Octonion

Dans les mathématiques , les octonions sont une prolongation nonassociative du du Quaternions leur algèbre de division dimensionnelle de Normed du 8 au-dessus des vrais nombres de que est le possible le plus large que puisse être obtenu à partir de la construction de Cayley-Dickson de . L'algèbre d'octonion est souvent le dénoté O , ou dans le tableau noir "BOLD" de par le $\backslash \; mathbb\; \{O\}$.

Probablement parce qu'ils n'offrent pas une multiplication associative, les octonions suscitent parfois moins d'attention que les quaternions. En dépit de ce manque de popularité, ils sont liés à un certain nombre de structures exceptionnelles dans les mathématiques, parmi elles les groupes de Lie exceptionnels en plus, des octonions ont des applications dans les domaines tels que la théorie de corde de , la relativité spéciale , et la logique de Quantum de .

Histoire

Les octonions ont été découverts dans le 1843 par les tombes , un ami de John T. de de William Hamilton , qui les a appelées les octaves . Ils ont été découverts indépendamment par le Arthur Cayley , qui a édité le premier document sur eux dans le 1845 . Ils sont parfois mentionnés pendant que le Cayley numérote ou l'algèbre de Cayley de .

Définition

Les octonions peuvent être considérés comme des octets (ou 8 tuples) de vrais nombres. Chaque octonion est une combinaison linéaire de vrai des octonions {1, i , j , k , l , IL , jl de , kilolitre } d'unité de . C'est-à-dire, chaque X d'octonion peut être écrit dans le $x\; de\; deforme=\; le\; x\_0\; +\; le\; x\_1\; \backslash ,\; I\; +\; x\_2\; \backslash ,\; le\; j\; +\; le\; x\_3\; \backslash ,\; k\; +\; x\_4\; \backslash ,\; le\; l\; +\; le\; x\_5\; \backslash ,\; l\text{'}IL\; +\; x\_6\; \backslash ,\; le\; jl\; +\; le\; x\_7\; \backslash ,\; kl.$ avec le vrai de _{du X de coefficients un} .

L'addition des octonions est accomplie en ajoutant des coefficients correspondants, comme avec les nombres complexes et le Quaternions par des linéarités, la multiplication des octonions est complètement déterminée par la table de multiplication pour les octonions d'unité donnés ci-dessous. < ! -- Malheureusement, cette table ne peut pas être convertie en syntaxe de pipe, parce qu'en syntaxe de pipe tous les éléments du TD sont convertis en éléments de Th si la rangée commence par un élément de Th --> class="

i de de de de de kilolitre de i de k de de de de de j de i de kilolitre de de de k de de kilolitre de IL de de l de kilolitre de i de de de IL de de i de k de de kilolitre de de de de de i de kilolitre de IL de de de de de

1	j	k	l	IL		jl
	−1	j	− IL	l	− kilolitre	−	jl
k de	−	−1		jl	l	− IL	−
j de	i	−	−1		− jl	l	−
IL de	−	− jl	−	−1	j	k
l de	kilolitre	−	jl	−	−1	− j
jl	l	IL	− j	− k		−1	−
	− jl	l	k	− j	− i		−1

La base pour les octonions donnés ici n'est pas presque aussi universelle que la base standard pour les quaternions ; cependant, presque tous autres choix diffèrent de celui-ci seulement dans l'ordre et le signe.

Construction de Cayley-Dickson

Une manière plus systématique de définir les octonions est par l'intermédiaire de la construction de Cayley-Dickson de . Juste comme des quaternions peuvent être définis comme paires de nombres complexes, les octonions peuvent être définis comme paires de quaternions. L'addition est définie par paires. Le produit de deux paires de quaternions ( un , b ) et ( c , d ) est défini par le $de\; (a,\; b)\; (c,\; d)=\; (C.-d^\; \{*\}\; b,\; da+bc^\; \{*\})$ là où le $z^\; \{*\}$ dénote le conjugé du z de quaternion. Cette définition est équivalente à celle donnée au-dessus quand les huit octonions d'unité sont identifiés avec le de paires (1.0), (du i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0.1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Mnémonique plate de Fano

Une mnémonique commode pour se rappeler les produits des octonions d'unité est donnée par le diagramme suivant à la droite. Ce diagramme avec sept points et sept lignes (le cercle par le i , le j , et le k est considéré une ligne) s'appelle le Fano plat. Les lignes sont orientées dans ce diagramme. Les sept points correspondent aux sept éléments standard de base de Im ( O ). Chaque paire de points distincts se trouve sur une ligne unique et chaque ligne fonctionne par exactement trois points.

Laissé ( un , b , c ) être un triple commandé de points se trouvant sur une ligne donnée avec l'ordre spécifique par la direction de la flèche. Alors la multiplication est donnée par le ab de = c et Ba de = c de − en même temps que les permutations cycliques ces règles ainsi que le
1 est l'identité multiplicative,
$e^2=-1$ pour chaque point dans le diagramme définit complètement la structure multiplicative des octonions. Chacune des sept lignes produit d'un subalgebra du O isomorphe au H de quaternions.

Conjugé, norme, et inverse

Le conjugé de d'un $x\; de\; d\text{'}octonion\; =\; d\text{'}un\; x\_0\; +\; d\text{'}un\; x\_1\; \backslash ,\; I\; +\; x\_2\; \backslash ,\; d\text{'}un\; j\; +\; d\text{'}un\; x\_3\; \backslash ,\; k\; +\; x\_4\; \backslash ,\; d\text{'}un\; l\; +\; d\text{'}un\; x\_5\; \backslash ,\; l\text{'}IL\; +\; x\_6\; \backslash ,\; d\text{'}un\; jl\; +\; d\text{'}un\; x\_7\; \backslash ,\; kl$ est donné par le $x^*\; de\; =\; le\; x\_0\; -\; x\_1\; \backslash ,\; I\; -\; x\_2\; \backslash ,\; j\; -\; x\_3\; \backslash ,\; k\; -\; x\_4\; \backslash ,\; l\; -\; x\_5\; \backslash ,\; l\text{'}IL\; -\; x\_6\; \backslash ,\; jl\; -\; x\_7\; \backslash ,\; kl.$ La conjugaison est une involution du O et satisfait le x^ (de x/y) de =y^ de ^ de $\{*\}\; \{*\}\; \{*\}$ (noter le changement de l'ordre).

La partie réelle X est définie comme ½ ( X + X ^*) = le X ₀ et la pièce imaginaire de comme ½ ( X - X ^*). L'ensemble d'octonions tout purement imaginaires enjambent un sous-espace de 7 dimensions du O , dénoté Im ( O ).

La norme de du X d'octonion est définie en tant que $de\; \backslash |X\; \backslash |\; =\; \backslash racine\; carrée\{x^\; \{*\}\; x\}$ La racine carrée est bien définie ici car le x=xx^ de $x^\; \{*\}\; \{*\}$ est toujours un vrai nombre non négatif : $de\; \backslash |X\; \backslash |^2\; =\; x^\; \{*\}\; x\; =\; x\_0^2\; +\; x\_1^2\; +\; x\_2^2\; +\; x\_3^2\; +\; x\_4^2\; +\; x\_5^2\; +\; x\_6^2\; +\; x\_7^2$ Cette norme est conforme à la norme euclidienne standard sur le R ⁸.

L'existence d'une norme sur le O implique l'existence des inverses pour chaque élément différent de zéro du O . L'inverse du ≠ 0 du X est donné par = de $x^\; de\; \{-\; 1\}\; \backslash \; frac\; \{x^\; \{*\}\}\; \{\backslash |X\; \backslash |^2\}$ Il satisfait le =x^ de $xx^\; \{-\; 1\}\; \{-\; 1\}\; x=1$.

Propriétés

La multiplication d'Octonionic n'est ni l'un ni l'autre commutatif : $ij\; de\; =\; -\; ji\; du\; ji\; \backslash quantiténette\; de\; substance\; explosive\; \backslash ,$ ni associatif :

$(ij)\; l\; =\; -\; I\; (jl)\; \backslash \; quantité\; net\; de\; substance\; explosive\; i)\; (de\; jl\; \backslash ,$ Ils satisfont une forme plus faible d'associativity : ils sont l'alternative . Ceci signifie que le Subalgebra produit par deux éléments quelconques est le associatif. En fait, on peut prouver que le subalgebra produit par deux éléments quelconques du O est le isomorphe au R , au C , ou au H , qui sont associatifs.

Les octonions maintiennent une propriété importante partagée par le R , le C , et le H : la norme sur le O satisfait le $de\; \backslash |de\; x/y\; \backslash |\; =\; \backslash |X\; \backslash |\backslash |y\; \backslash |$ Ceci implique que les octonions forment une algèbre de division nonassociative de Normed . Les algèbres haut-dimensionnelles définies par la construction (par exemple le Sedenions de Cayley-Dickson de tout l'échouer pour satisfaire cette propriété. Elles toutes ont les diviseurs zéro

Des systèmes de numération plus larges existent qui ont un module multiplicatif (par exemple 16 conique dimensionnel Sedenions du programme de hypernumbers de Musean de ). Leur module est défini différemment de leur norme, et ils contiennent également les diviseurs zéro

Il s'avère que les seules algèbres de division normed au-dessus des reals sont le R , le C , le H , et le O . Ces quatre algèbres forment également la seule alternative, les algèbres fini-dimensionnelles de Division de au-dessus des reals ( jusqu'à l'isomorphisme de ).

N'étant pas associatifs, les éléments différents de zéro du O ne constituent pas un groupe. Ils, cependant, forment une boucle , en effet une boucle de Moufang de .

Automorphismes

Un automorphisme , le A de , des octonions est une transformation linéaire inversible du O qui satisfait le $A\; de\; (de\; x/y)\; =\; A\; (x)\; A\; (y).\; \backslash ,$ L'ensemble de tous les automorphismes du O constitue un groupe appelé le '' G '' ₂ . Le G ₂ de groupe est un simplement relié, le compact, le vrai groupe de Lie de la dimension 14. Ce groupe est le plus petit des groupes de Lie exceptionnels

Le voient également : PSL (2.7) - le groupe d'automorphisme de de l'avion de Fano.

Applications dans la physique

Octonions sont employés pour une généralisation nonassociative de la mécanique quantique. Par exemple, le Heisenberg l'équation du mouvement est modifiée using un collecteur nonassociative (voir des références ci-dessous).

Citations

Les vrais nombres sont le soutien de famille sûr du famille, le champ commandé complet nous que tous comptent dessus. Les nombres complexes sont un jeune frère légèrement plus voyant mais encore respectable : non passé commande, mais accomplir algébriquement. Les quaternions, étant non commutatifs, sont le cousin excentrique qui est évité aux rassemblements importants de famille. Mais les octonions sont le vieil oncle fou que personne ne laisse hors du grenier : ils sont le nonassociative. &mdash ; John Baez

Voir également

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.

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