Nouvelles bases

Le paradoxe de Russell de : Une question facile ; le $x\; \backslash \; pas\; \backslash \; dans\; x$ n'est pas une formule stratifiée, ainsi l'existence du $\backslash \; \{x\; \backslash \; mi\; x\; \backslash \; pas\; \backslash \; dans\; x\; \backslash \}\; du$ n'est affirmée par aucun exemple de la compréhension de . Quine a vraisemblablement construit N-F avec ce paradoxe le plus élevé à l'esprit.

le paradoxe du chantre de du nombre cardinal du plus grand exploite l'application du théorème du chantre de à l'ensemble universel . Le théorème du chantre de indique (donné ZFC ) que le $P\; réglé\; de\; la\; puissance\; (A)$ de n'importe quel ensemble $A$ est plus grand que $A$ (il ne peut y avoir aucune injection (carte linéaire) de du $P\; (A)$ dans $A$). Maintenant naturellement il y a une injection du $P\; (V)$ dans $V$, si $V$ est l'ensemble universel ! La résolution exige que nous observons ce ne semble aucun raisonnable dans la théorie de types : le type de $P\; (A)$ est un plus haut que le type de $A$. La version correctement dactylographiée (qui est un théorème dans la théorie de types pour essentiellement les mêmes raisons pour laquelle la grille d'origine du théorème du chantre de fonctionne dans le ZF ) est , où $P\_1\; (A)$ est l'ensemble de sous-ensembles d'un élément de $A$. L'exemple spécifique de ce théorème qui nous intéresse est : il y a moins d'ensembles d'un élément que les ensembles (et tellement moins d'ensembles d'un élément que les objets généraux, si nous sommes dans NFU). Le " ; obvious" ; Le $x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; le$ de Bijection de l'univers aux ensembles d'un élément n'est pas un ensemble ; ce n'est pas un ensemble parce que sa définition est unstratified. Noter que dans tous les modèles connus de NFU c'est le cas qui ; Le choix de permet à on non seulement de montrer qu'il y a des urelements mais qu'il y a beaucoup de cardinaux entre le $|P\; (V)|$ et $|V|$.

Nous présentons maintenant quelques notions utiles. Un ensemble $A$ qui satisfait le $intuitivement\; agréable|A|\; =\; |P\_1\; (A)|$ serait le cantorian : un ensemble cantorian satisfait la forme habituelle du théorème du chantre de . Ensemble $A$ qui satisfait autre condition que $(x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; \{x\; \backslash \})\; \backslash \; lceil\; A$, la restriction de la carte du singleton au A , est non seulement l'ensemble cantorian mais le fortement cantorian.

Le le paradoxe de Burali-Forti de du nombre ordinal du plus grand va comme suit. Nous définissons (après théorie des ensembles naïve ) les nombres ordinaux pendant que l'équivalence en classe Well-orderings sous la similitude . Il y a un bien-ordre normal évident sur les nombres ordinaux puisqu'il bien-commande il appartient à un $ordinal\; \backslash \; Omega$. Il est franc pour s'avérer (par induction transfinie ) que le type d'ordre de l'ordre normal sur les nombres ordinaux moins qu'un $ordinal\; donné\; \backslash \; alpha$ est le $\backslash \; alpha$ lui-même. Mais ceci signifie que le $\backslash \; Omega$ est le type d'ordre du < de $de\; nombres\; ordinaux\; \backslash \; Omega$ et ainsi est strictement moins que le type d'ordre de tous les nombres ordinaux -- mais ce dernier est, par définition, le $\backslash \; Omega$ lui-même !

La solution au paradoxe dans N-F (U) commence par l'observation que le type d'ordre de l'ordre normal sur les nombres ordinaux moins que le $\backslash \; alpha$ est d'un type plus élevé que le $\backslash \; alpha$. Par conséquent un type de niveau a commandé les paires est deux, et le Kuratowski habituel a commandé les paires, quatre, types plus haut que le type de ses arguments. Pour n'importe quel type d'ordre le $\backslash \; alpha$, nous pouvons définir un type d'ordre type du $\backslash \; alpha$ un plus haut : si le $W\; \backslash \; dans\; \backslash \; alpha$, alors le $T\; (\backslash \; alpha)$ est le type d'ordre du = de $W^\; d\text{'}ordre\; \{\backslash \; iota\}\; \backslash \; \{(\backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \{y\; \backslash \})\; \backslash \; mi\; xWy\; \backslash \}$. La trivialité de l'opération de T est seulement semblante ; il est facile de prouver que T est strictement une opération monotone du (ordre préservant) sur les nombres ordinaux.

Nous pouvons maintenant redire le lemme sur commande saisit une façon stratifiée : le type d'ordre de l'ordre normal sur < de $de\; nombres\; ordinaux\; \backslash \; alpha$ est $T^2\; (\backslash \; alpha)$ ou $T^4\; (\backslash \; alpha)$ selon quelle paire est employée (nous assumons le type paire de niveau ci-après). De ceci nous déduisons que le type d'ordre sur < de $de\; nombres\; ordinaux\; \backslash Omega$ est $T^2\; (dont\; \backslash \; Omega)$, nous déduisons (\ Omega) < $T^2\; \backslash \; Omega$. Par conséquent l'opération de T n'est pas une fonction ; nous ne pouvons pas avoir strictement une carte réglée par monotone de des nombres ordinaux aux nombres ordinaux qui envoie un nombre ordinal en bas ! Puisque T est monotone, nous ont $\backslash \; Omega\; >\; T^2\; (\backslash \; Omega)\; >)\; de\; T^4\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; ldots$, un " ; sequence" descendant ; dans les nombres ordinaux qui ne peuvent pas être un ensemble.

Certains ont affirmé que ce résultat prouve qu'aucun modèle de N-F (U) est " ; standard" ; , puisque les nombres ordinaux dans aucun modèle de NFU ne sont extérieurement pas well-ordered. Nous ne prenons pas une position sur ceci, mais nous notons que c'est également un théorème de NFU que n'importe quel modèle d'ensemble de NFU non-bien-a commandé le " ; ordinals" ; ; NFU ne conclut pas que le V d'univers est un modèle de NFU, en dépit du V étant un ensemble, parce que la relation d'adhésion n'est pas une relation d'ensemble.

Pour un développement ultérieur des mathématiques dans le NFU , avec une comparaison au développement de la même chose dans le ZFC , voir l'exécution de des mathématiques dans la théorie des ensembles .

La théorie des ensembles de la première édition 1940 logique mathématique de de s de Quine de 'N-F marié par aux classes appropriées de la théorie des ensembles du NBG, et inclus un schéma d'axiome de la compréhension sans restriction pour les classes appropriées. Barkley Rosser a montré que la théorie des ensembles de Quine était sujette au paradoxe de Burali-Forti. La preuve de Rosser fait le pas interviennent pour N-F (U). En 1950, le Hao Wang a montré comment modifier les axiomes de Quine afin d'éviter ce problème, et Quine ait inclus l'axiomatisation en résultant dans les 1951 seconde et l'édition finale de la logique mathématique de .

Modèles de NFU

Le domaine du modèle de NFU sera le $V\_\; luxuriant\; non\; standard\; \{\backslash \; alpha\}$. La relation d'adhésion du modèle de NFU sera
$x\; de$

\ in_ {NFU} y \ equiv_ {def} j (x) \ dans y \ cale y \ dans V_ {j (\ alpha) +1}.

Nous montrons maintenant que c'est réellement un modèle de NFU. Laisser le $\backslash \; phi$ être une formule stratifiée dans la langue de NFU. Choisir une attribution des types à toutes les variables dans la formule qui est témoin du fait qu'elle est stratifiée. Choisir un N de nombre normal plus grand que tous les types assignés aux variables par cette stratification.

Augmenter le $de\; formule\; \backslash \; phi$ dans un $de\; formule\; \backslash \; phi\_1$ dans la langue du modèle non standard de la théorie des ensembles de Zermelo de avec le j de l'automorphisme using la définition de l'adhésion dans le modèle de NFU. L'application de n'importe quelle puissance du j aux deux côtés d'un rapport d'équation ou d'adhésion préserve sa valeur de vérité parce que le j est un automorphisme. Faire une telle demande à chaque formule atomique dans le $\backslash \; phi\_1$ de telle manière que chaque type assigné par variable le i du X se produise avec exactement des applications de $N-i$ du j . C'est grâce possible à la forme des rapports atomiques d'adhésion dérivés des rapports d'adhésion de NFU, et à la formule étant stratifiée. Chacun a mesuré le $de\; phrase\; (\backslash \; forall\; X\; \backslash \; dans\; V\_\; \{\backslash \; alpha\}.\; \backslash \; livre\; parpouce\; carré(j^\; \{Ni\}\; (x)))$ peut être converti en $de\; forme\; (\backslash \; forall\; X\; \backslash \; dans\; j^\; \{Ni\}\; (V\_\; \{\backslash \; alpha\}).\; \backslash \; livre\; parpoucecarré\; (x))$ (et pareillement pour quantifiers existentiels . Effectuer cette transformation partout et obtenir un $de\; formule\; \backslash \; phi\_2$ dans lequel le j n'est jamais appliqué à une variable attachée.

Choisir n'importe quel variable libre y dans le $\backslash \; type\; assigné\; par\; phi$ le i . Appliquer le $j^\; \{dedans\}$ uniformément à la formule entière pour obtenir un $de\; formule\; \backslash \; phi\_3$ dans lequel le y apparaît sans n'importe quelle application du j . Maintenant le $\backslash \; \{y\; \backslash \; dans\; V\_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; mi\; \backslash \; phi\_3\; \backslash \}\; le$ existe (parce que le j semble appliqué seulement aux variables et aux constantes libres), appartient au $V\_\; \{\backslash \; alpha+1\}$, et contient exactement ces le y qui satisfont la formule originale $\backslash \; phi$ dans le modèle de NFU. le $j\; (\backslash \; \{y\; \backslash \; dans\; V\_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; mi\; \backslash \; phi\_3\; \backslash \})$ a cette prolongation dans le modèle de NFU (l'application du j corrige pour la définition différente de l'adhésion dans le modèle de NFU). Ceci établit que le a stratifié des prises de la compréhension dans le modèle de NFU.

Pour voir que les prises faibles d'Extensionality de est franche : chaque élément non vide du $V\_\; \{j\; (\backslash \; alpha)\; +1\}$ hérite d'une prolongation unique du modèle non standard, l'ensemble vide hérite de sa prolongation habituelle aussi bien, et tous autres objets sont des urelements.

L'idée fondamentale est que le j d'automorphisme code le " ; set" de puissance ; $V\_\; \{\backslash \; alpha+1\}$ de notre " ; universe" ; $V\_\; \{\backslash \; alpha\}$ dans son $V\_\; extérieurement\; isomorphe\; de\; copie\; \{j\; (\backslash \; alpha)\; +1\}$ à l'intérieur de notre " ; universe." ; Les objets restants ne codant pas des sous-ensembles de l'univers sont traités comme Urelements

Si le $\backslash \; alpha$ est un n de nombre normal, nous obtenons un modèle de NFU qui réclame que l'univers est fini (il est extérieurement infini, naturellement). Si le $\backslash \; alpha$ est infini et le choix de se tient dans le modèle non standard du ZFC , nous obtenons un modèle de NFU + infini de + choix de .

Autoapprovisionnement des bases mathématiques dans NFU

Que les raisons philosophiques, il est important notent qu'il n'est pas nécessaire de ne travailler dans le ZFC ou aucun système relatif pour effectuer cette preuve. Un argument commun contre l'utilisation de NFU comme base pour des mathématiques est que nos raisons de compter là-dessus doivent faire avec notre intuition que le ZFC est correct. Nous réclamons qu'il est suffisant d'accepter l'essai (en fait TSTU). Nous décrivons l'approche : prendre le type la théorie TSTU (permettant des urelements dans chaque type positif) en tant que notre metatheory et considérer la théorie de modèles d'ensemble de TSTU dans TSTU (ces modèles seront des ordres des ensembles $T\_i$ (tous les mêmes saisissent le metatheory) avec des embeddings de chaque $P\; (T\_i)$ dans $P\_1\; (T\_\; \{i+1\})\; des\; embeddings\; de\; codage\; de$ de la puissance réglée de $T\_i$ dans le
$T\_\; \{i+1\}$ d'une façon de type-respect). Donné un encastrement de $T\_0$ dans $T\_1$ (identifiant des éléments du " bas ; type" ; avec des sous-ensembles du type bas), on peut définir des embeddings de chaque " ; type" ; dans son successeur d'une manière normale. Ceci peut être généralisé au $T\_\; transfini\; d\text{'}ordres\; \{\backslash \; alpha\}$ avec soin.

Noter que la construction de tels ordres des ensembles est limitée par la taille du type dans lequel ils sont construits ; ceci empêche TSTU de prouver sa propre uniformité (TSTU + infini de peuvent prouver l'uniformité de TSTU ; pour prouver l'uniformité de l'infini un de de TSTU+ a besoin d'un type contenant un ensemble de $de\; cardinalité\; \backslash \; de\; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}$, on ne peut pas s'avérer que qui existe dans l'infini TSTU+ sans prétentions plus fortes). Maintenant les mêmes résultats de la théorie des modèles peuvent être employés pour établir un modèle de NFU et pour vérifier que c'est un modèle de NFU plus ou moins de la même façon, avec le $T\_\; \{\backslash \; alpha\}$ étant employé au lieu du $V\_\; \{\backslash \; alpha\}$ dans la construction habituelle. Le mouvement final est d'observer que puisque NFU est conformé, nous pouvons laisser tomber l'utilisation d'absolu saisit notre metatheory, amorçant le metatheory de TSTU à NFU.

Faits sur le j de l'automorphisme

En fait, le j est codé par une fonction dans le modèle de NFU. La fonction dans le modèle non standard qui envoie le singleton de n'importe quel élément du $V\_\; \{j\; (\backslash \; alpha)\}$ à son élément unique, devient dans NFU une fonction qui envoie chaque singleton { X }, où le X est n'importe quel objet dans l'univers, au j ( X ). Appeler ce de fonction Endo et le laisser avoir les propriétés suivantes : Le Endo est une injection de l'ensemble de singletons en jeu d'ensembles, avec la propriété ce Endo ({ X }) = { Endo ({ y }) | de ∈ du y X } pour chaque X d'ensemble. Cette fonction peut définir un type " de niveau ; membership" ; relation sur l'univers, on reproduisant la relation d'adhésion du modèle non standard original.

Axiomes forts d'infini

On peut s'ajouter aux axiomes forts de cette théorie basse du familier d'infini du contexte du ZFC , tel que le " ; là sort un cardinal inaccessible, " ; mais il est plus normal de considérer des affirmations au sujet des ensembles cantorian et fortement cantorian. De telles affirmations réalisent non seulement les grands cardinaux des sortes habituelles, mais renforcent la théorie à ses propres conditions.

Le plus faible des principes forts habituels est :
l'axiome de Rosser de de

compter . L'ensemble de nombres normaux est un ensemble fortement cantorian.

Pour voir comment des nombres normaux sont définis dans NFU, voir la définition Placer-théorétique de des nombres normaux . La grille d'origine de cet axiome donné par Rosser était " ; l'ensemble { m |1≤ le n de ≤ du m } a le members" du n ; , pour chaque " du n de nombre normal ;. Cette affirmation intuitivement évidente est unstratified : ce qui est prouvable dans NFU est " ; l'ensemble { m |1≤ le n de ≤ du m } a $T^2\; (members"\; de\; n)$ ; (où l'opération du T sur des cardinaux est définie par le $T\; (|A|)\; =\; |P\_1\; (A)|$ ; ceci élève le type d'un cardinal d'un). Pour tout nombre cardinal (nombres normaux y compris) pour affirmer le $T\; (|A|)\; =\; |A|$ est équivalent à affirmer que le A d'ensembles de cette cardinalité sont cantorian (par un abus habituel de langue, nous nous référons à des cardinaux tels que le " ; cardinals" cantorian ;). Il est franc pour prouver que l'affirmation que chaque nombre normal est cantorian est équivalente à l'affirmation que l'ensemble de tous les nombres normaux est fortement cantorian.

Le comptant est compatible à NFU, mais à augmentations sa force d'uniformité sensiblement ; pas, en tant qu'un prévoirait, dans le secteur de l'arithmétique, mais dans une théorie des ensembles plus élevée. NFU + infini de montre que chaque $\backslash \; beth\_n$ existe, mais pas que le $\backslash \; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}$ existe ; NFU + comptant (facilement) prouve l'infini de , et prouve plus loin l'existence du $\backslash \; du\; beth\_\; \{\backslash \; beth\_n\}$ pour chaque n, mais pas l'existence du $\backslash \; du\; beth\_\; \{\backslash \; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}\}$. (Voir les nombres de Beth de .

Le comptant implique immédiatement qu'on n'a pas besoin d'assigner des types aux variables limitées à l'ensemble $N$ de nombres normaux aux fins de la stratification ; c'est un théorème que la puissance réglé de d'un ensemble fortement cantorian est fortement cantorian, ainsi il est davantage de non nécessaire d'assigner des types aux variables limitées à n'importe quel ensemble réitéré de puissance des nombres normaux, ou à des ensembles familiers tels que l'ensemble de vrais nombres, l'ensemble de fonctions des reals aux reals, et ainsi de suite. La force placer-théorique du comptant est moins importante dans la pratique que la convenance pas de devoir annoter des variables connues pour avoir des valeurs de nombre normal (ou des genres connexes de valeurs) avec des parenthèses de singleton, ou pour appliquer l'opération du T afin d'obtenir des définitions stratifiées d'ensemble.

Le comptant implique l'infini de ; chacun des axiomes au-dessous des besoins d'être touché à NFU + infini de pour obtenir l'effet des variantes fortes de l'infini de ; Le Ali Enayat a étudié la force de certains de ces axiomes dans les modèles de NFU + " ; l'univers est finite" ;.

Un modèle de la sorte construite ci-dessus satisfait le comptant juste dans le cas que le j d'automorphisme fixe tous les nombres normaux dans le modèle non standard fondamental de la théorie des ensembles de Zermelo.

Le prochain axiome fort que nous considérons est
axiome de de

la séparation fortement cantorian : Pour tout fortement cantorian A d'ensemble et tout $de\; formule\; \backslash \; phi$ (pas nécessairement stratifié !) l'ensemble { A de ∈ de X |le φ} existe.

Les conséquences immédiates incluent l'induction mathématique pour des conditions unstratified (qui n'est pas une conséquence de comptant ; beaucoup mais non tous les exemples unstratified d'induction sur les nombres normaux suivent du comptant ).

Cet axiome est étonnant fort. Le travail non publié du Robert Solovay prouve que la force d'uniformité de la théorie NFU* = NFU + comptant + séparation de Cantorian de fortement est identique que celle de la théorie des ensembles de Zermelo + du remplacement de du $\backslash \; Sigma\_2$.

Cet axiome se tient dans un modèle de la sorte construite ci-dessus (avec choix de ) si les nombres ordinaux qui sont fixés par le j et dominent seulement des nombres ordinaux fixes par le j dans le modèle non standard fondamental de la théorie des ensembles de Zermelo sont standard, et l'ensemble de puissance d'un tel nombre ordinal dans le modèle est également norme. Cette condition est suffisante mais non nécessaire.

Est après
l'axiome de de

Cantorian place : Chaque ensemble cantorian est fortement cantorian.

Cette affirmation très simple et attrayante est extrêmement forte. Solovay a montré l'équivalence précise de la force d'uniformité de la théorie NFUA = NFU + infini de + ensembles de Cantorian de avec cela du ZFC + un schéma affirmant l'existence d'un n - cardinal de Mahlo pour chaque concret n de nombre normal. Ali Enayat a prouvé que la théorie de classes d'équivalence cantorian des relations extensional bien fondées (ce qui donne une image normale d'un premier segment de la hiérarchie cumulative du ZFC ) interprète la prolongation du ZFC avec le n - cardinaux de Mahlo directement. Une technique de permutation peut être appliquée à un modèle de cette théorie pour donner un modèle dans lequel les ensembles par des moyens héréditaires fortement cantorian avec la relation habituelle d'adhésion modèlent la prolongation forte du ZFC .

Cet axiome se tient dans un modèle de la sorte construite ci-dessus (avec choix de ) juste dans le cas que les nombres ordinaux ont fixé par le j dans le modèle non standard fondamental du ZFC sont un premier segment (de classe appropriée) des nombres ordinaux du modèle.

Considérer après
axiome de de

la séparation de Cantorian : Pour l'ensemble cantorian A et tout $de\; formule\; \backslash \; phi$ (pas nécessairement stratifié !) l'ensemble { A de ∈ de X |le φ} existe.

Ceci combine l'effet des deux axiomes précédents et est réellement encore plus fort (avec précision comment n'est pas connu). L'induction mathématique Unstratified permet montrer qu'il y a le n - cardinaux de Mahlo pour chaque n , donnés le Cantorian place , qui donne une prolongation du ZFC qui est encore plus fort que le précédent, qui affirme seulement qu'il y a le n - Mahlos pour chaque nombre normal concret (partant ouvrir la possibilité de contre-exemples non standard).

Cet axiome se tiendra dans un modèle de la sorte décrite ci-dessus si chaque nombre ordinal fixe par le j est standard, et chaque puissance réglé de d'un nombre ordinal fixe par le j est également la norme dans le modèle fondamental du ZFC . Encore, cette condition est suffisante mais non nécessaire.

Un nombre ordinal serait le cantorian s'il est fixé par le T , et le fortement cantorian s'il domine seulement des nombres ordinaux cantorian (ceci implique qu'il est elle-même cantorian). Dans les modèles de la sorte construite ci-dessus, les nombres ordinaux cantorian de NFU correspondent aux nombres ordinaux fixes par le j (ils ne sont pas les mêmes objets parce que différentes définitions des nombres ordinaux sont employées dans les deux théories).

L'égale dans la force aux ensembles de Cantorian de est
axiome de de

s grands nombres ordinaux : Pour chaque $ordinal\; noncantorian\; \backslash \; alpha$, il y a un n de nombre normal tels que < de $T^n\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; alpha$.

Se rappeler que le $\backslash \; Omega$ est le type d'ordre de l'ordre normal sur tous les nombres ordinaux. Ceci implique seulement les ensembles de Cantorian de si nous avons le choix de (mais est à ce niveau de force d'uniformité en tous cas). Il est remarquable qu'on puisse même définir le $T^n\; (\backslash \; Omega)$ : c'est la limite $s\_n$ de Th du n de n'importe quel ordre fini du s de nombres ordinaux du n de longueur tels que $s\_0\; =\; \backslash \; Omega$, le $s\_\; \{i+1\}\; =\; T\; (s\_i)$ pour chaque approprié i . Cette définition est complètement unstratified. L'unicité du $T^n\; (\backslash \; Omega)$ peut être prouvée que (pour des ces n pour lequel il existe) et une certaine quantité de raisonnement common-sense au sujet de cette notion peut être effectué, assez pour prouver que le que les grands nombres ordinaux implique le Cantorian place en présence du choix de . Malgré le rapport formel inextricable de cet axiome, c'est une prétention très normale, s'élevant à rendre l'action du T sur les nombres ordinaux aussi simple comme possible.

Un modèle de la sorte construite ci-dessus satisfera les grands nombres ordinaux de , si les nombres ordinaux déplacés par le j sont exactement les nombres ordinaux qui dominent un certain $j^\; \{-\; I\}\; (\backslash \; alpha)$ dans le modèle non standard fondamental du ZFC .
axiome de de

s petits nombres ordinaux : Pour tout φ de formule, il y a un A d'ensemble tels que les éléments du A qui sont fortement des nombres ordinaux de Cantorian sont exactement les nombres ordinaux fortement cantorian tels que φ.

Solovay a montré l'équivalence précise dans la force d'uniformité de NFUB = NFU + infini de + ensembles de Cantorian de + nombres ordinaux de petits avec la théorie des ensembles de Morse-Kelley de plus l'affirmation que le nombre ordinal approprié de classe (la classe de tous les nombres ordinaux) est un contrat cardinal de faiblement. C'est très fort en effet ! D'ailleurs, NFUB-, qui est NFUB avec les ensembles de Cantorian de omis, est facilement vu pour avoir la même force que NFUB.

Un modèle de la sorte construite ci-dessus satisfera cet axiome si chaque collection de nombres ordinaux fixes par le j est l'intersection d'un certain ensemble de nombres ordinaux avec les nombres ordinaux fixes par le j , dans le modèle non standard fondamental de ZFC.

Encore plus forte est la théorie NFUM = NFU + infini de + nombres ordinaux de grands + nombres ordinaux de petits. C'est équivalent à la théorie des ensembles de Morse-Kelley de avec un attribut sur les classes qui est un ultrafiltre nonprincipal κ-complet sur le κ approprié de nombre ordinal de classe ; en effet, c'est théorie des ensembles + " de Morse-Kelley ; le nombre ordinal approprié de classe est un " mesurable du cardinal ; !

Les détails techniques ici ne sont pas la question principale, qui est que (dans le cadre de NFU) les affirmations raisonnables et normales s'avèrent être équivalentes dans la puissance aux axiomes très forts de l'infini dans le contexte du ZFC . Ce fait est lié à la corrélation entre l'existence des modèles de NFU, ci-dessus décrit et satisfaire ces axiomes, et l'existence des modèles du ZFC avec les automorphismes ayant les propriétés spéciales.

Voir également

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