Objet initial

Dans les mathématiques , un objet d'initiale de d'un C de la catégorie est un d'objet I dans le C tels que pour chaque d'objet X dans le C , là existe avec précision un X de → du I de Morphism . La notion duelle du est celle d'un objet terminal : Le T est terminal si pour chaque d'objet X dans le C là existe un simple T de → du X de morphism. Des objets initiaux s'appellent également le coterminal , et des objets terminaux s'appellent également le le final.

Si un objet est initiale et borne, ce s'appelle un l'objet nul ou l'objet nul .

Exemples

l'ensemble vide est l'objet initial unique dans la catégorie de des ensembles ; chaque ensemble d'un élément (singleton ) est un objet terminal dans cette catégorie ; il n'y a aucun objet zéro.
De même, l'espace vide est l'objet initial unique dans la catégorie de des espaces topologiques ; chaque espace d'un-point est un objet terminal dans cette catégorie.
Dans la catégorie des ensembles non vides, il n'y a aucun objet d'initiale. Les singletons ne sont pas initiaux : tandis que chaque ensemble non vide admet une fonction d'un singleton, cette fonction n'est en général pas unique.
Dans la catégorie de des groupes , n'importe quel groupe insignifiant est un objet nul. Le même est vrai pour les catégories des modules des groupes abéliens au-dessus d'un anneau, et les espaces de vecteur au-dessus d'un champ. C'est l'origine du " de limite ; object" nul ;.
Dans la catégorie des semigroupes le semigroupe vide est un premier objet et n'importe quel semigroupe de singleton est un objet terminal. Il n'y a aucun objet zéro. Dans la sous-catégorie des monoîdes cependant, chaque monoîde insignifiant (se composant seulement de l'élément d'identité) est un objet nul.
Dans la catégorie du a dirigé les ensembles (dont les objets sont les ensembles non vides ainsi qu'un élément distingué ; un morphism ( A , un ) ( B , b ) d'être un f de fonction : Le de → du A B avec le f ( un ) = le b ), chaque singleton est un objet nul. De même, dans la catégorie des espaces topologiques dirigés par , chaque singleton est un objet nul.
Dans la catégorie des anneaux , l'anneau du Z des nombres entiers est un premier objet. L'anneau insignifiant consistant seulement en un élément simple 0=1 est un objet terminal.
Dans la catégorie des champs il n'y a aucun objet initial ou terminal.
N'importe quel a partiellement commandé réglé ( P , ≤) peut être interprété comme catégorie : les objets sont les éléments du P , et il y a un morphism simple du X au du y si et seulement si le y de ≤ du X de . Cette catégorie a un premier objet si et seulement si le P a un moindre élément ; elle a un objet terminal si et seulement si le P a un plus grand élément .
Si un monoîde dedans considéré comme catégorie avec un objet simple, cet objet est ni initiale ou borne à moins que le monoîde soit insignifiant, dans ce cas il est tous deux.
Dans la catégorie du représente graphiquement que le graphique de nulle de (sans sommets et bords ) est un premier objet. Le graphique avec un sommet simple et une boucle simple est terminal. La catégorie des graphiques simples n'a pas un objet terminal.
De même, la catégorie de de toutes les petites catégories avec le Functors comme morphisms a la catégorie vide car l'objet initial et le 1 de catégorie (avec un objet et un morphism simples) en tant qu'objet terminal.
N'importe quel X de l'espace topologique peut être regardé comme catégorie en prenant au les ensembles ouverts comme objets, et morphism simple entre le ouvert U de deux ensembles et le V si et seulement si le V de ⊂ du U . L'ensemble vide est l'objet initial de cette catégorie, et le X est l'objet terminal.
Si le X est un espace topologique (vu comme catégorie comme ci-dessus) et le C est une certaine petite catégorie, nous pouvons former la catégorie de tous les functors contravariant du X au C , using les transformations normales comme morphisms. Cette catégorie s'appelle la catégorie de des presheaves sur X avec des valeurs dans C . Si le C a un premier c d'objet, alors le functor constant qui envoie chaque ensemble ouvert au c est un premier objet dans la catégorie des presheaves. De même, si le C a un objet terminal, puis le functor constant correspondant sert de presheaf terminal.
Dans la catégorie de Spéc. des arrangements ( Z ) le spectre de perfection de de l'anneau des nombres entiers est un objet terminal. L'arrangement vide (égale au spectre principal de l'anneau insignifiant) est un premier objet.
Si nous fixons un f de l'homomorphisme : Le B de → du A des groupes abéliens nous pouvons considérer le C de catégorie se composant de toutes les paires ( X , φ) où le X est un groupe abélien et un φ : Le A de → du X est un homomorphisme de groupe avec le φ du f = 0. Un morphism des paires ( X , φ) aux paires ( Y , ψ) est défini pour être un r d'homomorphisme de groupe : de → du X Y avec le r de ψ de propriété = φ. Le grain du f est un objet terminal dans cette catégorie ; ce n'est rien mais une reformulation de la propriété universelle des grains. Avec une construction analogue, le Cokernel du f peut être vu comme premier objet d'une catégorie appropriée.
Dans la catégorie des interprétations d'un modèle algébrique du , l'objet initial est l'algèbre , l'interprétation d'initiale de qui fournit autant d'objets distincts pendant que le modèle laisse et pas plus.

Propriétés

Existence et unicité

Les objets initiaux et terminaux peuvent ne pas exister dans une catégorie donnée. Cependant, s'ils existent, ils sont essentiellement uniques. Spécifiquement, si le I ₁ et le I ₂ sont deux objets initiaux différents, puis puis est un isomorphisme unique entre eux. D'ailleurs, si le I est un premier objet puis n'importe quel objet isomorphe au I est également un premier objet. Le même est vrai pour les objets terminaux.

Pour les catégories complètes il y a un théorème d'existence pour les objets initiaux. Spécifiquement, le complet C de catégorie d'a ( localement petit ) a un premier objet si et seulement si là existent un I ( pas d'ensemble une classe appropriée ) et un I - la famille répertoriée par ( i de _{de K ) des objets du C tels que pour n'importe quel X d'objet du C là au moins un &rarr du i} de _{du K de morphism ; X pour un certain &isin du i ; I .}

Formulations équivalentes

Des objets terminaux dans un C de catégorie peuvent également être définis pendant que le limite du vide unique C de → de ∅ du diagramme . Puisque la catégorie vide est vide une catégorie discrète , un objet terminal peut être considéré comme un produit vide . Duel, un premier objet est un Colimit du vide C de → de ∅ de diagramme et peut être considéré comme un vide Coproduct .

Il suit que n'importe quel Functor qui préserve des limites prendra les objets terminaux aux objets terminaux, et n'importe quel functor qui préserve des colimits prendra les objets initiaux aux objets initiaux. Par exemple, l'objet initial dans n'importe quelle catégorie concrète avec les objets libres sera l'objet libre produit par l'ensemble vide (depuis de le functor librement, étant adjoint laissé par au functor étourdi à réglé, colimits de conserves).

Des objets initiaux et terminaux peuvent également être caractérisés en termes de propriétés universelles et functors d'Adjoint de . Laisser le 1 être la catégorie discrète avec un objet simple (dénoté par le &bull ;), et laisser le U : Le 1 de → du C soit le functor (constant) unique au 1 . Puis
Un premier d'objet I dans le C est un morphism universel de &bull ; au U . Le functor qui envoie le &bull ; au I est laissé l'adjoint au U .
Un terminal d'objet T dans le C est un morphism universel du U au &bull ;. Le functor qui envoie le &bull ; au T est bon adjoint au U .

Relation à d'autres constructions catégoriques

Beaucoup de constructions normales dans la théorie de catégorie peuvent être formulées en termes de trouver un premier ou terminal objet dans une catégorie appropriée.
Le morphism universel du

A d'un d'objet X à un U de functor peut être défini comme premier objet dans la catégorie (&darr de virgule de X ; U ). Duel, un morphism universel du U au X est un objet terminal dedans (&darr de U ; X ).
La limite d'un F du diagramme est un objet terminal dans le cône ( F ) la catégorie de des cônes au F . Duel, un colimit du F est un premier objet dans la catégorie des cônes du F .
Une représentation de d'un du functor F au réglé est un premier objet dans la catégorie de des éléments du F .

D'autres propriétés

le groupe d'automorphisme de d'un premier ou terminal I d'objet est insignifiant. Aut ( I ) = Hom ( I , I ) = {id_I}.
Si un C de catégorie fait objecter un zéro 0 puis pour n'importe quelles paires de X d'objets et de Y dans le C le &rarr unique du X de composition ; 0 &rarr ; Le Y est un morphism du zéro du X au Y .

---- Le cet article est basé sur l'article de PlanetMath sur des exemples des objets initiaux et terminaux.

attheory-moignon .

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