Nombre imaginaire

Dans les mathématiques , un nombre imaginaire (ou nombre purement imaginaire ) est un le nombre que complexe dont le a ajusté la valeur de est un vrai nombre pas plus considérablement que zéro de . L'unité imaginaire , dénotée par $i \,$ ou, de $j \,$ est un exemple d'un nombre imaginaire. Si le y est un vrai nombre, puis le i • le y est également un nombre imaginaire, de because : $de (I \ cdot y)^2 = i^2 \ cdot y^2 = - y^2 \ le 0. \,$

Des nombres imaginaires ont été définis en 1572 par le Rafaël Bombelli . Lorsque, on a pensé de tels nombres pour ne pas exister, beaucoup comme zéro et nombres négatifs ont été considérés par certains comme factice ou inutile. Beaucoup d'autres mathématiciens étaient lents pour croire en nombres imaginaires au début, y compris le Descartes qui a écrit au sujet de eux dans son de Géométrie de La de de , où la limite a été censée pour être dérogatoire.

Bien que Descartes eût l'habitude à l'origine le de nombre imaginaire de la limite pour vouloir dire ce qui est actuellement signifié par le de nombre complexe de la limite , le de nombre imaginaire de la limite signifie aujourd'hui habituellement un nombre complexe avec une partie réelle égale à 0, c., un certain nombre d'i de la forme • y . Le zéro (0) est le seul nombre qui est vrai et imaginaire.

Interprétation géométrique

Géométriquement, des nombres imaginaires sont trouvés sur l'axe vertical de l'avion de nombre complexe, leur permettant d'être présenté orthogonal au vrai axe. L'one-way des nombres imaginaires de visionnement est de considérer une ligne de nombre standard , grimpant franchement dans la grandeur jusqu'à la droite, et grimpant négativement dans la grandeur jusqu'à la gauche. À

0

sur ce

x

-axis, dessiner un

y

-axis avec le " ; positive" ; direction montant ; " ; positive" ; " de nombres imaginaires puis ; increase" ; dans la grandeur vers le haut, et le " ; negative" ; " de nombres imaginaires ; decrease" ; dans la grandeur en bas. Cet axe vertical s'appelle souvent le " ; axis" imaginaire ; et est le

i \ mathbb {R}

, le

\ mathbb {I}, le

ou simplement le dénoté Im .

Dans cette représentation, la multiplication par $-1$ correspond à une rotation des degrés de $180$ au sujet de l'origine. La multiplication par le i correspond à une rotation de $90$ -degree dans le " ; positive" ; la direction (c. dans le sens contraire des aiguilles d'une montre), et l'équation $i^2 = -1$ est interprétée comme disant que si nous appliquons des rotations de $2$ $90$ -degree au sujet de l'origine, le résultat net est une rotation simple de $180$ -degree. Noter qu'une rotation de $90$ -degree dans le " ; negative" ; la direction (c. dans le sens des aiguilles d'une montre) satisfait également cette interprétation. Ceci reflète le fait que $-i$ résout également l'équation &mdash de $x^2 = de -1$ ; voir l'unité imaginaire .

Applications des nombres imaginaires

Pour la plupart des tâches humaines, les vrais nombres (ou même les nombres raisonnables) offrent à description proportionnée des données. Les fractions telles que le ⅔ et le ⅛ sont sans signification à une personne comptant des pierres, mais essentielles à une personne comparant les tailles de différentes collections de pierres. Les nombres négatifs tels que $-3$ et $-5$ sont sans signification en pesant la masse d'un objet, mais essentiel quand maintenir des débits monétaires de et crédite le de : >>> (5+2j) * (8+5j) (30+41j)

Le des exemples de Matlab :

>> (5+2j) * (8+5j) american national standard = 30.0000i >> (5+i*2) * (8+5j) american national standard = 30.0000i >>

Histoire

Le Descartes était le premier pour employer nombre le « imaginaire » de terme en 1637. Cependant, des nombres imaginaires ont été découverts beaucoup plus tôt par le Gerolamo Cardano dans les 1500s mais ils n'ont pas été largement acceptés jusqu'au travail du Leonhard Euler (1707&ndash ; 1783) et Carl Friedrich Gauss (1777&ndash ; 1855).

Voir également

Unité imaginaire
Quaternion
Octonion

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