapport au-dessus de celui l'ordre de Thue-Morse est " ; rempli de squares" ; peut être rendu précis : C'est un ordre récurrent , signifiant que donné n'importe quel fini de corde X dans l'ordre, il y a un certain X de _{du n de longueur (souvent beaucoup plus longtemps que la longueur de X ) tels que le X semble dans le chaque bloc de du n de longueur. La manière la plus facile de faire un ordre récurrent est de former un ordre périodique , un de où les répétitions d'ordre entièrement après un m de nombre donné des étapes. Alors le X} de _{du n peut être placé à n'importe quel multiple du m qui est plus grand que deux fois la longueur du X . Mais l'ordre de Morse est récurrent sans étant périodique, ni même par la suite périodique (signification périodique après un certain segment initial non périodique).}

On peut définir un de la fonction f du réglé des ordres binaires à lui-même en remplaçant chaque 0 dans un ordre par 01 et chaque 1 avec 10. Alors si le T est l'ordre de Thue-Morse, puis le f ( T ) est le T encore ; c'est-à-dire, le T est un point fixe du f . En fait, le T est essentiellement le point fixe du seulement de f ; le seul l'autre point fixe est au niveau du bit la négation du T , qui est simplement l'ordre de Thue-Morse dessus (1.0) au lieu de dessus (0. Cette propriété peut être produite au concept d'un ordre automatique .

Dans la théorie des jeux rectangulaires combinatoire

L'ensemble de mal de numérote des formes de (nombres $n$ avec $t_n=0$ ) un sous-espace des nombres entiers non négatifs sous la Nim-addition (de exclusivité de au niveau du bit ou ). Pour le jeu du Kayles , les nombres mauvais forment l'espace clairsemé - le sous-espace des Nim-valeurs qui se produisent pour le peu de (de façon finie des positions de beaucoup) dans les jeu-et nombres odieux sont le coset commun .

Le problème de Prouhet-Tarry-Escott

Le problème de Prouhet-Tarry-Escott peut être défini comme : diviser l'ensemble de tous les nombres entiers de 0 à N dans deux sous-ensembles disjoints S₀ et S₁, tels que

n^k de $\ sum_ {n \ dans S0} = \ n^k$ du sum_ {n \ dans le S1} Cette équation est vraie si
N est une puissance de 2,
et S₀ contient tout le n (le n=0, S₁ de _{du t contient tout le n (n=1.
et k=0… LD (N+1)}

Graphiques de fractales et de tortue

Les graphiques de tortue est la courbe qui est produite si un automate est programmé avec un ordre. Si les membres d'ordre de Thue-Morse sont habitués afin de choisir le programme énonce :

si t (n) = 0, se déplacent en avant par une unité,
Si t (n) = 1, tournent dans le sens contraire des aiguilles d'une montre par un angle de π/3, la courbe en résultant converge au flocon de neige , une courbe de Koch de de fractale de longueur infinie contenant un secteur fini. Ceci illustre la nature de fractale de l'ordre de Thue-Morse.

Histoire

L'ordre de Thue-Morse a été étudié la première fois par le P. Prouhet dans le 1851 , qui l'a appliqué à la théorie des nombres . Cependant, Prouhet n'a pas mentionné l'ordre explicitement ; ceci a été laissé à Axel Thue dans le 1906 , qui l'a employé pour fonder l'étude de la combinatoire sur des mots. L'ordre a été seulement porté à la connaissance mondiale avec le travail du Marston Morse dans le 1921 , quand il l'a appliqué à la géométrie différentielle . L'ordre a été découvert indépendamment beaucoup de fois, pas toujours par les mathématiciens professionnels de recherches ; par exemple, Euwe maximum , un grandmaster d'échecs de et professeur de mathématiques, découvert lui dans le 1929 dans une application aux échecs : en employant sa propriété cube-libre (voir ci-dessus), il a montré comment éviter une règle visée empêchant les jeux infiniment prolongés en déclarant la répétition des mouvements une aspiration.

Voir également

Prouhet-Thue-Morse constant

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