Nombre de P-adic

Dans les mathématiques , le p de - les systèmes de numération adic ont été décrits la première fois par le Kurt Hensel en 1897. Pour chaque p , le p du nombre premier - le système de numération adic prolonge le ordinaire arithmétique des nombres raisonnables d'une manière différente de la prolongation du système de numération raisonnable au de vrais systèmes de numération complexes de et . L'utilisation principale de ces autres systèmes est dans la théorie des nombres .

La prolongation est réalisée par une interprétation alternative du concept de la valeur absolue . Le p - des nombres adic ont été motivés principalement par une tentative d'introduire les idées et les techniques des méthodes de la série entière dans la théorie des nombres. Leur influence se prolonge maintenant bien au-delà de ceci. Par exemple, le champ du '' p '' - l'analyse adic fournit essentiellement une forme alternative du calcul .

Plus formellement, pour un principal donné p , le p de _{du Q du champ du p - les nombres adic est un accomplissement des nombres raisonnables que le p} de _{du Q de champ est également donné une topologie a dérivé d'un métrique, qui lui-même est dérivé d'une évaluation alternative sur les nombres raisonnables. Cet espace métrique est le complet dans le sens que chaque ordre de Cauchy converge. C'est ce qui permet le développement du calcul sur le p} de _{du Q , et c'est l'interaction de cette structure analytique et algébrique qui donne le p - systèmes de numération adic leur puissance et utilité.}

Le p dans le p - adic est une variable factice de . La théorie d'articles avancée par en nombre parlent souvent du l - nombres adic sans explication. Le l - nombres adic sont la même chose que le p - nombres adic.

Introduction

Le cette section est une introduction sans cérémonie aux nombres p-adic, using des exemples de l'anneau de 10 nombres adic. Des constructions et des propriétés plus formelles sont données ci-dessous.

Dans la représentation décimale standard, beaucoup (en fait, la plupart) de vrais nombres n'ont pas une expansion décimale de terminaison. Par exemple, 1/3 est représenté comme décimale de non-terminaison comme suit $de \ frac {1} {3} =0.333333 \ dots$

Officieusement, la plupart des personnes sont confortables avec des décimales de non-terminaison parce qu'il est clair qu'un vrai nombre puisse être approché de n'importe quel degré required de proximité par une décimale de terminaison qui emploie assez de décimales décimales. Si deux expansions décimales diffèrent seulement après la 10ème décimale décimale elles sont tout à fait de près d'une une autre, et si elles diffèrent seulement après la 20ème décimale décimale elles sont encore plus étroites.

10 nombres adic emploient une expansion de non-terminaison semblable, mais avec un concept différent de " ; closeness" ; (que les mathématiciens appellent un métrique). Considérant que deux expansions décimales sont proches d'une une autre si elles diffèrent par une grande puissance négative de 10, deux 10 expansions adic sont étroites si elles diffèrent par une grande puissance positive de 10. Ainsi 3333 et 4333 sont étroits dans les 10 métriques adic, et 33333333 et 43333333 sont encore plus étroits.

Dans les 10 métriques adic, l'ordre suivant des nombres obtient de plus en plus près de −1

$9=-1+10$
$99=-1+10^2$
$999=-1+10^3$
$9999=-1+10^4$

et prenant cet ordre à sa limite, nous pouvons dire (officieusement) que l'expansion 10 adic de −1 est $de \ points 9999=-1 \,$

Dans cette notation, 10 expansions adic peuvent être prolongées indéfiniment vers la gauche, contrairement aux expansions décimales, qui peuvent être prolongées indéfiniment vers la droite. Noter que ce n'est pas la seule manière d'écrire le p - adic nombre-pour des solutions de rechange voir la section de la notation de ci-dessous.

Plus formellement, un nombre 10 adic peut être défini As $de \ ^ de sum_ {i=n} \ a_i infty 10^i$

là où chacun du qu'un i de _{de est un chiffre pris de l'ensemble {0, 1, ., 9} et le initial n d'index peut être positif, le négatif ou 0, mais doit être fini. De cette définition, il est clair que les nombres entiers positifs et les nombres raisonnables positif avec terminer des expansions décimales auront terminer 10 expansions adic qui sont identiques à leurs expansions décimales. D'autres nombres peuvent avoir non-terminer 10 expansions adic.}

Il est possible de définir l'addition, la soustraction, et la multiplication sur 10 nombres adic d'une manière cohérente, de sorte que les 10 nombres adic forment un anneau commutatif . Nous pouvons créer 10 expansions adic pour des nombres négatifs comme suit

$\ Rightarrow -3 \ frac {1} {2} = \ 10} = de frac {- 35} {\ frac {\ points 9965} {10} = \ points 9996.5$

et fractions qui ont non-terminer des expansions décimales également pour avoir non-terminer 10 expansions adic. Par exemple ${6} {7} = \ points 142857142857142857 \ périodes 6 = \ Rightarrow \ frac$
des points 857142857142857142 $\ {1} {7} = - \ frac {6} {7} +1 = \ points 857142857142857143$

Généralisant le dernier exemple, nous pouvons trouver une expansion 10 adic pour n'importe quel q de ⁄ du p de nombre raisonnable tels que le q est copremier à 10 ; Le théorème d'Euler de garantit que si le q est copremier à 10, alors il y a un n tels que 10^{le n} ; &minus ; ; 1 est un multiple du q .

Cependant, 10 nombres adic ont un inconvénient principal. Il est possible de trouver des paires de 10 nombres adic différents de zéro dont le produit est 0. En d'autres termes, les 10 nombres adic ne sont pas un domaine parce qu'ils contiennent les diviseurs zéro que ceci s'avère être parce que 10 est un nombre composé . Heureusement, ce problème peut être évité en employant un p de nombre premier comme base du système de numération au lieu de 10.

expansions p-adic

Si le p est un nombre premier fixe, alors n'importe quel nombre entier positif peut être écrit dans une expansion de la base p dans l'a_i p^i de ^n de $\ sum_ de de forme {i=0} là où les a$ _i sont des nombres entiers dedans {0,…, de p ; &minus ; ; 1}. Par exemple, l'expansion binaire du de 35 est 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰, souvent écrit dans la notation 100011₂ de sténographie. L'approche familière à généraliser cette description au domaine plus grand des nombres rationnels (et, finalement, aux reals) est d'inclure des sommes de la forme : $de \ a_i p^i$ ^n de P. \ sum_ {i=- \ infty}

Une signification définie est donnée à ces sommes basées sur les ordres de Cauchy using la valeur absolue comme métrique. Ainsi, par exemple, 1/3 peut être exprimé en base 5 comme limite de l'ordre 0.1313131313… ₅. Dans cette formulation, les nombres entiers sont avec précision ces nombres qui peuvent être représentés sous la forme où un i de _de = 0 pour tout le i < 0.

Comme alternative, si nous prolongeons les expansions de la base p en laissant des sommes infinies de la forme $de \ a_i p^i$ ^ de sum_ {i=k} {\ infty}

là où le k est un certain (pas nécessairement nombre entier de positif), nous obtenons le p - expansions adic définissant le p de _{du Q du champ du p de - les nombres adic . Ces p - nombres adic pour quel un i de _de = 0 pour tout le i < 0 s'appellent également le p de - nombres entiers adic . Le p - les nombres entiers adic forment un Subring du p}, le dénoté p de _{du Q de _{du Z . (Note : Le p} de _{du Z est employé souvent, particulièrement par des topologists, pour représenter l'anneau du p de modulo de nombres entiers. Si chaque anneau est nécessaire, ce dernier est habituellement écrit le Z / Z du p ou le Z / (p) . Être sûr d'examiner la notation pour assurer n'importe quel texte que vous lisez.)}}

Intuitivement, par opposition au p - les expansions adic qui se prolongent vers la droite de comme sommes des puissances toujours plus petites et de plus en plus négatives du bas p (comme est fait pour les vrais nombres comme décrit ci-dessus), ceux-ci sont les nombres dont le p - on laisse l'expansion adic au a laissé aller sur pour toujours. Par exemple, le p - l'expansion adic de 1/3 dans la base 5 est… 1313132, c. la limite de l'ordre 2, 32, 132, 3132, 13132, 313132, 1313132,… . La multiplication de cette somme infinie par 3 dans la base 5 donne… 0000001. Car il n'y a aucune puissance négative de 5 dans cette expansion de 1/3 (c. aucuns nombres à la droite de la virgule décimale), nous voyons que 1/3 est un p - nombre entier adic dans la base 5.

Tandis qu'il est possible d'employer cette approche rigoureusement pour définir des nombres p-adic et pour explorer leurs propriétés, juste comme dans le cas de vrais nombres d'autres approches sont généralement preferred. Par conséquent nous voulons définir une notion de la somme infinie qui rend ces expressions signicatives, et ceci le plus facilement est accompli par l'introduction du '' p '' - métrique adic. Deux différents mais solutions équivalentes à ce problème sont présentés dans la section des constructions de ci-dessous.

Notation

Il y a plusieurs différentes conventions pour le p - expansions adic d'écriture. Jusqu'ici cet article a employé une notation pour le p - les expansions adic dans lesquelles les puissances du p augmentent de droite à gauche. Avec cette notation right-to-left l'expansion 3 adic de ¹/₅, par exemple, est écrite As

de  \ frac {1} {5} = \ points 121012102_3

En exécutant l'arithmétique dans cette notation, les chiffres sont portés par vers la gauche. Il est également possible d'écrire le p - des expansions adic de sorte que les puissances du p augmentent de gauche à droite, et les chiffres sont portés vers la droite. Avec cette notation de gauche à droite l'expansion 3 adic de ¹/₅ est

${ou} \ frac {1} {15} =2.$

p - des expansions adic peuvent être écrites avec d'autres ensembles de chiffres au lieu de {0, 1,…, de p ; &minus ; ; 1}. Par exemple, l'expansion 3 adic de ¹/₅ peut être écrite using les chiffres ternaires de équilibrés par {1, 0.1} As ${1} 11 \ underline {11} 11 \ underline {11} 11 \ underline {1} _3.$

En fait réglé des nombres entiers du p qui sont dans le résidu distinct classe le p du modulo peut être employé comme p - chiffres adic. En nombre la théorie, chiffres de Teichmüller sont parfois employées.

Constructions

Approche analytique

Les vrais nombres peuvent être définis pendant que les classes d'équivalence en des ordres de Cauchy des nombres raisonnables ceci nous permet à, par exemple, écrire 1 en tant que 1. Cependant, la définition d'un ordre de Cauchy se fonde sur le métrique choisi et, en choisissant différent, des nombres autres que les vrais nombres peuvent être construits. Le métrique habituel qui rapporte les vrais nombres s'appelle le métrique euclidien.

Pour un principal donné p , nous définissons la norme p-adic de dans le Q comme suit : pour tout différent de zéro X de nombre raisonnable, il y a un unique n de nombre entier nous permettant d'écrire le X = n ( de ^{du p un / b ), où ni l'un ni l'autre du de nombres entiers un et le b est le divisible par le p . À moins que le numérateur ou le dénominateur du X en plus bas termes contienne le p comme facteur, le n sera 0. Définir maintenant | X | p de = ^{&minus du p ; n}. Nous définissons également |0| p de = 0.}

Par exemple avec le X = 63/550 = 2^{&minus ; 1} 3² 5^{&minus ; 2} 7 11^{&minus ; 1}

$perfection}} =1 \, \ !$

Cette définition de | X |le p de _{a l'effet que les puissances élevées du p deviennent " ; small" ;.}

Il peut montrer que chaque norme sur le Q est équivalente à la norme euclidienne, la norme discrète , ou à une du p - normes adic pour un certain principal p . Le p - la norme adic définit un métrique p de d_{sur le Q en plaçant le $d_p de (x, y)=|de x/y|_p \, \ !$ Le p} de _{du Q de champ du p - des nombres adic peuvent alors être définis comme accomplissement de l'espace métrique ( Q , p} de d_{) ; ses éléments sont les classes d'équivalence des ordres de Cauchy, où deux ordres s'appellent équivalents si leur différence converge à zéro. De cette façon, nous obtenons un espace métrique complet qui est également un champ et contient le Q .}

Il peut montrer que dans le p de _{du Q , chaque X d'élément peut être écrit d'une manière unique As $de \ a_i p^i$ ^ de sum_ {i=k} {\ infty}}

là où le k est un certain nombre entier et chaque un i de _{de est dedans {0,…, de p ; &minus ; ; 1}. Ce de série converge au X en ce qui concerne le métrique p} de d_.

Avec cette norme, le p de _{du Q de champ est un champ local .}

Approche algébrique

Dans l'approche algébrique, nous définissons d'abord l'anneau du p - nombres entiers adic, et construire alors le champ avec des quotients de cet anneau pour obtenir le champ du p - des nombres adic.

Nous commençons par la limite inverse des anneaux Z / Z du pⁿ (voir l'arithmétique modulaire ) : un p - le nombre entier adic est alors un ordre ( a_n ) n ≥1 de _{tels que le a_n est dedans Z / Z du pⁿ, et si n < m , a_m ( pⁿ de ≡ du a_n de mod).}

Chaque m de nombre normal définit un tel ordre ( pⁿ de mod de m ), et peut donc être considéré comme p - nombre entier adic. Par exemple, dans ce cas-ci 35 comme 2 nombres entiers adic seraient écrits comme ordre (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35,…).

Noter que l'addition de pointwise et la multiplication de tels ordres est bien définie, depuis l'addition et la multiplication permutent avec l'opérateur de mod de , voient l'arithmétique modulaire . En outre, chaque ordre ( a_n ) où le premier élément n'est pas 0 a un inverse : puisque dans ce cas, pour chaque n , a_n et p sont le copremier, et ainsi le a_n et le pⁿ sont relativement principaux. Par conséquent, chaque a_n a un inverse pⁿ de mod, et l'ordre de ces inverses, ( b_n ), est l'inverse cherché de ( a_n ).

On peut alternativement écrire chaque un tel ordre qu'une série de la forme nous a considéré en haut. Par exemple, dans l'adics 3, l'ordre (2, 8, 8, 35, 35,…) peut être écrit en tant que 2 + 2·3 + 0·3² + 1·3³ + 0·3⁴ +… les sommes partielles de cette dernière série sont les éléments de l'ordre donné.

L'anneau du p - nombres entiers adic n'a aucun diviseur zéro, ainsi nous pouvons prendre le champ de des fractions pour obtenir le p de _{du Q de champ du p - nombres adic. Noter que dans ce domaine des fractions, chaque nombre peut être uniquement écrit comme p^{&minus de ; n}u avec un n du nombre normal et un p - adic u de nombre entier.}

Propriétés

L'anneau du p - les nombres entiers adic est la limite inverse du fini Z d'anneaux/du Z du k ^{du p , mais est néanmoins le incomptable, et a la cardinalité de du continuum . En conséquence, le p de _{du Q de champ est incomptable. L'anneau d'Endomorphism de du Prüfer '' p '' - grouper du luxuriant n , le dénoté n}} de ^{du Z ( p ^∞), est l'anneau des × du n ; matrices du n au-dessus du p - nombres entiers adic ; ceci désigné parfois sous le nom du module de Tate de .}

Le p - les nombres adic contiennent le Q de nombres raisonnables et forment un champ du caractéristique 0. Ce champ ne peut pas être transformé en champ commandé .

Laisser le τ de topologie sur le Z _p être défini en prenant comme base tous les ensembles de la forme U_a(n) = {n + λ p^a pour le λ dans Z _p et a dans N }. Alors le Z _p est un Compactification du Z , sous la topologie dérivée par (c'est le pas par compactification du Z avec sa topologie habituelle). La topologie relative sur le Z comme sous-ensemble de Z _p s'appelle topologie adic du la '' p '' - sur le Z .

La topologie de l'ensemble de p - les nombres entiers adic est celui d'un chantre réglé de ; la topologie de l'ensemble de p - les nombres adic est celui d'un chantre réglé sans un point (qui naturellement s'appellerait l'infini). En particulier, l'espace du p - nombres entiers adic est le compact tandis que l'espace du p - des nombres adic n'est pas ; c'est seulement le localement compact. Comme espaces métriques le p - les nombres entiers adic et le p - des nombres adic sont accomplissent .

Les vrais nombres ont seulement une prolongation algébrique approprié simple, le complexe cette prolongation quadratique des nombres en d'autres termes, est déjà le algébriquement clôturé. En revanche, la fermeture algébrique du p - les nombres adic a le degré infini. En outre, le p de _{du Q a infiniment beaucoup de prolongements algébriques inequivalent. Également contrastant le cas de vrais nombres, la fermeture algébrique du p} de _{du Q n'est pas (métriquement) accomplissent. Son accomplissement (métrique) s'appelle le p} de _{du C . Ici une extrémité est atteinte, en tant que p} de _{du C est algébriquement fermée.}

Le p de _{du C de champ est isomorphe au C de champ des nombres complexes, ainsi nous pouvons considérer le p} de _{du C comme les nombres complexes dotés d'un métrique exotique. Il convient noter que l'existence d'un tel isomorphisme de champ se fonde sur l'axiome de du choix , et aucun isomorphisme explicite ne peut être donné.}

Le p - les nombres adic contiennent le champ cyclotomique de Th du n si et seulement si le n divise le &minus du p ; 1. Par exemple, le champ cyclotomique de Th du n est un sous-champ du Q ₁₃ si et seulement si le n = 1, 2, 3, 4, 6, ou 12. En particulier, il n'y a aucun p - torsion dans le p - des nombres adic, si le p > 2.

Donné un k , l'index de nombre normal du groupe multiplicatif du k - les puissances de Th des éléments différents de zéro du p de _{du Q dans le groupe multiplicatif de p} de _{du Q est finie.}

Le e nombre, défini car la somme de reciprocals de Factorials n'est pas un membre d'aucun p - champ adic ; mais le e^p est un p - nombre adic pour tout le p excepté 2, parce que lesquels doit prendre au moins la quatrième puissance. (Ainsi un nombre avec les propriétés semblables comme e - à savoir une racine de Th du p du e^p - est un membre de la fermeture algébrique du p - nombres adic pour tout le p .)

Au-dessus des reals, les seules fonctions dont le dérivé est zéro sont les fonctions constantes. Ce n'est pas vrai au-dessus du p de _{du Q . Par exemple, la fonction f de}

: p , f ( X ) de _{du Q de → du p} de _{du Q = (1| X | p}) ² de _{pour le ≠ 0, f (0) = 0, du X}

a le dérivé zéro partout mais n'est pas même le localement constant à 0.

Donné tous les éléments le r _∞, le r ₂, le r ₃, le r ₅, le r ₇,… où le p de _{du r est dans le p} (et de _{du Q Q _∞ représente le R ), il est possible de trouver un ordre ( n} de _{de X ) dans le Q tels que pour tout le p (∞ y compris), la limite du n} de _{du X dans le p} de _{du Q est de _{du r p}.}

Le p de _{du Q de champ est un espace de Hausdorff localement compact .}

Généralisations et concepts relatifs

Les reals et le p - les nombres adic sont les accomplissements des nombres rationnels ; il est également possible d'accomplir d'autres champs, par exemple champs de nombres algébriques généraux d'une manière analogue. Ceci sera décrit maintenant.

Supposer que le D est un domaine de Dedekind de et le E est son champ de des fractions . Sélectionner un idéal P de la perfection différente de zéro du D . Si le X est un élément différent de zéro du E , alors le xD de est un idéal partiel et peut être uniquement factorisé comme produit des puissances positives et négatives des idéaux principaux différents de zéro du D . Nous écrivons le P ( X ) d'ord_{pour l'exposant du P dans cette factorisation, et pour n'importe quel choix du c de nombre plus considérablement que 1 nous peut placer le $de |X|_P = c^ {- \ _P d'operatorname {ord} (x)}$ . Exécution en ce qui concerne cette valeur absolue |. |le P} de _{rapporte un P}, la généralisation appropriée de _{du E de champ du champ du p - nombres adic à cet arrangement. Le choix du c ne change pas l'accomplissement (les différents choix rapportent le même concept de l'ordre de Cauchy, ainsi du même accomplissement). Il est commode, quand le D / P de champ de résidu est fini, de prendre pour le c la taille du D / P .}

Par exemple, quand le E est un champ de nombre et le D est l'anneau des nombres entiers algébriques dans le D , le théorème d'Ostrowski de indique que chaque non trivial la valeur absolue non-d'Archimède sur le E surgit en tant que |. Les valeurs absolues non triviales restantes sur le E résultent des différents embeddings du E dans les vrais ou complexes nombres. (En fait, les valeurs absolues non-d'Archimède peut être considéré comme simplement différents embeddings du E dans le p de _{du C de champs, de ce fait mettant la description de tous les valeurs absolues non triviales d'un champ de nombre sur une pose commune.)}

Souvent, on doit maintenir simultanément tous les accomplissements mentionnés ci-dessus quand le E est un champ de nombre (ou plus généralement un champ global), qui est vu comme " de codage ; local" ; l'information. Ceci est accompli par les anneaux d'Adele de et les groupes d'Idele de

principe Local-global

Le on dit que le principe Local-global de s de Hasse Helmut 'tient pour une équation s'il peut être résolu au-dessus du de nombres raisonnables si et seulement si il peut être résolu au-dessus des vrais nombres et au-dessus du p - nombres adic pour chaque principal p .

Voir également

Le lemme de Hensel de
Le théorème de Mahler de
Algorithme de division de P-adic

Random links:

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