Opérateur lié

Dans l'analyse fonctionnelle (une branche de de mathématiques ), un opérateur linéaire lié est un linéaire de la transformation L entre le X des espaces de vecteur de Normed et le Y pour lesquels le rapport de la norme du L ( v ) à celui du v est lié par par le même nombre, au-dessus de tout le différent de zéro de vecteurs v dans le X . En d'autres termes, là existe un certain du M ; > ; 0 tels que pour tout le v dans le X ,

$\|BT \|_Y \ le M \|v \|_X. \,$

Le plus petit un tel M s'appelle le $de \|L \|_$ {op} du L .

Un opérateur linéaire lié n'est pas nécessairement une fonction liée ; ce dernier exigeraient que la norme du L ( v ) soit liée pour tout le v . En revanche, un opérateur linéaire lié est une fonction localement lié de .

Un opérateur linéaire est lié si et seulement si c'est le continu.

Exemples

n'importe quel opérateur linéaire entre les deux espaces normed fini-dimensionnels est lié, et un tel opérateur peut être regardé comme la multiplication par une certaine matrice fixe .

beaucoup transformée sont les opérateurs linéaires liés. Par exemple, si de
$K de : b \ période d \ à {\ mathbf R}$
est continu fonction, puis opérateur $L,$ défini sur l'espace $C b$ de continu fonction sur $b$ doté avec uniforme norme et avec valeur dans l'espace $C d,$ avec $L$ donné par formule

$(LF) (y)= \ int_ {a} ^ {} de b \ ! K (x, y) f (x) \, le dx, de$ est lié. Cet opérateur est en fait le compact. Les opérateurs compacts forment une classe importante des opérateurs liés.

le de
de l'opérateur de Laplace de $\ delta de : H^2 ({\ mathbf R} ^n) \ à L^2 ({\ mathbf R} de ^n)$ (son domaine est un espace de Sobolev de et il prend des valeurs dans un espace des fonctions intégrables de place de que est lié.

l'opérateur de décalage sur le '' l '' l'espace de ² de tout le ordonnance ( X ₀, X ₁, X ₂…) de vrais nombres avec $x_0^2+x_1^2+x_2^2+ \ cdots < \ infty, de de$ le $L de (x_0, x_1, x_2, \ points) = (0, x_0, x_1, x_2, \ points) de$ est lié. Sa norme est facilement vue pour être 1.

Équivalence de boundedness et de continuité

Comme indiqué dans l'introduction, un d'opérateur linéaire L entre le normed X des espaces et le Y est lié si et seulement si c'est un opérateur linéaire continu . La preuve est comme suit.

supposent que le L est lié. Puis, parce que tout le v de vecteurs et h dans le X avec le h différent de zéro nous avons le de
$de \|L (v + h) - L v \| = \|Main gauche \| \ le M \|h \|. le de$ laissant le $\ mathit {h}$ vont à zéro prouve que le L est continu au v .

réciproquement, il découle de la continuité au vecteur zéro que là existe un $\ delta > un 0$ tels que le $gauche - L (0) \| \ le 1$ pour tout le de vecteurs h dans le X avec le $\|h \| \ le \ delta$ . Ainsi, pour tout le $v$ différent de zéro dans le X , un a le de
$) \ droit \ Vert = {\|v \| \ au-dessus de \} de delta \ laissé \ Vert L \ laissé (\ delta {v \ au-dessus de \|v \|} \ droit) \ droit \ Vert \ le {\|v \| \ au-dessus de \} de delta \ cdot 1 = {1 \ au-dessus de \} de delta \|v \|. le de$ ceci montre que le L est lié.

Linéarités et boundedness

Non chaque opérateur linéaire entre les espaces normed est lié. Laisser le X être l'espace de tous les polynômes trigonométriques défini sur le π, avec le

de de norme \|P \|= \ int_ {- \ pi} ^} {\ pi \ ! |P (x)|\, dx.

Définir le L d'opérateur : Le X qui agit en prenant le dérivé , ainsi il de → du X trace un polynôme P à son &prime dérivé du P ;. Puis, pour le

v=e^ de {dans x}

avec le n =1, 2,…., nous avons le

\|v \|=2 \ pi,

tandis que

\|L (v) \|=2 \ pi n \ à \ infty

comme →∞ du n , ainsi cet opérateur n'est pas lié.

Il s'avère que ce n'est pas un exemple singulier, mais plutôt une partie d'une règle générale. N'importe quel opérateur linéaire défini sur un espace normed fini-dimensionnel est lié. Cependant, donné tous les espaces normed le X et le Y avec le X infini-dimensionnel et le Y ne pas être l'espace nul, un peut trouver un opérateur linéaire de qui n'est pas continu du X au Y .

Qu'un opérateur de base tel que le dérivé (et d'autres) n'est pas lié le rend plus dur pour étudier. Si, cependant, on définit soigneusement le domaine et la gamme de l'opérateur dérivé, une peut prouver que c'est un opérateur fermé par . Les opérateurs fermés sont plus généraux que les opérateurs liés mais toujours le " ; well-behaved" ; de plusieurs manières.

D'autres propriétés

La condition pour le L à lier, à savoir que là existe un certain M tel que pour tout le $de du v \|BT \| \ le M \|v \|, \,$ est avec précision la condition pour le L à être Lipschitz continu à 0 (et par conséquent, partout, parce que le L est linéaire).

Une procédure commune pour définir un opérateur linéaire lié entre les deux espaces de Banach donnés est comme suit. D'abord, définir un opérateur linéaire sur un sous-ensemble dense de son domaine, tels de qu'il est localement lié. Puis, prolonger l'opérateur par continuité à un opérateur linéaire continu sur le domaine entier (voir la prolongation linéaire continue ).

Les espaces de vecteur topologiques

La condition de boundedness pour les opérateurs linéaires sur les espaces normed peut être redite. Un opérateur est lié si elle prend chaque ensemble lié par à un ensemble lié, et ici est signifié la condition plus générale du boundedness pour des ensembles dans un espace de vecteur topologique (TVS) : un ensemble est lié si et seulement s'il est absorbé par chaque voisinage de 0. Noter que les deux notions du boundedness coïncident pour les espaces de corps convexe de localement .

Cette formulation permet à on de définir les opérateurs liés entre les espaces de vecteur topologiques généraux car un opérateur qui prend les ensembles liés aux ensembles liés. Dans ce contexte, il est encore vrai que chaque carte continue soit liée, toutefois l'inverse échoue ; un opérateur lié n'a pas besoin d'être continu. Clairement, ceci signifie également que le boundedness n'est plus équivalent à la continuité de Lipschitz dans ce contexte.

Une inverse tient quand le domaine est pseudometrisable, un cas qui inclut le Fréchet espace pour les espaces du LF des prises inverses plus faibles ; en ont bondi la carte linéaire d'un espace de LF sont le séquentiellement continu.

Voir également

norme d'opérateur
Algèbre d'opérateur de
Théorie d'opérateur de

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