Nombre de Liouville

Dans la théorie des nombres , un nombre de Liouville de est un du vrai nombre X avec la propriété qui, pour n'importe quel positif n du nombre entier , existent là le p de nombres entiers et le q avec le q > 1 et tels que

$0< \ vert X \ frac {p} {q} \ < de vert \ frac {1} {q^ {n}}$

Un nombre de Liouville peut être ainsi " rapproché ; tout à fait closely" ; par un ordre des nombres raisonnables. Dans le 1844 , le Joseph Liouville a prouvé que tous les nombres de Liouville sont le transcendantal, et il a fourni un exemple d'un nombre de Liouville, de ce fait établissant l'existence des nombres transcendantaux pour la première fois.

Propriétés élémentaires

Une définition équivalente à celle donnée ci-dessus est celle pour n'importe quel positif n de nombre entier, existe là un nombre infini paires de nombres entiers ( p , q ) obéissant l'inégalité ci-dessus.

On le montre relativement facilement que si le X est un nombre de Liouville, le X est le irrationnel. Supposer autrement ; là existe alors le c , le d de nombres entiers avec le X = c / d . Laisser le n être un nombre entier positif tels que 2^{&minus du n ; 1} > d . Puis si le p et le q sont des nombres entiers tels que le q > 1 et c / d de ≠ du p / q , puis

$0< \ vert X \ frac {p} {q} \ vert = \ vert \ frac {c} {d} - \ frac {p} {q} \ vert \ GE \ frac {1} {dq} > \ frac {1} {} de 2^ {n-1} q \ GE \ frac {1} {q^n}$

ce qui contredit la définition du nombre de Liouville.

Constante de Liouville

de de nombre c = \ ^ du sum_ {j=1} \ 10^ infty {- j !} = 0.110001000000000000000001000….

est connu en tant que constant de Liouville de . La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons le n de _{du n} et du q de _{du p comme suit : $= 10^ {n !}$}

alors nous prenons pour tout le positif n de nombres entiers

$|c - p_n/q_n| = \ ^ du sum_ {j=n+1} \ 10^ infty {- j !} = 10^ {- (n+1) !} + 10^ {- (n+2) !} + \ cdots < 10^ {- (n !)} = 1 {q_n} ^n.$

Nombres et mesure de Liouville

Du point de vue de la théorie des mesures, l'ensemble de tout le

L de nombres de Liouville \

est petit. Plus avec précision, son

m de la mesure de Lebesgue de \

est zéro. La preuve donnée suit quelques idées de John C.

Pour des nombres entiers positifs $n>2 \$ et $q \ geq 2$ a placé : = du $V_ de {n, q} \ bigcup \ ^ de limits_ {p=- \ infty} \ - infty \ laissé (\ frac {p} {q} \ frac {1} {q^n}, \ + du frac {p} {q} \ frac {1} {q^n} \ droit)$ - nous avons le $L \ subseteq \ ^ de bigcup \ limits_ {q=2} \ V_ infty {n, q}.$

Observer que pour chaque positif nombre entier $n \ GE 2$ et $m \ GE 1$ , nous aussi ont

$L \ chapeau (- m, m) \ subseteq \ bigcup \ limits_ {q=2} ^ \ infty V_ {n,} de q \ chapeau (- m, m) \ subseteq \ bigcup \ limits_ {q=2} ^ \ infty \ bigcup \ limits_ {p=-mq} ^ {} de mq \ à gauche (\ frac {p} {q} - \ frac {1} {q^n}, \ + du frac {p} {q} \ frac {1} {q^n} \ droit).$

Depuis le $\ est parti|\ + laissé (\ frac {p} {q} \ frac {1} {q^n} \ droit) - \ laissé (\ - de frac {p} {q} \ frac {1} {q^n} \ droit) \ droit|= \ frac {2} {q^n}$ et $n>2$ nous ont

$(-, de m \, m)) \ leq \ somme \ limits_ {q=2} ^ \ infty \ sum_ {p=-mq} ^ {mq} \ frac {2} {q^n} = \ somme \ limits_ {q=2} ^ \ infty \ frac {2 (2mq+1)} {} de q^n \ leq (^ de 4m+1) \ somme \ limits_ {q=2} \ infty \ frac {1} {} de q^ {n-1} \ leq (4m+1) \ int^ \ infty_1 \ frac {dq} {q^ {n-1}} \ leq \ frac {4m+1} {N2}.$

Maintenant $\ lim \ limits_ {n \ \} infty \ frac {4m+1} {N2} =0$ et lui suit cela pour chaque $m positif de nombre entier \$ , le $L \ chapeau de l'intersection (- m, m)$ a la mesure zéro de Lebesgue. En conséquence, a ainsi le $L \$ .

En revanche, le meausure de Lebesgue du $T d'ensemble \$ du tous les vrais nombres transcendantaux de est le infini (puisque le $T \$ est le complément d'un ensemble nul).

Nombres et topologie de Liouville

Pour chaque positif le nombre entier a placé :

U_n= de \ ^ de bigcup \ limits_ {q=2} \ ^ infty \ bigcup \ limits_ {p=- \ infty} \ - infty \ laissé (\ frac {p} {q} \ frac {1} {q^n}, \ + du frac {p} {q} \ frac {1} {q^n} \ droit)

. Chacun de

U_n d'ensembles \

est un sous-ensemble dense du ouvert du de vraie ligne le

{\ mathbb R}

(note que chaque

U_n \

contient tous les nombres rationnels). D'ailleurs, le

L= \ bigcap \ ^ du limits_ {n=1} \ l'U_n \ setminus infty {\ mathbb Q}

et lui suit que le

L \

est un G-delta dense réglé de , puisque son complément est un ensemble pauvre . Du point de vue topologique il signifie ce " ; presque all" ; les vrais nombres sont des nombres de Liouville.

Nombres et transcendency de Liouville

Tous les nombres de Liouville sont transcendantaux, comme sera prouvé ci-dessous. L'établissement qu'un nombre donné est d'un nombre de Liouville fournit un outil utile pour prouver un nombre donné est transcendantal. Malheureusement, non chaque nombre transcendantal est un nombre de Liouville. Les limites dans l'expansion de la fraction continue de chaque nombre de Liouville sont illimitées ; using un argument de compte, on peut alors prouver qu'il doit y avoir uncountably beaucoup de nombres transcendantaux ce qui ne sont pas Liouville. Using l'expansion explicite de fraction continue du '' e '' , on peut prouver que le e est un exemple d'un nombre transcendantal qui n'est pas Liouville. Mahler a prouvé en 1953 que le π est un autre de ce genre exemple.

Mesure d'Irrationality

Plus généralement, la mesure d'irrationality de (ou Liouville-Roth constant) d'un X de vrai nombre est une mesure de la façon dont " ; closely" ; il peut être rapproché par des nombres rationnels. Au lieu de permettre n'importe quel n dans la puissance du q , nous trouvons le moindre limite supérieure de l'ensemble de vrai μ de nombres du tels que

$0< \ vert X \ frac {p} {q} \ < de vert \ frac {1} {q^ {\ MU}}$

est satisfait par un nombre infini de paires de nombre entier ( p , q ) du q > 0. Cette moindre limite supérieure est définie pour être la mesure d'irrationality de X . Pour n'importe quel μ de valeur moins que cette limite supérieure, l'ensemble infini de tout le p / q de nombres rationnels satisfaisant l'inégalité ci-dessus rapportent une approximation du X ; réciproquement, si le μ est plus grand que la limite supérieure, puis il n'y a aucun tel ordre qui obtient arbitrairement près du X .

Les nombres de Liouville sont avec précision ces nombres ayant la mesure infinie d'irrationality.

Rendre résistant que tous les nombres de Liouville sont transcendantaux

Le montant de preuve en établissant d'abord une propriété des nombres algébriques irrationnel du cette propriété indique essentiellement que des nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être bien rapprochés par des nombres raisonnables. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, ainsi il ne peut pas être algébrique et doit être transcendantal. Le lemme suivant est habituellement connu en tant que théorème de Liouville de (sur l'approximation diophantine) , là étant plusieurs résultats connus sous le nom de théorème de Liouville de .

Lemme de : si le α est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f du du n du degré > 0 avec des coefficients de nombre entier, puis existe là un A de vrai nombre > 0 tels que, pour tout le p , le q de nombres entiers, avec le q > 0,

- de $\ vert \ alpha \ frac {p} {q} \ > de vert \ frac {A} {q^ {n}}$

Preuve de de lemme : a laissé le M être la valeur maximum de | ′ du f ( X )| (la valeur absolue du dérivé f ) au-dessus du α de l'intervalle ; + ; 1. Laisser α₁, α₂,…, le m de α_{soit les racines distinctes du f qui diffèrent du α. Choisir un certain A de valeur > 0 satisfaisant}

$A< \ minute (1, \ frac {1} {M}, \ vert \ alpha - \ alpha_1 \ vert, \ - d'alpha \ alpha_2 \ vert, \, de cdots \ vert \ alpha \ alpha_m \ vert)$

Supposer maintenant que là existe le p de quelques nombres entiers, le q contredisant le lemme. Puis

$\ vert \ alpha - \ frac {p} {q} \ vert \ le \ frac {} d'A} {q^ {n} \ le A< \ minute (1, \, de frac {1} {M} \ - de vert \ alpha \ alpha_1 \ vert, \ - d'alpha \ alpha_2 \ vert, \, de cdots \ vert \ alpha \ alpha_m \ vert)$

Puis le p / q est dans le &minus d'intervalle ; 1, α + 1 ; et le p / q n'est pas dedans {α₁, α₂,…, m de α_{}, ainsi le p / q n'est pas une racine du f ; et il n'y a aucune racine du f entre le α et du p / q .}

Par le théorème de valeur moyenne , là existe un X ₀ entre le p / q et α tels que

$f (\ alpha) - f (p/q) = (\ alpha - f'(x_0 de p/q) \ cdot)$

Puisque le α est une racine du f mais le p / q n'est pas, nous voyons cela | ′ du f ( X ₀)| > 0 et nous pouvons réarranger :

$\ vert (\ alpha - = de p/q) \ vert \ vert f (\ alpha) - f (p/q) \ vert/\ f'(x_0 de vert) \ vert = \ vert f) (de p/q)/f'(x_0 \ vert \,$

Maintenant, le f est du i de ∑_{de forme = 1 au i de ^{du X du i}} de _{du c du n} où chaque i de _{du c est un nombre entier ; ainsi nous pouvons exprimer | f ( p / q )| As}

$\ vert f (= de p/q) \ vert \ q^ de p^i de c_i ^n de vert \ sum_ {i=1} {- I} \ = de vert \ q^ de p^i de c_i ^n de vert \ sum_ {i=1} {Ni} \ ^n /q de vert \ GE \ frac {1} {q^n}$

la dernière exploitation d'inégalité parce que le p / q n'est pas une racine du f et du i de _{du c sont des nombres entiers.}

Ainsi nous avons cela | f ( p / q )| n de ^{du q du ≥ 1. Depuis | ′ du f ( X ₀)| le de ≤ M par la définition du M , et 1 M > A par la définition du A , nous avons cela}

$\ vert \ alpha - p/q \ vert = \ vert f (p/q)/\) f'(x_0 de vert \ vert \ GE 1 (Mq^n) > A/q^n \ GE \ vert un p/q \ vert$

ce qui est une contradiction ; donc, aucun un tel p , le q n'existent ; preuve du lemme.

Preuve de de l'affirmation : par suite de ce lemme, a laissé le X être un nombre de Liouville ; comme remarquable dans le texte d'article, le X est alors irrationnel. Si le X est algébrique, alors par le lemme, là existe un certain n de nombre entier et un certain vrai positif A tels que pour tout le p , le q

- de $\ vert \ alpha \ frac {p} {q} \ > de vert \ frac {A} {q^ {n}}$

Laisser le r être un nombre entier positif tels que 1 (2^r) A de ≤. Si nous laissons le m = r + n , alors, puisque le X est un nombre de Liouville, là existe de nombres entiers un , le b > 1 tels que

$\ vert x-a/b \ vert < 1/b^m=1/b^ {r+n} =1/b^rb^n < 1/2^rb^n \ le A/b^n$

ce qui contredit le lemme ; donc le X n'est pas algébrique, et est ainsi transcendantal.

Random links: