Onde plane électromagnétique monochromatique

Dans la relativité générale , l'espace-temps électromagnétique monochromatique d'onde plane de est l'analogue des ondes planes monochromatiques connues de la théorie de Maxwell. La définition précise de la solution est un peu compliqué, mais très instructif.

N'importe quelle solution exacte de l'équation de champ d'Einstein qui modèle un champ électromagnétique doit tenir compte de tous les effets de la gravité de l'énergie du champ électromagnétique lui-même de . S'il n'y a aucune matière et aucuns champs non-de la gravité actuels autre que le champ électromagnétique, ceci signifie que nous devons le simultanément résoudre l'équation de champ d'Einstein et (espace-temps, source-libres incurvés) les équations de champ de Maxwell .

Dans la théorie de Maxwell de de l'électromagnétisme , un des types les plus importants d'un champ électromagnétique sont ceux qui représentent le rayonnement électromagnétique . De ces derniers, les exemples les plus importants sont ondes planes électromagnétique, lesquelles le rayonnement a des fronts des ondes planaires se déplacer dans une direction spécifique à la vitesse de la lumière. De ces derniers, les plus fondamentaux sont les ondes planes monochromatiques du , dans lesquelles seulement un composant de la fréquence est présent. C'est avec précision le phénomène que notre solution modèlera en termes de relativité générale.

Définition de la solution

Le tenseur métrique de la solution exacte unique modelant linéairement une onde plane électromagnétique polarisée par avec l'amplitude

q

de et le

de fréquence \ omega

peut être écrit, en termes de coordonnées de Rosen de , sous la forme le

$\ infty < v, x, y < \ infty, - u_0 < u < u_0$

là où le $\ xi= \ frac {u_0} {\ Omega}$ est la première racine positive, (a, 2a \ XI) de $C =0$ où $a= \ frac {q^2} {\ omega^2}$ . Dans ce diagramme, de $\ partial_u \ partial_v$ sont des vecteurs du même rang nuls du tandis que, de $\ partial_x \ partial_y$ sont des vecteurs du même rang du spacelike .

Ici, le $C du cosinus de Mathieu de (a, de b \ XI)$ est une fonction même qui résout l'équation de Mathieu de et prend également le $C de valeur (a, b, 0) =1$ . En dépit du nom, cette fonction est le pas périodique, et il ne peut pas écrire en termes de fonctions sinusoïdales ou même hypergéométriques. (Voir le Mathieu fonctionner pour plus au sujet de la fonction de cosinus de Mathieu.)

Dans notre expression pour le métrique, noter ce $\, de partial_u \, \ partial_v$ sont les champs nuls du vecteur . Par conséquent le $\ partial_u+ \ partial_v$ est un champ du vecteur de Timelike de , alors que $\ partial_u- \, de partial_u \ ; \, de partial_x \ ; \ partial_x$ sont des champs du vecteur de Spacelike de .

Pour définir le champ électromagnétique, nous pouvons prendre le potentiel électromagnétique de quatre-vecteur de

${2} a \ international C \ parti (\ frac {u^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \) droit \, \ péché (\ Omega u) \, du} {C \ parti (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \ droits)} \ ; \ partial_x$

Nous avons maintenant les spécifications complètes d'une relativité formulée de modèle mathématique en général.

Isometries locaux

Notre espace-temps est modelé par une tubulure de Lorentzian de qui a quelques symétries remarquables. À savoir, notre espace-temps admet des six groupes de Lie dimensionnels d'individu-isometries. Ce groupe est produit par une algèbre de Lie dimensionnelle du six des consistes commodes de base des champs de vecteur de massacre A d'un champ de vecteur nul,

de \ = de vec {\ XI} _1 \ partial_v

trois champs de vecteur de spacelike,

de \ vec {\ XI} _2 = \, de partial_x \ ; \ vec {\ XI} _3 = \, partial_y \ ; \ vec {\ XI} _4 = - y \, \ partial_x + x \, \

partial_y et deux champs de vecteur additionnels,

{\ XI} _6 = y \, \ + de partial_v \ international \ frac {du} {C \ est parti (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \)} droit \, \

partial_y Ici, _2 \, de

\ vec {\ XI} \, _3 \, \ vec de vec {\ XI} {\ XI} _4

produisent du groupe euclidien , agissant dans chaque front des ondes planaire, qui justifie l'onde plane de nommé pour cette solution. , _5 \, également de

\ vec {\ XI} \ exposition du vec {\ XI} _6

que toutes les directions de nontranverse sont équivalentes. Ceci correspond au fait bien connu qui dans l'espace-temps plat, deux ondes planes se heurtantes se heurtent toujours le frontal une fois représenté dans l'armature appropriée de Lorentz de .

Pour la future référence nous notons que ce six groupes dimensionnels d'individu-isometries agissent le transitif , de sorte que notre espace-temps soit le homogène. Cependant, c'est le non isotrope, puisque les directions transversales sont distinguées de les non-transversales.

Un famille des observateurs à inertie

Le champ d'armature = de

\ vec de  {e} _0 \ frac {1} {\ racine carrée {2}} \ = + laissé (\ partial_u \ partial_v \ droit) de

{e} _3 \ frac {1} {C \ est parti (\, de frac {q^2} {\ omega^2} \, \, du frac {2q^2} {\ omega^2} \, \ Omega u \ droit)} \

partial_y

représente l'armature locale de Lorentz de définie par un famille des observateurs à inertie antigiratoires de . C'est-à-dire,

$\ nabla_ {\} de vec {e} _0 \ vec {e} _0 = 0$ quel signifie que l'intégrale de courbe Timelike unité vecteur champ $e_0$ sont timelike donnée géodésique , et aussi

$\ nabla_ {\ vec {e} _0} \ vec {e} _1 = \ nabla_ {\ vec {e} _0} \ vec {e} _2 = \ nabla_ {\} de vec {e} _0 \ vec {e} _3 = 0$ ce qui signifie que les champs de vecteur d'unité de Spacelike $e_1, e_2, e_3$ sont antigiratoires. (Ils sont le transporté parMarcheur.) Ici, le $\ vec {e} _0$ est un champ de vecteur d'unité de timelike, alors que, _1 \, de $\ vec {e} \, _2 \, \ vec {e} du vec {e} _3$ sont des champs de vecteur d'unité de spacelike.

Les armatures à inertie antigiratoires sont aussi étroitement que nous pouvons venir dans les spacetimes incurvés aux armatures habituelles de Lorentz de connues de la relativité spéciale , où les transformations de Lorentz de sont simplement des changements d'une armature de Lorentz à l'autre.

Le champ électromagnétique

En ce qui concerne notre armature, le champ électromagnétique obtenu à partir du potentiel donné ci-dessus est

\ vec {B} = - q \, \ péché (\ Omega u) \, \ vec {e} _3

Ce champ électromagnétique est une solution Source-libre du des équations de champ de Maxwell sur l'espace-temps incurvé particulier qui est défini par le tenseur métrique ci-dessus. C'est une solution de nulle de , et il représente une onde plane électromagnétique sinusoïdale transversale du avec l'amplitude

q

et le

\ omega

, voyageant dans la direction de

e_1

. Quand nous
calculer le

T^ du tenseur de Soumettre à une contrainte-énergie de {ab}

pour le champ électromagnétique donné,
calculer le

G^ du tenseur d'Einstein de {ab}

pour le tenseur métrique donné, nous constatons que le

G^ d'équation de champ d'Einstein {ab} = 8 \ pi \, T^ {ab}

est satisfaisant. Est ce ce qui nous voulons dire en disant que nous avons une solution exacte d'Electrovacuum de .

En termes de notre armature, soumettre à une contrainte-énergie tenseur s'avère pour être

$T^ {\ chapeau {} de j \ chapeau {k}} = \ frac {q^2 \ péché (\} d'Omega u)^2} {4 \ pi \, \ a laissé \ commence {matrice} \ 1&1&0&0 \ \ 1&1&0&0 \ \ 0&0&0&0 \ 0&0&0&0 \ extrémité {matrice} \$ droit Noter que c'est exactement la même expression que nous trouverions dans l'électromagnétisme classique (où nous négligeons les effets de la gravité de l'énergie de champ électromagnétique) pour le champ nul donné ci-dessus ; la seule différence est que maintenant notre armature est une base (orthonormale) anholonomic de sur un espace-temps incurvé par , plutôt qu'une base de coordonnée de dans l'espace-temps plat de . (Voir les champs d'armature .)

Mouvement relatif des observateurs

Le diagramme de Rosen serait le comoving avec notre famille des observateurs antigiratoires à inertie, parce que, du

vu de coordonnées \, de x \, y

sont tout constant suivant chaque ligne du monde, donnée par une courbe intégrale du

de champ de vecteur d'unité de timelike \ de = du vec {X} \ vec {e} _0

. Ainsi, dans le diagramme de Rosen, ces observateurs pourraient sembler être immobiles. Mais en fait ils sont dans le mouvement relatif en ce qui concerne un un autre. Pour voir ceci, nous devrions calculer leur tenseur d'expansion de en ce qui concerne l'armature donnée ci-dessus. Ceci s'avère pour être

\ theta_ {\ chapeau {} d'I \ chapeau {j}} = \ frac {\ Omega} {\ racine carrée {2}} \, \ frac {C^ \ perfection (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u)} {C (\, de frac {q^2} {\ omega^2} \ frac {q^2} {2 \ omega^2}, \} d'Omega u) \, \ operatorname {diag} (0.1)

là où = de

(a, de q \ XI) \ frac {\ C partiel (a, de q \ XI)}{\ partiel \ XI}

. Les composants nonvanishing sont identiques, et sont bas concave sur

-u_0 < u <

d'u_0 disparaître à

u=0

. Physiquement, ceci signifie qu'un petit « nuage » sphérique de nos vols planés à inertie de d'observateurs momentanément à

u=0

et puis commence à s'effondrer, par la suite passant par un un autre à

u=u_0

. Si nous les imaginons en tant que formation d'un nuage tridimensionnel des particules d'essai uniformément distribuées, cet effondrement se produit orthogonal à la direction de la propagation de la vague. Le nuage ne montre aucun mouvement relatif dans la direction de la propagation, ainsi c'est un mouvement purement transversal du .

Pour $\ frac {q} {\ Omega} \ ll 1$ (l'approximation d'onde courte), nous ont approximativement

$g_ {xx} \ approximativement \ cos (q u)^2$
$\ theta_ {22} \ approximativement - q \, \ tan (q u)$ Par exemple, avec $q=1/2, \ omega=5$ , nous avons

Le tenseur de courbure de Riemann

En revanche, la décomposition de bel de du tenseur de courbure de Riemann, prise en ce qui concerne le

\ = du vec {X} \ vec {e} _0

, est la simplicité elle-même. Le tenseur d'Electrogravitic de , qui représente directement les acclerations de marée de , est

E_ de {\ chapeau {} de m \ chapeau {n}} = q^2 \, \ péché (\ Omega u)^2 \, \ operatorname {diag} (0.1)

Le tenseur , qui de Magnetogravitic de représente directement le tourner-tournent la force sur un gyroscope porté par un de nos observateurs, est

B_ de {\ chapeau {} de m \ chapeau {n}} = q^2 \, \ péché (\ Omega u)^2 \, \ a laissé \ commence {matrice} \ 0&0&0 \ \ 0&0&-1 \ 0&1&0 \ extrémité {matrice} \

droit (Le tenseur de Topogravitic de , qui représente les courbures sectionnelles spatiales de , est conforme au tenseur electrogravitic.)

Regardant en arrière notre graphique du tenseur métrique, nous pouvons voir que le tenseur de marée produit les petites accélérations relatives sinusoïdales avec le $de période \ omega$ , qui sont purement transversales à la direction de la propagation de la vague. Le de la gravité net d'effet au-dessus de beaucoup de périodes est de produire un cycle d'expansion et de recollapse de notre famille des observateurs nonspining à inertie. Ceci peut être considéré l'effet de la courbure de fond de produite par la vague.

Ce cycle d'expansion et de recollapse est réminiscent des modèles cosmologiques en expansion et recollapsing du FRW, et il se produit pour une raison semblable : la présence du nongravitational masse-énergie. Dans les modèles de FRW, ce masse-énergie est dû à la masse des particules de poussière ; ici, il est dû à l'énergie de champ du champ électromagnétique. Là, le cycle d'expansion-recollapse commence et finit avec une singularité scalaire forte de courbure de ; ici, nous avons une seule singularité (une circonstance de coordonnée de qui beaucoup d'Einstein et de Rosen confus en 1937). En outre, ici nous avons une petite modulation sinusoïdale de l'expansion et du recollapse.

Effets optiques

Un principe général au sujet de d'états d'ondes planes vous ne pouvez pas voir le train de vague écrire la station, mais vous pouvez la voir laisser . C'est-à-dire, si vous regardez par des fronts des ondes approchants les objets éloignés, vous ne verrez aucune déformation optique, mais si vous tournez et regardez par des fronts des ondes de départ l'objet de distanct, vous verrez des déformations optiques. Spécifiquement, nulle géodésique congruence produit par nul vecteur champ

\ vec {k} = \ vec {e} _0 + \ vec {e} _1

a vanishing optique grandeur scalaire , mais nul géodésique congruence produit par

\ vec {\ aune} = \ vec {e} _0 - \ vec {e} _1

a vanishing torsion et cisaillement grandeur scalaire mais nonvanishing expansion scalaire

\ thêta = \ racine carré {2} \ Omega \, \ frac {C^ \ perfection \ sont partis (\, de frac {q^2} {\ omega^2} \ frac {q^2} {2 \ omega^2}, \ Omega u \ droits)}{C \ est parti (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \ droit)}

Ceci prouve que quand regardant par des fronts des ondes de départ du les objets éloignés, nos observateurs antigiratoires à inertie verront leur changement apparent de taille exactement la même manière que l'expansion de la congruence géodésique de timelike elle-même.

Le diagramme de Brinkmann

L'one-way pour voir rapidement la plausibilité de l'affirmation que

u=u_0

est une seule singularité du même rang est de se rappeler que notre espace-temps est le homogène, de sorte que tous les événements soient équivalents. Pour confirmer ceci directement, et étudier d'une perspective différente le mouvement relatif de nos observateurs antigiratoires à inertie, nous pouvons appliquer le

u du même rang de de transformation \ - de v \ rightarrow v  du rightarrow u \ frac {\ point {r}} {2r} (x x^2+y^2) \

du rightarrow x/r

y \ rightarrow y/r

là où

- \ frac de {\ ddot {r} (u)} {r (u)} = q \ péché (\ Omega u)^2

Ceci introduit la solution dans sa représentation en termes de coordonnées de Brinkmann de :

\ infty < u, v, x, y < \ infty

Puisqu'il peut montrer que les nouvelles coordonnées sont Geodesically accomplir , les coordonnées de Brinkmann définissent un diagramme du même rang global . Dans ce diagramme, nous pouvons voir qu'un ordre infini s cycles identiques d'expansion-recollapse du se produisent !

Caustiques

Dans le diagramme de Brinkmann, notre champ d'armature devient plutôt compliqué :

\ ; \ ; \ ; + \ frac {\ Omega} {2} \, \ frac {C^ \ perfection \ sont partis (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \ droits)}{C \ est parti (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, du frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u \ droit)} \, \ a laissé (x \, \ partial_x + y \, \ partial_y \ droit)

et ainsi de suite. Naturellement, si nous calculons le tenseur d'expansion, tenseur electrogravitic, et ainsi de suite, nous obtenons exactement les mêmes réponses qu'avant, mais exprimé en nouvelles coordonnées.

La simplicité du tenseur métrique a comparé à la complexité de l'armature frappe. Le point est que nous pouvons plus facilement visualiser les caustiques constitués par le mouvement relatif de nos observateurs dans le nouveau diagramme. Les courbes intégrales du $géodésique de champ de vecteur d'unité de timelike \ du = du vec {X} \ vec {e} _0$ donnent les lignes du monde de nos observateurs. Dans le diagramme de Rosen, ceux-ci apparaissent en tant que lignes de coordonnée de verticale, depuis que le diagramme comoving.

Pour comprendre comment cette situation apparaît dans le diagramme de Brinkmann, noter que quand le $\ omega$ est grand, notre timelike géodésique unité vecteur champ devient approximativement

$\ ; \ ; + \ frac {x^2+y^2} {\ racine carrée {2}} \, \ est parti (- q^2 \ péché (\ Omega u)^2 + q^2 \ tan (q u)^2 \) droit \ partial_v$ Supprimant la dernière période, nous avons

$\ vec {X} \ approximativement \ partial_t - q \ tan () d'u \ racine carrée de q 2} {\, \ a laissé (x \ partial_x + y \ partial_y \ droit)$ Nous obtenons immédiatement une courbe intégrale qui montre les cycles sinusoïdaux d'expansion et de reconvergence. Voir la figure, dans laquelle le temps fonctionne verticalement et nous employons la symétrie radiale pour supprimer une dimension spatiale. Cette figure montre pourquoi il y a une singularité du même rang dans le diagramme de Rosen ; les observateurs doivent réellement passer par un un autre à intervalles réguliers, qui sont évidemment incompatibles avec la propriété comoving, ainsi le diagramme décompose à ces endroits. Noter que cette figure le inexactement suggère qu'un observateur soit le « centre de l'attraction », pour ainsi dire, mais en fait qu'ils sont tout complètement équivalents, en raison du grand groupe de symétrie de cet espace-temps. Noter trop que le mouvement relatif largement sinusoïdal de nos observateurs est entièrement compatible au comportement du tenseur d'expansion (en ce qui concerne le champ d'armature correspondant à notre famille des observateurs) qui a été noté ci-dessus.

Il vaut de noter que ces points quelque peu rusés n'ont confondu aucune moins une figure que le Albert Einstein en son papier 1937 sur les vagues de la gravité (écrites longtemps avant que les machines mathématiques modernes utilisées ici aient été largement appréciées dans la physique).

Ainsi, dans le diagramme de Brinkmann, les lignes du monde de nos observateurs, dans le cas d'onde courte, sont les courbes périodiques qui ont la forme de sinusoidals avec la période $2 \ pi/q$ , modulée par des perturbations sinusoïdales beaucoup plus petites dans le $nul de direction \ partial_v$ et avoir une période beaucoup plus courte, $2 \ pi \ omega$ . Les observateurs augmentent périodiquement et recollapse transversalement au direct de la propagation ; ce mouvement est modulé par de petites perturbations d'amplitude de période courte.

Résumé

Comparant notre solution exacte à l'onde plane électromagnétique monochromatique habituelle comme traitée dans la relativité spéciale (c., comme vague dans l'espace-temps plat, négligeant les effets de la gravité de l'énergie du champ électromagnétique), nous voyons que la nouvelle relativité saisissante de dispositif en général est les cycles d'expansion et d'effondrement éprouvés par nos observateurs, que nous pouvons ne déposer à la courbure de fond de , à aucune mesure faite avec des brèves durées et aux distances (sur l'ordre de la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique).

Voir également

L'argument collant de perle de , parce que un compte du papier 1937 par Einstein et Rosen ont fait référence à en haut.

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