Norme de Matrix

Dans les mathématiques , une norme de matrice de est une prolongation normale de la notion d'une norme de vecteur de aux matrices .

Propriétés de la norme de matrice

En ce qui suit, $K$ dénotera le champ du vrai ou les nombres complexes considèrent le $K^ de l'espace {m \ périodes n}$ de toutes les matrices avec des rangées de $m$ et de colonnes de $n$ avec des entrées dans $K.$

Une norme de matrice sur le $K^ {m \ périodes n}$ satisfait toutes les propriétés des normes de vecteur. C'est-à-dire, si $\|A \|$ est la norme de la matrice $A$ , puis
$de \|A \|\ GE 0$ avec l'égalité si et seulement si $A=0$
$de \|\ alpha A \|=|\ alpha| \|A \|$ pour tout le $\ alpha$ dans $K$ et toutes les matrices $A$ dans le $K^ {m \ périodes n}$
$de \|A+B \| \ le \|A \|+ \|B \|$ pour toutes les matrices $A$ et $B$ dans le $K^ {m \ périodes n}.$

En plus, quelques normes de matrice définies sur le n - par des matrices du n (mais non toutes telles normes) remplir un ou plusieurs des conditions suivantes qui rapportent au fait que les matrices sont plus que juste des vecteurs :
$de \|Ab \| \ le \|A \|\|B \|$
$\|A \|= \|A^* \|$ où $A^*$ est le conjugé de transposent de $A$ (ou simplement le transposent , pour de vraies matrices)

Une norme de matrice qui satisfait la première propriété additionnelle s'appelle une norme secondaire-multiplicative de . le réglé de tout le n - par des matrices du n , ainsi qu'une norme simultiplicative, est un exemple d'une algèbre de Banach de .

(Dans certains réserve la norme de matrice de terminologique est employé seulement pour ces normes qui sont secondaire-multiplicatives.)

Norme induite

Si des normes de vecteur sur le n de ^{du m} et du K de ^{du K sont données (le K est champ du les vrais nombres complexes de ou de , alors on définit la norme induite par correspondante ou la norme d'opérateur de sur l'espace du m - par des matrices du n comme maximum suivants : $\ maximum \ parti \ {\ frac {\|Hache \|} {\|X \|} : X \ dans K^n \ mbox {avec} x \ Ne 0 \ droit \}.$}

Si le m = le n et un emploie la même norme sur le domaine et la gamme, alors la norme induite d'opérateur est une norme secondaire-multiplicative de matrice.

Par exemple, la norme d'opérateur correspondant au '' p '' - la norme pour les vecteurs est : le $\ limite _ {x \} de Ne 0 \ frac {\ est parti \| Un x \ droit \| _p} {\ est parti \| X \ droit \| _p}.$

Dans le cas de $p=1$ et de $p= \ infty$ , les normes peuvent être calculées comme : le $\| _1 = \ _ maximum \ limites {1 \ leq j \ leq n} \ ^m _ de somme {i=1} | a_ {ij} |$ le $de \ est parti \| A \ droit \| _ \ infty = \ _ maximum \ limites {1 \ leq i \ leq m} \ ^n _ de somme {j=1} | a_ {ij} | .$

Ce sont différents du p - normes de Schatten pour les matrices, qui sont également habituellement dénotées par le $\| A \ droit \| _p.$

Dans le cas spécial du p = 2 (la norme euclidienne ) et du m = n (matrices carrées), la norme induite de matrice est la norme spectrale de . La norme spectrale d'un A de matrice est la valeur singulière du plus grand du A ou de la racine carrée de la plus grande valeur propre du Positif-semi-défini A du A ^* de la matrice : le $de \ est parti \| A \ droit \| _2= \ racine carrée {\ lambda_ {\ mbox {maximum}} (A^* A)}$ là où le A ^* dénote le conjugé de transposer du A .

N'importe quelle norme induite satisfait le $de d'inégalité \ est partie \| A \ droit \| \ GE \ rho (A),$ là où &rho ; ( A ) est le rayon spectral A . En fait, il s'avère ce &rho ; ( A ) est l'infimum de toutes les normes induites du A .

En outre, nous avons le $de \ lim_ {r \ rarr \} infty \|A^r \|= du ^ {1/r} \ rho (A).$

" ; Entrywise" ; normes

Ces normes de vecteur traitent une matrice comme un $m \ vecteur des périodes n$ , et emploient une des normes familières de vecteur.

Par exemple, using le p - norme pour des vecteurs, nous obtenons : $(\ sum_ {i=1} \ ^n de sum_ {j=1} |a_ {ij}|^p \ grand) ^ {1/p}. \,$

Note : Des normes d'Entrywise p ne doivent pas être confondues avec des normes induites de p.

Norme de Frobenius

Le p = 2, ceci est réclamé la norme de Frobenius de ou la norme de Hilbert-Schmidt de de , bien que la dernière limite soit souvent réservée pour des opérateurs sur l'espace de Hilbert . Cette norme peut être définie dans diverses manières :

$\|A \|_F^2= \ ^m du sum_ {i=1} \ ^n du sum_ {j=1} |a_ {ij}|^2= \ operatorname {trace} (A^ \ ast {} A)= \ ^ de sum_ {i=1} {\ minute \ {, de m \, n \}} \ sigma_ {I} ^2$

là où le A ^* dénote le conjugé de transposer du A , &sigma de ; _i sont les valeurs singulières du A , et la fonction de trace de est employée. La norme de Frobenius est très semblable à la norme euclidienne sur le n de ^{du K et vient d'un produit intérieur sur l'espace de toutes les matrices.}

La norme de Frobenius est submultiplicative et est très utile pour l'algèbre linéaire numérique . Il est souvent plus facile calculer cette norme que des normes induites.

Norme de trace

La norme de trace de est définie en tant que $de \|A \|_ {TR}$

\ operatorname {trace} (\ racine carrée {A^*A}) \ sum_ {i1} ^ {\ minute \ {, de m \, n \}} \ sigma_ {I}.

Clairement, parce que tout le

K^ {m \ périodes n}

nous avons le

\|A \|_ {} de TR \ GE \|A \|_ {F}.

Norme maximum

La norme maximum est définie comme $\|A \|_ {maximum} = \ maximum \$

À normes conformées

de norme de matrice \| \ cdot \|le _ {ab}

sur le

K^ {m \ périodes n}

s'appelle compatible à un

de norme de vecteur \| \ cdot \|_ {a}

sur

K^n

et un

de norme de vecteur \| \ cdot \|_ {b}

sur

K^m

si :

de \|Hache \|_b \ leq \|A \|_ {} d'ab \|X \|_a

pour tout le

A \ dans K^ {m \ périodes n}, x \ dans K^n

. Toutes les normes induites sont conformées par définition.

Équivalence des normes

Pour deux normes quelconques de vecteur ||· ; ||_α et ||· ; ||_β, nous avons le $r de \ est parti \|A \ droit \|le _ \ alpha \ leq \ sont partis \|A \ droit \|le _ \ bêta \ leq s \ sont partis \|A \ droit \|_ \ alpha$

pour un certain r de nombres positifs et un s , pour tout le de matrices A dans le $K^ {m \ périodes n}$ . En d'autres termes, ils sont les normes équivalentes de ; ils induisent la même topologie sur le $K^ {m \ périodes n}$ .

D'ailleurs, quand $A \ dans \ ^ du mathbb {R} {n \ périodes n}$ , puis pour toute norme de vecteur ||· ; ||, là existe un unique k de nombre positif tels que le k||A|| est norme (submultiplicative) de matrice d'a.

Un de norme de matrice ||· ; ||_p serait le minimal si là existe aucun autre de norme de matrice ||· ; || satisfying de _q ||· ; ||_q&le ; ||· ; ||_p pour tout le ||· ; ||_q .

Exemples de l'équivalence en norme

Pour le

A de matrice \ dans \ ^ du mathbb {R} {m \ périodes n}

le suivant 1 de ^{de prise d'inégalités, 2} :

de  \|A \|_2 \ le \|A \|_F \ le \ racine carrée {} de n \|A \|_2

\|A \|_ {maximum} \ le \|A \|_2 \ le \ racine carrée {} de manganèse \|A \|_

{maximum}

\ frac {1}} {\ racine carrée {n} \|A \|_ \ infty \ le \|A \|_2 \ le \ racine carrée {} de m \|A \|_ \ infty

\ frac {1}} {\ racine carrée {m} \|A \|_1 \ le \|A \|_2 \ le \ racine carrée {} de n \|A \|_1

\|A \|_2 \ le \ racine carrée {\|A \|_1 \|A \|_ \}

infty

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