Nombre de Pisot-Vijayaraghavan

Dans les mathématiques , un nombre de Pisot-Vijayaraghavan de , également appelé simplement un nombre de Pisot de ou un nombre de picovolte de , est un &alpha algébrique du nombre entier ; ce qui est vrai et dépasse 1, mais tels que ses éléments conjugués sont tous plus moins de 1 en valeur absolue .

Par exemple, si &alpha ; est un irrationnel que quadratique là est seulement un autre conjugé : &alpha ; &prime ; , obtenu en changeant le signe de la racine carrée dans le &alpha ; ; de $\ alpha = a + b \ racine carrée d$ de

avec le un et le b les deux nombres entiers, ou dans d'autres cas les deux moitié par nombre entier impair, nous obtenons $\ alpha = a de - b \ racine carrée d$

Les conditions sont alors $\ alpha > 1$ de

et < de $-1 \ alpha'< 1.$

Cette condition est satisfaite par le &phi d'or du rapport ;. Nous avons = de $\ varphi de \ frac {1 + \ racine carrée 5} {2} > 1$

$\ varphi = \ frac {1 - \ racine carrée 5} 2 = \ frac {- 1} \ varphi.$

La condition générale a été étudiée par le G. robuste en relation avec un problème de l'approximation diophantine . Ce travail a été continué par le Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955), un mathématicien indien de la région de Madras qui est venue à Oxford pour fonctionner avec robuste au milieu des années 20. La même condition se produit également dans quelques problèmes sur les séries de Fourier De , et plus tard a été étudiée par le Charles Pisot . Le nom maintenant utilisé généralement vient de tous les deux ces auteurs.

Des nombres de Pisot-Vijayaraghavan peuvent être employés pour produire des nombres entiers presque que la puissance de Th du n d'un nombre de Pisot approche des nombres entiers pendant que le n approche l'infini. Par exemple, considérer les puissances du $\ phi$ , tel que le $\ phi^ {21} = 24476. L'effet peut être bien plus prononcé pour des nombres de Pisot-Vijayaraghavan produits des équations d'un degré plus élevé. Cette propriété provient du fait qui pour chaque n , la somme de puissances de Th du n d'un algébrique X de nombre entier et ses conjugés est exactement un nombre entier ; quand le X est un nombre de Pisot, les nième puissances des conjugés (d'autre) tendent à 0 pendant que n tend à l'infini. Le plus bas nombre de Pisot-Vijayaraghavan est la vraie solution unique de x^3 - x - 1, connu sous le nom de nombre en plastique (approximativement 1.$

Bas accumulation point de ensemble de Pisot-Vijayaraghavan nombre est d'or rapport $\ varphi = \ frac {1 + \ racine carrée 5} {2} \ approximativement 1. L'ensemble de tous les nombres de Pisot-Vijayaraghavan est nulle part dense parce que c'est un ensemble fermé et comptable.$

Tableau des nombres de Pisot

Voici les 38 nombres de Pisot plus moins de 1.618, dans l'ordre croissant.

Voir également

Nombre de Salem de

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