Nombre de Stirling

Dans les mathématiques , les nombres de Stirling de surgissent dans une série de problèmes de la combinatoire . Ils sont baptisés du nom du James Stirling , qui les a présentés en XVIIIème siècle. Deux ensembles de nombres différents portent ce nom : les nombres de Stirling de de premier aimable et les nombres de Stirling de de deuxième aimable.

Notation

Plusieurs différentes notations pour les nombres de Stirling sont en service. Des nombres de Stirling de la première sorte sont écrits avec un petit s , et ceux de la deuxième sorte avec un grand S (le Abramowitz et Stegun emploient un S majuscule et un Blackletter S respectivement).

$n \ \ k \ extrémité {} de matrice \ right.$ $S de (n, k)= S_n^ {(k)} = \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de n \ k \ extrémité {matrice} \ droit \}.$

La notation d'employer des parenthèses et des croisillons, dans l'analogie aux coefficients binomiaux , a été présentée dans le 1935 par le Jovan Karamata et plus tard favorisée par le Donald Knuth ; elle désigné sous le nom de la notation de Karamata de . La motivation mathématique pour ce type de notation, comme des formules additionnelles de nombre de Stirling, peut être trouvée à la page pour les nombres et les fonctions se produisantes exponentielles de Stirling de .

Nombres de Stirling de la première sorte

Nombres non signés de Stirling de du premier aimable

$|s (n, k)|\,$

(avec un " minuscule ; " du s ;) compter le nombre de permutations de que des éléments du n avec le k disjoignent les cycles

Les nombres de Stirling de du premier aimable (sans non signé d'adjectif de qualification) sont les coefficients dans l'expansion _ du $de (x) {(n)} = \ ^n s (n du sum_ {k=1}, k) x^k.$

là où le _ du $(x) {(n)}$ est le factoriel en baisse =x de _ du $de (x) {(n)} (x-1) (x-2) \ cdots (x-n+1).$ le

voient les nombres principaux de Stirling de d'article du premier aimable pour des informations supplémentaires.

Nombres de Stirling de la deuxième sorte

Nombres de Stirling de du deuxième

S aimable de (n, k)

(avec un " capital ; " du S ;) compter le nombre de manières de diviser un ensemble d'éléments du n dans les sous-ensembles non vides du k . La somme

B_n= de  \ ^n S (n, k)

du sum_ {k=1}

est le nombre de Bell De de Th du n . Si nous laissions _n=x du $de (x) (x-1) (x-2) \ cdots (x-n+1)$

(en particulier, ( X ) ₀ = 1 parce que c'est un produit vide ) être le factoriel en baisse, nous peut caractériser les nombres de Stirling de la deuxième sorte près $de \ ^n S (n du sum_ {k=0}, k) (x) _k=x^n.$

(Embrouillant, la notation que l'utilisation de combinatorialists pour des factorials en baisse du coïncide avec la notation a employé dans les fonctions spéciales pour des factorials en hausse du ; voir le symbole de Pochhammer de .) le

voient les nombres principaux de Stirling de d'article du deuxième aimable pour des informations supplémentaires.

Rapports d'inversion

Les nombres de Stirling de la première et deuxième sorte peuvent être considérés des inverses d'un-un autre :

de  \ ^ du sum_ {n=0} {\ maximum \ {j, k \}} \ \ laissé de n \ j \ extrémité {matrice} \ droit \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de k \ n \ extrémité {matrice} \ droit \}

\ delta_ {jk}

et $de \ ^ du sum_ {n=0} {\ maximum \ {j, k \}} \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de n \ j \ extrémité {matrice} \ droit \} \ \ laissé de k \ n \ extrémité {matrice} \$

droit \ delta_ {jk}

là où le $\ delta_ {jk}$ est le delta de Kronecker de . On peut comprendre que ces deux rapports sont des inverses de matrice. C'est-à-dire, laisser $s$ être la matrice triangulaire inférieure des nombres de Stirling de la première sorte, de sorte qu'elle ait des éléments de matrice

$_ {nk} =s (n, k)= \ est parti n \ \ k \ extrémité {} de matrice \ right$

Puis, le inverse de cette matrice est $S$ , la matrice triangulaire inférieure des nombres de Stirling de la deuxième sorte. Symboliquement, on écrit $s^ de {- 1} = S$

là où les éléments de matrice de $S$ sont =S de $_ de {nk} (n, k)= \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de n \ k \ extrémité {matrice} \ droit \}.$

Noter cela bien que $s$ et $S$ soient infinis, ceci travaille pour les matrices finies à côté de considérer seulement des nombres de Stirling jusqu'à un certain nombre $N$ .

Formules symétriques

Abramowitz et Stegun donnent les formules symétriques suivantes qui rapportent les nombres de Stirling de la première et deuxième sorte. le $= \ ^ du sum_ {j=0} {n-k} (- ^j de 1) {n-1+j \ choisissent n-k+j} {2n-k \ choisissent le n-k-j} \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de n-k+j \ j \ extrémité {matrice} \ droits \}$

et $de \ parti \ {\ commencer {matrice} \ de n \ k \ extrémité {matrice} \ droit \} = \ ^ du sum_ {j=0} {n-k} (- ^j de 1) {n-1+j \ choisissent n-k+j} {2n-k \ choisissent le n-k-j} \ a laissé \ de n-k+j \ j \ extrémité {matrice} \ droit.$

Voir également le polynôme Stirling de
de l'ordre
de de
du symbole
de Pochhammer de de
du nombre
de Lah de de
de cycles de de
des polynômes
de Bell de de

et de points fixes transforment les polynômes de Touchard de de

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