Nombre puissant

emplate : Classes de diviseur Un nombre puissant est un positif m du nombre entier que pour chaque p de nombre de la perfection la division du m , le p ² divise également le m . D'une manière equivalente, un nombre puissant est le produit d'une place et d'un cube , c., un m en de nombre du m de forme = un b ³ de ², où le un et le b sont des nombres entiers positifs. Des nombres puissants sont également connus comme squareful, place-plein , ou 2 plein . Le Paul Erdős et le George Szekeres ont étudié de tels nombres et le Solomon W. Golomb a appelé un tel de nombres puissant.

Ce qui suit est une liste de tous les nombres puissants entre 1 et 1000 :
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 de
.

Équivalence des deux définitions

Si le m = un b ³ de ², alors chaque perfection dans la factorisation de perfection de du un apparaît dans la factorisation principale du m avec un exposant d'au moins deux, et chaque perfection dans la factorisation principale du b apparaît dans la factorisation principale du m avec un exposant au moins de trois ; donc, le m est puissant.

Dans l'autre direction, supposer que le m est puissant, avec le $de de factorisation = \ p_i^ d'aiguillon {\ alpha_i},$ là où chaque ≥ 2. de α_i définissent γ_i pour être trois si α_i est impair, et zéro autrement, et définir β_i = α_i - γ_i. Puis, toutes les valeurs β_i sont même des nombres entiers non négatifs, et toutes les valeurs γ_i sont zéro ou trois, ainsi $m de = (\ p_i^ d'aiguillon {\ beta_i}) (\ p_i^ d'aiguillon {\ gamma_i}) = (\ p_i^ d'aiguillon {\ beta_i/2}) ^2 (\ p_i^ d'aiguillon {\ gamma_i/3}) ^3$ fournit la représentation désirée du m comme produit d'une place et d'un cube.

Le m de représentation = un b ³ de ² calculé de cette façon a la propriété que le b est Squarefree , et est uniquement défini par cette propriété.

Propriétés mathématiques

La somme de reciprocals des nombres puissants converge à $\ prod_p de \ parti (1+ \ frac {1} {p (p-1)}\ droit) = \ frac {\ zéta (2) \ zéta (3)} {\ zéta (6)} = \ frac {315} {2 \ pi^4} \ zéta (3),$

là où le p fonctionne plus de tout amorce, le ζ ( s ) dénote la fonction de zéta de Riemann , et le ζ (3) est le constant d'Apéry de (Golomb, 1970).

Laisser le k ( X ) dénotent le nombre de nombres puissants dans l'intervalle. Alors le k ( X ) est proportionnel à la racine carrée du X . Plus avec précision,

$cx^ {1/2} - 3x^ {1/3} \ le k (x) \ le cx^ {1/2}, c= \ zéta (3/2)/\ zéta (3)=2.173 \ cdots$

(Golomb, 1970).

L'ordre des paires de nombres puissants consécutifs est donné près. Les deux plus petits nombres puissants consécutifs sont 8 et 9. Depuis le X ² de l'équation de Pell de ; &minus ; ; 8 y ² ; = ; 1 a infiniment beaucoup de solutions intégrales, là sont infiniment beaucoup de paires de nombres puissants consécutifs (Golomb, 1970) ; plus généralement, on peut trouver des nombres puissants consécutifs en résolvant un semblable X ² d'équation de Pell ; &minus ; ; ny ² = ; ±1 pour n'importe quel perfectionnent le n du cube . Cependant, un des deux nombres puissants dans une paire formée de cette façon doit être à angle droit. Selon le type, Erdős a demandé tels que s'il y a infiniment beaucoup de paires de nombres puissants consécutifs (23³, 2³3²13²) dans lesquels ni l'un ni l'autre nombre dans les paires n'est à angle droit. Il est une conjecture d'Erdős, Mollin, et Walsh qu'il n'y a aucun trois nombres puissants consécutifs ; si la conjecture d'ABC de est vraie, elle suivrait qu'il y a seulement de façon finie beaucoup de triples de nombres puissants consécutifs.

Sommes et différences des nombres puissants

Tout nombre impair est une différence de deux places consécutives : 2 k + 1 = ( k + 1)² - k ². De même, n'importe quel multiple de quatre est une différence des places de deux nombres qui diffèrent par deux. Cependant, de un chiffre pair , c., un nombre séparément divisible par deux mais pas par quatre, ne peut pas être exprimé comme différence des places. Ceci motive la question de déterminer quels chiffres séparément pairs peuvent être exprimés comme différences des nombres puissants. Golomb a montré quelques représentations de ce type :

3³ ; &minus ; ; 5²
10 de

= 13³ ; &minus ; ; 3⁷
18 = 19² ; &minus ; ; 7³ = 3² (3³ ; &minus ; ; 5²).

On l'avait conjecturé que 6 ne peuvent pas être ainsi représenté, et Golomb a conjecturé qu'il y a infiniment beaucoup de nombres entiers qui ne peuvent pas être représentés comme différence entre deux nombres puissants. Cependant, Narkiewicz a prouvé que 6 peuvent être ainsi représenté infiniment de beaucoup de manières comme

5⁴7³ ; &minus ; ; 463²,

et McDaniel a prouvé que chaque nombre entier a infiniment beaucoup de telles représentations (McDaniel, 1982).

Erdő ; s a conjecturé que chaque nombre entier suffisamment grand est une somme de tout au plus trois nombres puissants ; ceci a été prouvé par le Roger Bruyère-Brown (1987).

Généralisation

Plus généralement, nous pouvons considérer tous les nombres entiers lesquels des facteurs principaux avoir le k d'exposants au moins. Un tel nombre entier s'appelle un k - nombre puissant, le k - nombre de ful, ou le k - plein nombre.

(2^{k +1} ; &minus ; ; 1)^k, ; ; 2^k (2^{k +1} ; &minus ; ; 1)^k, ; ; ; (2^{k +1} ; &minus ; ; 1)^{k +1}

sont le k - nombres puissants dans une progression arithmétique . D'ailleurs, si le un ₁, un ₂,…, un s de _{de sont le k - puissant dans une progression arithmétique avec le d de différence commune, puis}

un k , de ^{de ₁ ( un s de _de + d ) ; ; un ₂ ( un s de _{de ; + ; k}} de ^{du d ),…, un s ( de _{de un s} de _{de ; + ; k}} de ^{du d ), ( un s de _{de ; + ; k +1}} de d)

sont le s + 1 k - nombres puissants dans une progression arithmétique.

Nous avons une identité impliquer le k - nombres puissants :

un k ( de ^{de un l de ^de +… + 1)^k + un k de ^{de + 1} ( un l de ^de +… + 1)^k +… + un k de ^{de + l} ( un l de ^de +… + 1)^k = un k} ( de ^{de un l de ^de +… k +1} de +1)^.

Ceci donne infiniment beaucoup le l +1-tuples du k - nombres puissants dont la somme est également le k - puissant. Les expositions de Nitaj là sont infiniment beaucoup de solutions du X + y = z dans relativement la perfection 3 nombres puissants (Nitaj, 1995). Cohn construit un famille infini avec des solutions du X + y = z dans des nombres puissants du non-cube 3 relativement principaux comme suit : le triplet X DE

= 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

est une solution du X de l'équation 32 ³ + 49 le Y ³ = 81 le Z ³. Nous pouvons construire une autre solution en plaçant le &prime du X ; = X (49 Y ³&NBSP ; + ; 81 Z ³), &PRIME DU Y ; = &minus ; Y (32 X ³&NBSP ; + ; 81 Z ³), &PRIME DU Z ; = Z (32 X ³&NBSP ; &minus ; ; 49 Y ³) et omettant le diviseur commun.

Voir également

Nombre d'Achilles de

Random links: