Nombre irrationnel

Dans les mathématiques , un nombre irrationnel est tout vrai nombre qui n'est pas un nombre raisonnable - c., c'est un nombre qui ne peut pas être exprimé comme m / n de fraction, où le m et le n sont les nombres entiers , avec le n différent de zéro. Officieusement, ceci signifie les nombres qui ne peuvent pas être représentés en tant que fractions simples. Il peut déduire qu'elles ne peuvent pas également être représentées en tant que décimales de terminaison ou de répétition, mais l'idée est plus profonde que celle. Tandis qu'elle peut sembler étrange à la première audition, le presque tous les vrais nombres de sont irrationnel, dans une certaine mesure qui est défini plus avec précision ci-dessous. Peut-être les nombres irrationnels les plus bien connus sont le π et le $de \ scriptstyle \ racine carrée {2}$ .

Quand le rapport des longueurs deux de la ligne segments est irrationnel, la ligne segments sont également décrites en tant qu'étant le incommensurable de , signifiant ils ne partagent aucune mesure en commun. Une mesure de d'une ligne le de segment I dans ce sens est une ligne le J de segment qui " ; measures" ; Le I dans le sens qu'un certain nombre entier des copies du J a étendu bout à bout occupent la même longueur que le I .

Histoire

La première preuve de l'existence des nombres irrationnels est habituellement attribuée au Hippasus de Metapontum , un pythagorien qui les a probablement découverts tout en identifiant des côtés du Pentagram . Cependant le Pythagore a cru en réalité des nombres, et n'a pas pu accepter l'existence des nombres irrationnels. Il ne pourrait pas réfuter leur existence par la logique, mais sa croyance n'accepterait pas l'existence des nombres irrationnels et ainsi, car la légende l'a eue, il a fait noyer Hippasus. Le Theodorus de Cyrene a prouvé l'irrationality des surds des nombres entiers jusqu'à 17, mais s'est arrêté probablement là parce que l'algèbre qu'il a employée ne pourrait pas être appliquée à la racine carrée de 17. Il n'était pas jusqu'à ce que le Eudoxus a développé une théorie de rapports irrationnels qu'une base mathématique forte des nombres irrationnels a été créée. le livre 10 des éléments d'Euclid de est consacré à la classification des grandeurs irrationnelles.

Le seizième siècle a vu l'acceptation du négatif, du intégral et des nombres partiels du . Le dix-septième siècle a vu les fractions décimales avec la notation moderne tout à fait généralement employée par des mathématiciens. Les cent années à venir ont vu des nombres imaginaires devenir un outil puissant dans les mains du Abraham de Moivre , et particulièrement du Leonhard Euler . Pour le 19ème siècle il est resté pour accomplir la théorie des nombres complexes pour séparer des irrationals dans algébrique et transcendantal, prouver l'existence des nombres transcendantaux et effectuer une étude scientifique d'un sujet ce qui a eu sont restés presque dormantes depuis le Euclid , la théorie d'irrationals. L'année 1872 a vu la publication des théories de Karl Weierstrass (par son Kossak de pupille), Heine Crelle , 74), le chantre (Annalen (de de Georg de , 5), et Richard Dedekind . Le Méray avait rentré 1869 le même point de départ que le Heine , mais la théorie est généralement mentionnée l'année 1872. La méthode de Weierstrass a été complètement déterminée par le Salvatore Pincherle en 1880, et Dedekind a reçu la proéminence additionnelle par le travail postérieur de l'auteur (1888) et l'approbation récente par la tannerie (1894) de Paul de . Base de Weierstrass, de chantre, et de Heine leurs théories sur des séries infinies, alors que Dedekind fonde le sien sur l'idée d'une coupe de (Schnitt) dans le système des vrais nombres séparant tous les nombres raisonnables dans deux groupes ayant certaines propriétés caractéristiques. Le sujet a reçu des contributions postérieures aux mains de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), et de Méray.

Les fractions continues ont étroitement lié aux nombres irrationnels (et en raison de Cataldi, 1613), attention suscitée aux mains du Euler , et à l'ouverture du 19ème siècle ont été introduits dans la proéminence par les écritures du Lagrange . Dirichlet s'est également ajouté à la théorie générale, comme ont de nombreux contribuants aux applications du sujet.

Le Lambert a prouvé (1761) ce &pi ; ne peut pas être raisonnable, et ce n de ^{du e est irrationnel si le n est raisonnable (à moins que n = 0). Tandis qu'on dit que souvent la preuve de Lambert est inachevée, les évaluations modernes la soutiennent comme satisfaisante, et en fait pendant son temps exceptionnellement rigoureux. Legendre (1794), après présentation de la fonction de Bessel-Clifford de , si une preuve pour montrer ce &pi ; ² est irrationnel, d'où il suit immédiatement ce &pi ; est irrationnel également. L'existence des nombres transcendantaux a été établie la première fois par Liouville (1844, 1851). Plus tard, Georg que le chantre (1873) a prouvé leur existence par une méthode différente, celle a prouvé que chaque intervalle dans les reals contient des nombres transcendantaux. Premiers de Charles Hermite 1873) (ont prouvé $e$ transcendantal, et le Ferdinand von Lindemann (1882), à partir des conclusions de Hermite, a montré la même chose pour le π. La preuve de Lindemann a été beaucoup simplifiée par Weierstrass (1885), encore plus par le David Hilbert (1893), et a été finalement rendue élémentaire par le Adolf Hurwitz et le Paul Albert Gordan .}

Preuves d'exemple

La racine carrée de 2

Une preuve de l'irrationality de la racine carrée de de 2 est l'absurdum d'annonce de Reductio suivant . La proposition est prouvée en assumant le contraire et en prouvant que faire mène ainsi à une contradiction (par conséquent la proposition doit être vraie).

supposent que le $\ scriptstyle \ racine carrée {2}$ est un nombre raisonnable. Cette prétention implique que là existent le m de nombres entiers et le n avec le ≠ 0 du n tels que le m / n

de = de √2. Alors √2 peut également être écrit pendant qu'un irréductible m / n de la fraction (la fraction se raccourcit autant que possible). Ceci signifie que le m et le n sont des nombres entiers copremiers du , c., ils n'ont aucun facteur commun plus considérablement que 1.

Du m / n = √2 il découle ce m = n √2, et ainsi m ² = ( n √2)² = 2 n ².

Ainsi le m ² est un chiffre pair, parce qu'il est égal 2 au n ², qui est égal.

Il suit que le m lui-même est même ( puisque seulement les chiffres pairs ont même les places ).

Puisque le m est égal, là existe un satisfying m du k de nombre entier = 2 le k .

Nous pouvons donc substituer 2 le k au m dans la dernière équation de (3), obtenant de ce fait l'équation (2 k ) ² = 2 le n ², qui est équivalent 4 au k ² = 2 le n ² et peut être simplifié 2 au k ² = n ².

Puisque 2 le k ² est égal, il suit maintenant que le n ² est également égal, ainsi il signifie que le n est même (rappel que seulement les chiffres pairs ont même des places).

Puis, par (5) et (8), le m et le n sont deux même, dans lesquels contredit la propriété indiquée (2) que le m / n est irréductible.

Puisque nous avons trouvé une contradiction, la prétention initiale (1) que √2 est un nombre raisonnable est fausse ; c'est-à-dire, √2 est irrationnel.

Cette preuve peut être généralisée pour prouver que n'importe quelle racine de tout nombre normal est un nombre normal ou irrationnelle.

Une autre preuve

L'argument suivant de l'absurdum d'annonce de Reductio montrant l'irrationality de √2 est moins bien connu. Il emploie les informations supplémentaires √2 > 1. Supposer que √2 est un nombre raisonnable. Ceci signifierait que là existent le m de nombres entiers et le n avec le ≠ 0 du n tels que le m / n

de = de √2. Alors √2 peut également être écrit comme irréductible m / n de fraction avec des nombres entiers positifs du , parce que √2 > 0.

Puis

carré {2} = \ frac {\ racine carré {2} \ cdot n (\ racine carrée {2} - 1)}{n (\ racine carrée {2} - 1)} = \ = du frac {2n- \ racine carrée {2} n} n-n {\ racine carrée {2}} \ frac {2n-m} {manganèse}

, parce que

\ racine carrée {2} n=m

Depuis √2 > 1, il suit ce m > n , qui implique alternativement ce m > 2 le n - le m .

Ainsi le m / n de fraction pour √2, qui selon (2) est déjà en plus bas termes , est représenté par (3) dans strictement nomme plus bas. C'est une contradiction, ainsi la prétention que √2 est raisonnable doit être faux.

De même, assumer une bonne triangle isocèle dont jambe et la hypoténuse ont le respectif n de longueurs de nombre entier et le m . Par le théorème pythagorien , le m / n de rapport égale √2. Il est possible de construire par une construction classique de boussole et de règle une plus petite bonne triangle isocèle dont jambe et la hypoténuse ont le respectif du m de longueurs ; &minus ; ; n et 2 du n ; &minus ; ; m . Cette construction prouve l'irrationality de √2 par le genre de méthode qui a été utilisée par des géomètres du grec ancien.

La racine carrée de 10 et là-bas

Si le

\ racine carrée {10}

est un raisonnable, dire le m/n , puis le m ² = 10 le n ². Cependant, dans la notation décimale, chaque place finit dans un chiffre pair des zéros. Tellement puis le m ² et 10 n ² de dans la décimale doit finir dans respectivement même et le nombre impair des zéros, une contradiction.

Plus généralement, dans tout r qui n'est pas lui-même à angle droit, extrémités de base de chaque place dans chiffres pairs des zéros, d'où style=" √ de >10_{dans le r de base est irrationnel, c., style=" √ le r est irrationnel. Il suit que les seuls nombres entiers avec les racines carrées raisonnables sont à angle droit. À titre d'exemple, 2 n'est pas à angle droit, et 2 dans la binaire est 10₂. (Noter la convention des numéros nondecimal d'indiçage avec leur radix, pour éviter l'ambiguïté. En tant qu'élément de cette convention on comprend que sont dans la décimale, pas subscripted les indices inférieurs.)}

Pour disparaître encore autres, nous pouvons considérer le k de ^{du m} = k de ^{du r*n de pour n'importe quel r de nombres entiers et k . Si le $r \ Ne u^k$ pour n'importe quel u , alors le r de nombre entier a au moins un p de facteur principal augmenté à un exposant qui n'est pas divisible par le k . Comme tous les exposants dans la factorisation de perfection de du m^k sont divisibles par le k , pour que l'équation se tienne, la factorisation principale du n ^k doivent contenir le p augmenté à une puissance qui n'est également pas divisible par le k . Mais c'est clairement impossible. Ainsi, pour n'importe quel r de nombres entiers et k , le $\ racine carrée {r}$ est irrationnel si le $r \ Ne u^k$ pour n'importe quel u de nombre entier. Ce résultat suit également du fait que le relèvement d'un nombre raisonnable non intégrant à une puissance intégrale peut ne jamais égaler un nombre entier sans compter que 1.}

Le rapport d'or

Quand une ligne segment est divisée en deux disjoindre les sous-segments de telle manière que le rapport du tout à la partie plus longue égale le rapport de la partie plus longue à la partie plus courte, alors ce rapport soit le rapport d'or , égalent à

$\ varphi= {1+ \ racine carré {5} \ plus de 2}.$

Supposer que c'est un n / m de nombre raisonnable en plus bas termes. Prendre le n pour être la longueur du tout et du m la longueur de la cloison plus longue. Puis le n > m , et la longueur de la partie plus courte est du n ; − ; m . Alors nous avons $de {n \ au-dessus de m} = {\ mathrm {entier} \ au-dessus de \ plus long} \ de mathrm {\ mathrm {partie}}$

{\ mathrm {plus long} \ \ mathrm {} de partie \ au-dessus de \ \ {plus court} de mathrm \ mathrm {partie}}

{m \ au-dessus de nanomètre}.

Cependant, ceci met une fraction déjà en plus bas termes dans le &mdash inférieur des limites de ; une contradiction. Par conséquent la prétention initiale, celle le rapport d'or est raisonnable, est fausse.

Logarithmes

Peut-être les nombres le plus facilement avérés être irrationnels sont sûrs que les logarithmes ici soit une preuve par l'absurdum d'annonce de Reductio que log₂3 est irrationnel :
Supposer que log₂3 est raisonnable. Pour un certain positif m de nombres entiers et un n , nous prenons log₂3 = m / n .
Il suit ce 2^{m / n} = 3.
Soulever chaque côté à la puissance du n , le m de la trouvaille 2 = 3^{le n}.
Mais 2 à n'importe quelle puissance plus considérablement que 0 de nombre entier est même (parce qu'au moins un de ses facteurs principaux est 2) et 3 à n'importe quelle puissance de nombre entier plus considérablement que 0 est impair (parce qu'aucun de ses facteurs principaux n'est 2), ainsi la prétention originale est faux.

Des caisses telles que log₁₀2 peuvent être traitées pareillement.

Irrationals transcendantaux et algébriques

Le presque tous les nombres irrationnels de sont transcendantal et tous les nombres transcendantaux sont irrationnels : l'article sur des nombres transcendantaux énumère plusieurs exemples. le r de ^{du e et le r} de π^{sont irrationnels si le ≠ 0 du r est raisonnable ; le e ^π est également irrationnel. Une autre manière de construire des nombres irrationnels est en tant que nombres algébriques irrationnel c. comme zéros de polynômes avec des coefficients de nombre entier : commencer par un polynôme p ( X ) de d'équation = le a_n xⁿ + un n de ^{du X du n -1 de _{de −1}} +… + un X de ₁ + un ₀ = 0 là où le de coefficients un i de _{de sont des nombres entiers. Supposer que vous savez que là existe un certain de vrai nombre X avec le p ( X ) = 0 (par exemple si le n est impair et le un n} de _{de est différent de zéro, puis en raison du théorème de valeur intermédiaire ). Les seules racines raisonnables possibles de cette équation polynôme sont du r / s de forme où le r est un diviseur par ₀ et le s est un diviseur de un n} de _{de ; il y a seulement de façon finie beaucoup de tels candidats que vous pouvez tous vérifier à la main. Si ni l'un ni l'autre de eux n'est une racine du p , alors le X doit être irrationnel. Par exemple, cette technique peut être employée pour prouver que le X = (2^1/2 + 1)^1/3 est irrationnel : nous avons (− de X ³ 1)² = 2 et par conséquent − 1 = 0 du X ³ du − 2 du X ⁶, et ce dernier polynôme n'a aucune racine raisonnable (les seuls candidats à vérifier ont ±1) ans.}
Puisque les nombres algébriques forment un champ , beaucoup de nombres irrationnels peuvent être construits en combinant des nombres transcendantaux et algébriques. Par exemple 3π+2, style=" de π + de √2 et style=" de √3 sont irrationnels (et même transcendantaux).

Expansions décimales
L'expansion décimale d'un nombre irrationnel des répétitions jamais ou se termine, à la différence d'un nombre raisonnable. Pour montrer ceci, supposer que nous divisons le n de nombres entiers par le m (où le m est différent de zéro). Quand la longue division est appliquée à la division du n par le m , seulement les restes du m sont possibles. Si 0 apparaît comme reste, l'expansion décimale se termine. Si 0 ne se produit jamais, alors l'algorithme peut courir tout au plus des étapes du − 1 du m sans employer n'importe quel reste plus d'une fois. Après ce, un reste doit se reproduire, et puis les répétitions décimales d'expansion !
Réciproquement, supposer que nous sommes confrontés à une décimale de reproduction , nous pouvons montrer que c'est une fraction de deux nombres entiers. Par exemple :
$A=0.7 \, 162 \, 162 \, 162 \, \ dots$
Ici la longueur du repitend est 3. Nous nous multiplions par 10³ :
$1000A=7 \, 16.2 \, 162 \, 162 \, \ dots$
Noter que puisque nous nous sommes multipliés par 10 à la puissance de la longueur de la partie de répétition, nous avons décalé les chiffres à la gauche de la virgule décimale par exactement celui beaucoup de positions. Par conséquent, la fin de queue de 1000A assortit la fin de queue d'A exactement. Ici, les deux 1000A et A ont répéter le 162 à l'extrémité.
Par conséquent, quand nous soustrayons A des deux côtés, la fin de queue des annulations 1000A hors de la fin de queue d'A :
$999A=715.$
Puis = de $A= \ frac de 999} {715.5} {\ frac {7155} {9990} = \ = du frac {135 \ périodes 53} {135 \ périodes 74} \ frac {53} {74},$
ce qui est un quotient des nombres entiers et donc d'un nombre raisonnable.

Divers
On lui a montré que là existe de deux nombres irrationnels un et b , tels que le un b} de ^{de est raisonnable. Voici un exemple : Si √2^√2 est raisonnable, alors prendre le = b = √2. Autrement, prendre à un pour être le nombre irrationnel √2^√2 et le b = √2. Puis un b de ^de = √2^{√2^√2} = √2^{√2· ; √2} = √2² = 2 qui est raisonnable.

Questions ouvertes
On ne le connaît pas si le π + e ou e de − de π est irrationnel ou pas. En fait, il n'y a aucune paire de différent de zéro m de nombres entiers et de n pour laquelle on le connaît, que le π du m + le Ne de soit irrationnel ou pas. D'ailleurs, on ne le connaît pas si l'ensemble {π, e } est le algébriquement indépendant au-dessus du Q . On ne le connaît pas si 2^{le e}, le e de π^{, π^{&radic ; 2}, constants du catalan de , ou le γ constant du gamma d'Euler-Mascheroni de sont irrationnels.}

L'ensemble de tous les irrationals
Depuis les reals former un incomptable placer dont les nombres rationnels sont un sous-ensemble comptable du , l'ensemble complémentaire de les irrationals est incomptable. Sous ( euclidien) le habituel d ( X , de fonction de distance ; y ) = | du X ; &minus ; ; y |, les vrais nombres sont un espace métrique et par conséquent aussi un espace topologique . La restriction de la fonction de distance euclidienne donne aux irrationals la structure d'un espace métrique. Puisque le sous-espace des irrationals n'est pas fermé, le métrique induit n'est pas le complet. Cependant, étant un réglé pardelta -- c., une intersection comptable des sous-ensembles ouverts -- dans un espace métrique complet, l'espace des irrationals est le topologiquement complet : c'est-à-dire, il y a un métrique sur les irrationals induisant la même topologie que la restriction du métrique euclidien, mais en ce qui concerne ce que les irrationals sont complets. On peut voir ceci sans savoir le fait mentionné ci-dessus sur des ensembles de G-delta : l'expansion de la fraction continue d'un nombre irrationnel définit une homéomorphie de l'espace des irrationals à l'espace de tous les ordres des nombres entiers positifs, qui est facilement vu pour être complètement metrizable.
En outre, l'ensemble de tous les irrationals est un espace métrique disconnected.

Voir également

Coupe de Dedekind de
Preuve de qu'e est irrationnel
Preuve de qui &pi ; est irrationnel
racine de Th du '' n ''
Racine carrée de de 3 .
Random links: François Joseph Paul de Grasse | USS Long Beach | Ventes d'autobiographie et de positions de diagramme | Steppenwolf Theatre Company | Aethiopica de Zantedeschia | Número_irracional}