Norme uniforme

Dans l'analyse mathématique , la norme uniforme de de assigne au vrai ou au complexe - le évalué f de fonctions liées le nombre non négatif

$\|f \|le _ \ infty= \ sup \ sont partis \ {\, \ est parti|f (x) \ droit|: X \ dans \ mbox {domaine} \ \ mbox {de} \ f \, \ droit \}.$

Cette norme s'appelle également la norme de supremum de ou la norme de Tchebychev de .

Si nous permettons des fonctions illimitées, cette formule ne rapporte pas une norme ou un métrique dans un sens strict, bien que le métrique prolongé soi-disant par obtenu permette toujours à on de définir une topologie sur l'espace de fonction en question.

Si le f est une fonction continue sur un intervalle fermé , ou plus généralement un ensemble du contrat , alors il est lié et le Supremum dans la définition ci-dessus est atteint par le théorème de valeur extrême de de Weierstrass, ainsi nous pouvons remplacer le supremum par le maximum. Dans ce cas-ci, la norme s'appelle également le la norme maximum .

En particulier, pour le cas d'un $x= de vecteur (x_1, \ pointille, x_n)$ dans l'espace du même rang dimensionnel fini du du , il prend la forme

$\|X \|_ \ infty= \ maximum \ { |x_1|, \ points, |x_n| \}.$ < ! -- prévention du " ; \, " ; devrait permettre l'affichage de HTML -->

La raison du " souscrit ; &infin ; " ; est ce $de \ lim_ {p \ rightarrow \} infty \|f \|_p= \|f \|_ \ infty,$

là où

$\|f \|le _p= \ est parti (\ int_D \ est parti|f \ droit|^p \, d \ MU \ bon) ^ {1/p}$

là où le D est le domaine du f (et des quantités d'intégrale à une somme si le D est un ensemble discret ).

La fonction binaire $d de (f, g)= \|f-g \|_ \ infty$

est alors un métrique sur l'espace de toutes les fonctions liées (et, évidemment, de quelle de ses sous-ensembles) sur un domaine particulier. Un ordre { n de _{de f : le n = 1, 2, 3,…} converge uniformément à un f de fonction si et seulement si $de \ lim_ {n \ rightarrow \} infty \|f_n-f \|_ \ infty=0. \,$}

Pour le complexe du que continu fonctionne au-dessus d'un espace , ceci de contrat de le transforme en algèbre de C* de .

Voir également

L'espace de Lp de
Distance de Tchebychev de

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