Ordre de Sheffer

Dans les mathématiques , un ordre polynôme , c., un ordre { n ( X ) de de _{de p : le n = 0, 1, 2, 3,…} de polynômes dans lesquels l'index de chaque polynôme égale son degré, est un ordre de Sheffer de (de Isadore M. Sheffer ) si le d'opérateur linéaire Q sur des polynômes dans le X définis près $Qp_n de (x) = np_ {n-1} (x) \,$}

est décalent-equivariant. Pour dire que le Q est décaler-equivariant signifie cela si le f ( X ) = le g ( X + un ) est un " ; shift" ; du g ( X ), puis (Qf) ( X ) = le (Qg) ( X + un ), c., le Q permute avec chaque " ; décaler l'operator" ;.

L'ensemble de tous les ordres de Sheffer est un groupe sous l'opération de la composition umbral des ordres polynômes, définie comme suit. Supposer { ; de _{du p n}(x) : n = 0, 1, 2, 3, ; … ;} et { ; de _{du q n}(x) : n = 0, 1, 2, 3, ; … ;} sont les ordres polynômes, donnés près

${et} \ q_n (_ de ^ N.B de x)= \ sum_ {k=0}.$

Alors le umbral q du p o de composition est l'ordre polynôme dont la limite de Th du n est $de (p_n \ circ q) (q_k d'a_ de ^n de x)= \ sum_ {k=0} {N, k} (x)= \ x^ de b_ a_ de sum_ {0 \ le k \ le \ aune \ le n} {N, k} {, de k \ aune} \ ell$

(le souscrit n apparaît dans le n de _{du p , puisque c'est la limite du n de cet ordre, mais pas dans le q , puisque ceci se rapporte à l'ordre dans son ensemble plutôt qu'une de ses limites).}

L'élément neutre de ce groupe est la base standard de monôme $e_n de (x) = x^n = \ ^n de sum_ {k=0} \ delta_ {N, k} x^k.$

Deux sous-groupes importants sont le groupe d'ordres d'Appell de qui sont ces ordres pour lesquels le Q d'opérateur est seule différentiation, et le groupe d'ordres du type binomial , qui sont ceux qui satisfont le $p_n de d'identité (x+y)= \ p_ de p_k ^n de sum_ {k=0} {n \ choisissent k} (x) {n-k} (y).$ Un ordre de Sheffer { p_n ( X ) : le n = 0, 1, 2,…} est de type binomial si et seulement si tout les deux

$p_0 de (x) = 1 \,$

et $p_n de (0) = 0 \ mbox {pour} n \ GE 1. \,$

Le groupe d'ordres d'Appell est le abélien ; le groupe d'ordres de type binomial n'est pas. Le groupe d'ordres d'Appell est un sous-groupe normal ; le groupe d'ordres de type binomial n'est pas. Le groupe d'ordres de Sheffer est un produit semidirect du groupe d'ordres d'Appell et du groupe d'ordres de type binomial. Il suit que chaque Coset du groupe d'ordres d'Appell contient exactement un ordre de type binomial. Deux ordres de Sheffer sont dans le même tel coset si et seulement si le Q d'opérateur décrit ci-dessus -- a appelé le " ; " de l'opérateur de delta de ; de cet ordre -- est le même opérateur linéaire dans les deux cas. (Généralement, un opérateur de delta de est décalent-equivariant l'opérateur linéaire sur des polynômes qui réduit le degré d'un. La limite est due à F.)

Si le s_n ( X ) est un ordre et un p_n ( X ) de Sheffer est l'un ordre du type binomial qui partage le même opérateur de delta, puis $s_n de (x+y)= \ s_ de p_k ^n de sum_ {k=0} {n \ choisissent k} (x) {n-k} (y).$

Parfois l'ordre de Sheffer de de limite est défini par pour signifier un ordre qui a cette relation à un certain ordre de type binomial. En particulier, si { s_n ( X )} est un ordre d'Appell, puis $s_n de (x+y)= \ x^ks_ ^n de sum_ {k=0} {n \ choisissent k} {n-k} (y).$

L'ordre des polynômes de Hermite de , l'ordre des polynômes de Bernoulli , et l'ordre { xⁿ : le n = 0, 1, 2,…} sont des exemples des ordres d'Appell.

L'article sur les polynômes d'Appell généralisés par donne une fonction se produisante et la relation de récurrence pour les polynômes de Sheffer.

des exemples et peut-être des applications devraient être ajoutées ici.

Certains des résultats ci-dessus sont apparus la première fois dans le papier visé ci-dessous.

Voir également

Bernstein-Sato polynôme

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