Nombre entier

le de cet article discute le concept des nombres entiers dans les mathématiques. Pour la limite dans de l'informatique voir le nombre entier (de l'informatique).

Les nombres entiers (du latin de nombre entier , qui signifie avec l'intégrité intacte, entier, entier) sont l'ensemble de nombres comprenant les nombres entiers ( 0 , 1 , 2 , 3 ,…) et leurs négatifs (0, &minus de de ; 1 , &minus ; 2, &minus ; 3,…). En termes non-mathématiques, ils sont des nombres qui peuvent être écrits sans composant partiel ou décimal, et chute dans l'ensemble {… &minus ; 2, &minus ; 1, 0, 1, 2,…}. Par exemple, 65, 7, et &minus ; 756 sont des nombres entiers ; 1.6 et 1 ½ ne sont pas des nombres entiers.

Plus formellement, les nombres entiers sont le domaine intégral de seul dont les éléments positifs sont le Well-ordered, et dans quel ordre est préservé par l'addition . Comme les nombres normaux, les nombres entiers forment un ensemble comptable infini du . Le réglé de tous les nombres entiers est souvent dénoté par un en caractères gras Z (ou le de tableau noir \ mathbb {Z} , le "BOLD" Unicode U+2124), qui représente le de Zahlen (le allemand pour numérote le ).

Dans la théorie de nombre algébrique de , ceux-ci ont généralement compris des nombres entiers, inclus dans le domaine des nombres raisonnables de que désigné sous le nom des nombres entiers raisonnables pour les distinguer des nombres entiers algébriques plus largement définis

Propriétés algébriques

Comme les nombres normaux, le Z est clôturé sous les opérations de l'addition et la multiplication , c., la somme et le produit de de deux nombres entiers quelconques est un nombre entier. Cependant, avec l'inclusion des nombres normaux négatifs, et, d'une manière primordiale, le zéro, le Z (à la différence des nombres normaux) est également fermé sous la soustraction . Le Z n'est pas fermé sous l'opération de la division , depuis le quotient de deux nombres entiers (le par exemple , 1 divisé par 2), n'a pas besoin d'être un nombre entier.

Les listes suivantes certaines des propriétés de base de l'addition et de la multiplication pour tout de nombres entiers un , b et c .

propriétés Ordre-théorétiques

Le Z est un ensemble totalement commandé sans limite supérieure ou inférieure. La commande du Z est donnée par le … < &minus ; 2 < &minus ; 1 < 0 < 1 < 2 <… Un nombre entier est le positif s'il est plus grand que zéro et le négatif s'il est moins de zéro. Zéro n'est défini en tant que ni le négatif ni positif.

La commande des nombres entiers est compatible avec les opérations algébriques de la façon suivante : si < b et c < d , puis + c < b +

  • du d si < b et 0 < c , puis C. de < avant Jésus Christ . (De ce fait, on peut montrer cela si le avant Jésus Christ à C.)

    Il suit que le Z ainsi que la commande ci-dessus est un anneau commandé par .

    Construction

    Les nombres entiers peuvent être construits des nombres normaux en définissant les classes d'équivalence en des paires de de × du N de nombres normaux N sous une relation d'équivalence , " de ; ~" ; , où de (a, b) \ sim (c, d) \, \ ! avec précision quand a+d = b+c. \, \ !

    Prenant 0 pour être un nombre normal, les nombres normaux peuvent être considérés des nombres entiers par le enfonçant au lequel trace le n , où dénote la classe d'équivalence ayant ( un , b ) en tant que membre.

    L'addition et la multiplication des nombres entiers sont définies comme suit :
    + de
    : =. \, \ cdot : =. \, On le vérifie facilement que le résultat est indépendant du choix des représentants des classes d'équivalence.

    Typiquement, est dénoté par le de \ commence {des cas} n, et \ mbox {si} a \ \ de la GE b \ - n, et \ mbox {si} a <, de b \ extrémité {cas} là où n de = |a-b|. \, Si les nombres normaux sont identifiés avec les nombres entiers correspondants (using l'encastrement mentionné ci-dessus), cette convention ne crée aucune ambiguïté.

    Cette notation récupère la représentation familière des nombres entiers comme {…, −3, −2, −1,0,1,2,3,…}.

    Quelques exemples sont : le de \ commencent {aligner} 0 &= de &= de &= \ cdots et \ de &= \ 1 &= de &= de &= \ cdots et \ de &= \ -1 &= de &= de &= \ cdots et \ de &= \ &= de &= de 2 &= \ cdots et \ de &= \ -2 &= \ cdots et &= de &= de &= \ extrémité {aligner}

    Nombres entiers dans le calcul

    voient également :

    du nombre entier (de l'informatique)

    Un nombre entier (parfois connu sous le nom de " ; int" ; , du nom d'un datatype dans le langage de programmation du C ) est souvent un primitif Datatype dans les langages de programmation cependant, des datatypes de nombre entier peut seulement représenter un sous-ensemble de tous les nombres entiers, puisque les ordinateurs pratiques sont de la capacité finie. En outre, dans la représentation commune du complément du deux, la définition inhérente du signe distingue le " ; negative" ; et " ; non-negative" ; plutôt que le " ; négatif, positif, et 0" ;. (Il est, cependant, certainement possible que un ordinateur détermine si une valeur de nombre entier est vraiment positive.)

    Les représentations de longueur variable des nombres entiers, tels que le Bignums peuvent stocker n'importe quel nombre entier qui s'adapte dans la mémoire d'ordinateur. D'autres datatypes de nombre entier sont mis en application avec un à taille fixe, habituellement un certain nombre de peu qui est une puissance de 2 (4, 8, 16, etc. ) ou un nombre mémorable de chiffres décimaux ( par exemple , 9 ou 10).

    En revanche, les modèles théoriques des calculateurs numériques De tel que les machines de Turing de typiquement n'ont pas fini illimité) la capacité infinie (mais seulement .

    Cardinalité

    La cardinalité de l'ensemble de nombres entiers est égale au \ aleph_0. Ceci est aisément démontré par la construction d'un Bijection , c., une fonction qui est le injectif et le surjectif du \ du mathbb {Z} au \ au mathbb {N} . Considérer le de de fonction \ commencer {des cas} 2x+1, et \ mbox {si} x \ \ de la GE 0 \ 2|X|, et \ mbox {si} x<0 \ extrémité {cas} . Si le domaine est limité au \ au mathbb {Z} puis chaque membre du \ du mathbb {Z} a un et seulement un membre correspondant de \ de mathbb {N} et par la définition de l'égalité cardinale les deux ensembles ont la cardinalité égale.
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