Norme de champ

Dans les mathématiques , la norme (champ) est une cartographie définie dans la théorie des champs , pour tracer des éléments d'un plus grand champ dans plus petit.

Définitions formelles

le 1. a laissé le K soit un champ et un L une prolongation algébrique fini du K . La multiplication par le α, un élément du L , est un K - $m_ \ alpha linéaires de de la transformation : L \ à L$ Le N _L/K (α) de la norme de est défini comme déterminant du m _α. Les propriétés de la cause déterminante impliquent que la norme appartient au K et L/K (αβ) de _{du N de}

= L/K (β) de _{du N du L/K} (α) de _{du N}

de sorte que la norme, une fois considérée sur les éléments différents de zéro, soit un homomorphisme de groupe de du groupe multiplicatif de L à celle du K . si le L/K est une prolongation de Galois de , le L/K de _{du N de norme d'un α d'élément du L est le produit de tous les conjugés g (α) de}

du α, pour le g dans le G du groupe de Galois de du L / K . la norme de d'un α de l'élément algébrique au-dessus du K peut être défini comme N (α) de produit des racines de son polynôme minimal , qui sont différentes par paires puisque la prolongation est Galois et ainsi le polynôme minimal est le séparable. Le α arrogant est dans le L , les éléments g (α) de

sont ces racines, chacune ont répété un certain d de nombre des périodes. Ici d de

= '' M ''

est le degré de L au-dessus du M de sous-champ du L qui est le champ de division du polynôme minimal du α. Par conséquent le rapport des normes est

L/K (α) de _{du N = d de ^{du N (α).}}

Exemple

La norme de champ des nombres complexes aux vrais nombres envoie X de

+ iy

à x² de

+ y² .

D'autres propriétés

La norme d'un nombre entier algébrique est encore un nombre entier, parce qu'elle est égale (jusqu'au signe) à la limite constante du polynôme minimal.

Dans la théorie de nombre algébrique de on définit également des normes pour les idéaux que ceci est fait de telle manière que si le I est un idéal du K de _{du O , l'anneau de des nombres entiers du K , le N ( I ) du champ de nombre soit le nombre de classes de résidu dans le I - c. la cardinalité du K}/de _{du O de cet anneau fini. Par conséquent cette norme de d'un idéal est toujours un nombre entier positif. Quand le I est un K} de _{du O de α d'idéal principal il y a la relation prévue entre le N ( I ) et la valeur absolue de la norme au Q du α, pour le α par nombre entier algébrique.}

Voir également

trace de champ

Théorie de nombre algébrique]]

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