Objet libre

Dans les mathématiques , l'idée d'un objet libre est l'un des concepts de base de l'algèbre d'abrégé sur . C'est une partie d'algèbre universelle , dans le sens qu'elle rapporte à tous les types de structure algébrique (avec des opérations de Finitary ). Il a également une formulation propre en termes de théorie de catégorie de , bien que ce soit dans pourtant plus des limites d'abstrait. Pour comprendre le concept, il est le meilleur de maîtriser plusieurs cas spéciaux d'abord, comme les algèbres libres de tenseur de des groupes ou les trellis libres

Introduction

La création des objets libres procède dans deux étapes. Pour les algèbres qui se conforment à la loi associative , la première étape est de considérer la collection de tous les mots possibles formés d'un alphabet . Alors on impose un ensemble de relations d'équivalence aux mots, où les relations sont les relations de définition de l'objet algébrique actuel. L'objet libre comprend alors l'ensemble de classes d'équivalence en

Considérer, par exemple, la construction du groupe libre dans des deux générateurs. On commence par un alphabet comprenant le $de cinq lettres \ {e, a, b, a^ {- 1}, b^ {- 1} \} le$ . Dans la première étape, il n'y a pas encore aucune signification assignée au " ; letters" ; $a^ {- 1}$ ou $b^ {- 1}$ ; ceux-ci seront donnés plus tard, dans la deuxième étape. Ainsi, on pourrait également jaillir début avec l'alphabet dans cinq lettres qui est $S= \ {a, b, c, d, e \}$ . Dans cet exemple, l'ensemble de tous les mots ou les cordes $W$ inclura des cordes telles que l'aebecede de et l'abdc de , et ainsi de suite, de la longueur finie arbitraire, avec les lettres disposées dans chaque ordre possible.

Dans la prochaine étape, on impose un ensemble de relations d'équivalence. Les relations d'équivalence pour un groupe sont celle de la multiplication par l'identité, des < maths > GE = par exemple =g, et la multiplication des inverses : =g^ de $gg^ {- 1} {- 1} g=e$ . S'appliquant ces relations aux cordes ci-dessus, on obtient b^ de $aebecede=aba^ de {- 1} {- 1}$

là où c'était que le c est un remplaçant pour le $a^ {- 1}$ compris, et le d est un remplaçant pour le $b^ {- 1}$ , alors que le e est l'élément d'identité. De même, on a a^ de $abdc=abb^ de {- 1} {- 1} =e$

Dénotant la congruence de relation d'équivalence ou de par le $\ sim$ , l'objet libre est alors la collection de classes d'équivalence en des mots. Ainsi, dans cet exemple, le groupe libre dans des deux générateurs est le quotient

$F_2=W/\ sim$

Ceci est souvent écrit As

$F_2=W/E$

là où $W= de \ {a_1a_2 \ a_n de ldots \, \ vert \ ; a_k \ dans S \ ; \, n \ mbox {fini} \}$

est l'ensemble de tous les mots, et $E= de \ {a_1a_2 \ a_n de ldots \, \ vert \ ; e=a_1a_2 \ a_n de ldots \ ; \, a_k \ dans S \ ; \, n \ mbox {fini} \}$ est la classe d'équivalence de l'identité, après que les relations définissant un groupe soient imposées.

Un exemple plus simple sont les monoîdes libres le monoîde libre sur un X d'ensemble, est le monoîde de toutes les cordes finies using le X comme alphabet, avec la concaténation d'opération des cordes. L'identité est la corde vide. Essentiellement, le monoîde libre est simplement l'ensemble de tous les mots, sans des relations d'équivalence imposées. Cet exemple est développé plus loin dans l'article sur l'étoile de Kleene de .

Cas général

Dans le cas général, les relations algébriques n'ont pas besoin d'être associatives, dans ce cas le point de départ n'est pas l'ensemble de tous les mots, mais plutôt, les cordes ponctuées avec la parenthèse, qui sont employées pour indiquer les groupements non-associative des lettres. Une telle corde peut être d'une manière equivalente soit représentée par un arbre binaire ou un magma librement ; les feuilles de l'arbre sont les lettres de l'alphabet.

Les relations algébriques peuvent alors être les arities généraux ou les relations de Finitary de sur les feuilles de l'arbre. Plutôt que commençant par la collection de toutes les cordes parenthesized possibles, il peut être plus commode de commencer par l'univers de Herbrand de . Correctement la description ou l'énumération du contenu d'un objet libre peut être facile ou difficile, selon l'objet algébrique particulier en question. Par exemple, le groupe libre dans des deux générateurs est facilement décrit. En revanche, peu ou rien n'est connu au sujet de la structure des algèbres de Heyting de librement dans plus d'un générateur. Le problème de déterminer si deux cordes différentes appartiennent à la même classe d'équivalence est connu comme problème de mot de .

Pendant que les exemples suggèrent, les objets libres ressemblent aux constructions de la syntaxe ; on peut renverser cela dans une certaine mesure en disant que des utilisations de commandant de la syntaxe peuvent être expliquées et caractérisées en tant qu'objets libres, d'une manière dont rend la « ponctuation » apparent lourde explicable (et plus mémorable).

Functor libre

L'arrangement général pour un objet libre est dans la théorie de catégorie de , où on définit un Functor , le functor libre , qui est le laissé l'adjoint au functor étourdi .

Considérer le C de catégorie des structures algébriques que ceux-ci peuvent être considérés en tant qu'ensembles plus des opérations, en se conformant à quelques lois. Ce catégorie a functor, $U:\mathbf {} de C \ \ mathbf {réglé}$ , le functor étourdi , qui de trace des objets et des fonctions dans le C au réglé, la catégorie de des ensembles . Le functor étourdi est très simple : il ignore juste toutes les opérations.

Le libre F de functor, quand il existe, est l'adjoint gauche au U . C'est-à-dire, $F:\mathbf {placer} \ à \ mathbf {C}$ prend le d'ensembles X dans le réglé à leur libre correspondant F d'objets (X) dans le C de catégorie. Le X d'ensemble peut être considéré comme ensemble de " ; generators" ; du libre F d'objet (X) .

Pour que le functor libre soit un adjoint gauche, on doit également avoir un C - $: X \ à U (F (X))$ . Plus explicitement, le F est, jusqu'aux isomorphisms dans le C , caractérisé par la propriété universelle suivant : toutes les fois que le A est une algèbre dans le C , et g : &rarr du X ; Le U ( A ) est une fonction (un morphism dans la catégorie des ensembles), puis il y a un unique C - le h de morphism : &RARR DU F ( X ) ; A tels qu'o&epsilon du U ( h ) ; = g .

Concrètement, ceci envoie un ensemble dans l'objet libre sur cela a placé ; c'est le " ; inclusion d'un basis" ;. Maltraitant la notation, $X \ à F (X)$ (ceci maltraite la notation parce que le X est un ensemble, tandis que le F (X) est une algèbre ; correctement, c'est $X \ à U (F (X))$ ).

Le $\ varepsilon normaux de la transformation : \ operatorname {identification} _ \ mathbf {placer} \ à UF$ s'appelle le Counit ; en même temps que le $: FU \ \ _ de l'operatorname {identification} \ mathbf {C}$ , un peuvent construire une T-algèbre , et ainsi un monad . Ceci mène à la prochaine matière : les functors libres existent quand le C est un monad au-dessus du réglé.

Existence

Il y a des théorèmes généraux d'existence qui s'appliquent ; le plus fondamental de eux des garanties que toutes les fois que le C est une variété , puis pour chaque X d'ensemble il y a un libre d'objet F ( X ) dans le C .

Ici, une variété est un synonyme pour une catégorie algébrique de Finitary , ainsi implication que l'ensemble de relations sont le finitary, et algébrique parce que c'est le univalent au-dessus du réglé.

Cas général

D'autres types de manque de mémoire provoquent également des objets tout à fait comme les objets libres, du fait ils sont laissés l'adjoint à un functor étourdi, pas nécessairement aux ensembles.

Par exemple la construction de l'algèbre de tenseur de sur un espace de vecteur en tant qu'adjoint gauche au functor sur les algèbres associatives qui ignore la structure d'algèbre. Ce donc s'appelle souvent également un l'algèbre libre .

De même l'algèbre symétrique et l'algèbre extérieure sont librement des algèbres symétriques et antisymmétriques sur un espace de vecteur.

Liste d'objets libres

Les genres spécifiques d'objets libres incluent :
Magma libre
Semigroupe libre
Monoîde libre
monoîde commutatif libre
Groupe libre
Groupe abélien libre
semiring libre
semiring commutatif libre
algèbre libre de Kleene de
Anneau libre
Module libre
Algèbre libre
Algèbre commutative libre
Algèbre associative libre
Trellis libre
trellis distributif libre
Algèbre libre de Heyting de
Algèbre booléenne libre
produisant de l'ensemble

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