Nombre triangulaire

Un nombre triangulaire est la somme des nombres normaux du n de 1 au n . Les nombres triangulaires sont soi-disant parce qu'ils décrivent des nombres d'objets qui peuvent être arrangés dans une triangle. Le nombre triangulaire de Th du n est donné par le de

T_n= \ ^n du sum_ {k=1} k = 1+2+3+ \ dotsb + (N2) + (n-1) +n = \ frac {2} = de n (n+1)} {\ frac {n^2+n} {2} = {n+1 \ choisissent 2}.

Suivant les indications de la limite extrême droite de cette formule, chaque nombre triangulaire est un coefficient binomial : le Th du n triangulaire est le nombre de paires distinctes à choisir parmi le n + les objets 1. Sous cette forme il résout le « problème de poignée de main » de compter le nombre de poignées de main si chaque personne dans une chambre se serre la main la personne une fois les uns avec les autres.

L'ordre des nombres triangulaires pour le   du n ; =  ; 1,   ; 2,   ; 3… est : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 de ,…

Relations à d'autres nombres figurate

Les nombres triangulaires ont une large variété de relations à d'autres nombres Figurate .

Le plus simplement, la somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré . Algébriquement, T_n de

+ = de T_ {n-1} \ laissé (\ + de frac {n^2} {2} \ frac {n} {2} \ droit) + \ (\ frac {\ (n-1 \ droit) ^2 laissé} {2} + laissé \ frac {n-1} {2} \ droit) = \ 2} + laissé (\ frac {n^2} {\ frac {n} {2} \ droit) + \ laissé (\ - de frac {n^2} {2} \ frac {n} {2} \ droit) = n^2.

Alternativement, le même fait peut être démontré graphiquement :

D'autres propriétés

Chaque même nombre parfait est triangulaire, et aucun nombre parfait impair n'est connu, par conséquent tous les nombres parfaits connus sont triangulaires.

Dans la base 10 , la racine de Digitals de d'un nombre triangulaire est toujours 1, 3, 6 ou 9. par conséquent chaque nombre triangulaire est l'un ou l'autre divisible par trois ou a un reste de 1 une fois divisé par neuf :

de
3× ; 2,
10 de

= 9× ; 1+1,
15 = 3× ; 5,
21 = 3× ; 7,
28 = 9× ; 3+1,
…

L'inverse du rapport ci-dessus est, cependant, pas toujours vrai. Par exemple, la racine numérique de 12, qui n'est pas un nombre triangulaire, est 3 et divisible par trois.

La somme du Reciprocals de tous les nombres triangulaires est : de

\ ! \ \ ^ du sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ plus de } de ^2 + de n \ plus de } = ^ de 2 \ sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ plus de {n^2 + n}} = 2

Ceci peut être montré en employant la somme de base d'un télescopant la série : de

\ ! \ \ ^ du sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ plus de {n (n+1)}} = 1

Deux autres formules intéressantes concernant des nombres triangulaires sont : T_ de

{a+b} = T_ {a} + T_ {b} + ab

et T_ de

{ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {A-1} T_ {b-1},

qui peut facilement être établi ou en regardant des modèles de point (voir ci-dessus) ou avec de l'algèbre simple.

En 1796, le allemand Carl Friedrich Gauss de mathématicien et de scientifique a découvert que chaque nombre entier positif est représentable comme somme de tout au plus trois nombres triangulaires, écrivant en son journal intime ses mots célèbres, " ; Heureka ! num= Δ + Δ + Δ." ; Noter que ce théorème n'implique pas que les nombres triangulaires sont différents (comme dans le cas de 20=10+10), ni qu'une solution avec trois nombres triangulaires différents de zéro doit exister. C'est un cas spécial du théorème polygonal du nombre de Fermat de .

Essais pour des nombres triangulaires

On peut efficacement examiner si un positif X de nombre entier est un nombre triangulaire par le calcul = de n de

\ frac {\ racine carrée {8x+1} - 1} {2}.

Si le n est un nombre entier, alors le X est le nombre triangulaire de Th du n . Si le n n'est pas un nombre entier, alors le X n'est pas triangulaire.

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