Nombre de Hypercomplex

Le nombre de hypercomplex de de limite a été employé dans les mathématiques pour les éléments des algèbres qui se prolongent ou dépassent l'arithmétique du nombre complexe . Les nombres de Hypercomplex ont eu une longue lignée des passionnés comprenant le Hermann Hankel , le Georg Frobenius , l'étude d'Eduard de , et le Elie Cartan . L'étude des systèmes de hypercomplex particuliers mène à leur représentation avec l'algèbre linéaire . Cet article donne une vue d'ensemble des systèmes principaux, y compris certains pas à l'origine considérés par les pionniers avant la perspicacité moderne de l'algèbre linéaire. Pour des détails, les références, et les sources, suivent svp le type lien de nombre particulier.

Nombres avec la dimensionnalité

Discutablement le plus d'usage courant du nombre de hypercomplex de de limite se rapporte aux systèmes algébriques avec la dimensionnalité (haches), comme contenu dans la liste suivante. Pour d'autres (comme nombre transfini , nombre Superreal , nombre de Hyperreal de , nombre surréaliste ) voir également sous le nombre .

En dépit de leurs différentes propriétés algébriques, on le note qu'aucun de ces prolongements ne forme un champ , parce que le champ des nombres complexes est &mdash algébriquement fermé du ; voir le théorème fondamental de de l'algèbre .

Nombres distributifs avec un vrai et les haches non-real du n

Une définition moderne complète du nombre de hypercomplex de est donnée par Kantor et Solodovnikov comme Unital , les systèmes de numération distributifs du qui contiennent au moins un axe non-real et est fermée sous l'addition et la multiplication. Des haches sont produites par le $de\; coefficients\; de\; vrai\; nombre\; (a\_0,\; le\; ~\dots \; ,\; a\_n)$ au $debases\backslash \; \{1,\; ~i\_1,\; \backslash \; pointille,\; i\_n\; \backslash \}\; au$ ($n\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{1,\; 2,\; 3,\; \backslash \; points\; \backslash \}$). Les coefficients distribuent, s'associent, et permutent avec le vrai (1) et les bases ($~i\_n$) non-real. Trois types of$~i\_n$ sont possibles : $i\_n^2\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{-1,\; 0,\; +1\; \backslash \}$.

D'un point de vue géométrique, ces nombres forment les algèbres dimensionnelles d'un du fini au-dessus des vrais nombres

La chute suivante de classifications sous cette catégorie. Parfois, le terme « hypernumber » est employé synonyme au « nombre de hypercomplex » comme défini par Kantor et Solodovnikov (mais voir ci-dessous pour des hypernumbers de Musean, certains dont ne pas être distributif ou ne pas inclure un axe de vrai nombre).

Un axe non-real

nombres Dédoubler-complexes

les nombres Dédoubler-complexes sont construits du $de\; bases\; \backslash \; \{1,\; ~j\; \backslash \}\; du$ avec $j^2\; =\; +1$ une racine non-real de 1.

Les algèbres qui incluent de telles racines non-real de 1 contiennent le $des\; quantités\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; (1\; \backslash \; P.\; j)$ et le $nul\; desdiviseurs(1\; +\; j)\; (1\; -\; j)\; =\; 0$, ainsi de telles algèbres ne peuvent pas être les algèbres de Division de cependant, ces propriétés peuvent s'avérer être très signicatifs, par exemple en décrivant les transformations de Lorentz de de la relativité spéciale .

Nombres duels

Les nombres duels ont le $de\; bases\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; epsilon\; \backslash \}\; le$ avec le $Nilpotentdu\; \backslash \; epsilon^2\; =\; 0$.

Plus d'un axe non-real

Algèbres de Clifford

L'algèbre de Clifford de est l'algèbre associative unital produite au-dessus d'un espace de vecteur fondamental équipé d'une forme quadratique . C'est équivalent à pouvoir définir un produit scalaire symétrique, le u . v = ½ ( UV + vu ) qui peut être employé à l'orthogonalise la forme quadratique, pour donner un ensemble de bases { e ₁… k de _{du e } tels que : $de\; de$
\ _j e_i. e du tfrac {1} {2} (. + e_i d'e_j) = \ orge à quatre rangs \ {\ commencer {matrice} -1, 0, +1 et i=j, \ \ 0 et I \ pas = j \ extrémité {matrice} La fermeture imposante sous la multiplication produit maintenant d'un espace de multivector enjambé par les bases 2^k, {1, e 1, e 2, e 3,…, e 2,…, e 3 de e 1 de e 2 de e 1,…}. Ceux-ci peuvent être interprétés comme bases d'un système de numération de hypercomplex. À la différence des bases { e 1… k} de _{du e }, bases les mai ou mai restants anti-ne pas permuter, selon combien d'échanges simples doivent être effectués pour permuter les deux facteurs. Ainsi e du e 1 2 = - e 1 du e 2 ; mais e 1 ( e 3 de e 2) = + ( e 3 de e 2) e 1.}

Mettant de côté les bases pour lesquelles le e _i² = 0 (des directions d'IE dans l'espace original au-dessus duquel la forme quadratique était le dégénéré), les algèbres restantes de Clifford peut être identifié par le C ℓ d'étiquette ; le p de _{, le q} ( R ) indiquant que l'algèbre est construite des bases simples du p avec le e _i² = +1, le q avec le e _i² = -1, et où le R indique que c'est d'être une algèbre de Clifford au-dessus des reals - des coefficients d'IE d'éléments de l'algèbre sont d'être de vrais nombres.

Ces algèbres, appelées le la forme géométrique des algèbres un ensemble systématique qui s'avèrent être très utiles dans les problèmes de physique qui impliquent les phases des rotations ou le tourne notamment dans le la mécanique quantique Classique de et , la théorie électromagnétique et la relativité .

Les exemples incluent : le C ℓ des nombres complexes ; 0 , 1 ( R ) de _{; Dédoubler-complexe C ℓ des nombres ; 1 , 0} ( R ) de _{; C ℓ de Quaternions ; 0 , 2} ( R ) de _{; C ℓ des biquaternions de Clifford de ; 0 , 3} ( R ) de _{; C ℓ de Coquaternions ; 1 , C ℓ DE DE ≈ DU 1 ( R ) ; 2 , 0} ( R ) (l'algèbre normale de _{du 2d espace) ; C ℓ ; 3 de , 0 ( R ) (l'algèbre normale de l'espace 3d, et l'algèbre des matrices de Pauli de ) ; et C ℓ ; 1 , 3} ( R ) de _{l'algèbre d'espace-temps de .}

Les éléments du C ℓ d'algèbre ; p , forme de _{du q} ( R ) même un C ℓ de subalgebra ; q+1 , p ( R ) de ⁰ _{du C ℓ d'algèbre ; q+1 , p} ( R ) de _{, qui peut être employé aux rotations de parametrise dans l'algèbre plus grande. Il y a ainsi un raccordement étroit entre les nombres complexes et les rotations dans le 2D espace ; entre les quaternions et les rotations dans l'espace 3D ; entre les nombres dédoubler-complexes et les rotations (hyperboliques) (transformations de Lorentz de ) dans l'espace de 1+1 D, et ainsi de suite.}

Considérant que Cayley-Dickson et constructions dédoubler-complexes avec huit dimensions ou plus ne plus être associatif en ce qui concerne la multiplication, les algèbres de Clifford maintiennent l'associativity à n'importe quelle dimensionnalité.

Quaternion, octonion, et là-bas : Construction de Cayley-Dickson

Tout les C ℓ d'algèbres de Clifford ; le p de _{, le q} ( R ) indépendamment des nombres complexes et les quaternions contiennent le non-real j d'éléments qui ajustent à 1 ; et ainsi ne peuvent pas être les algèbres de division. Une approche différente à prolonger les nombres complexes est adoptée par la construction de Cayley-Dickson de . Ceci produit des systèmes de numération du n , le n de la dimension 2 ^{dans {2, 3, 4,…}, avec le $de\; bases\; \backslash \; \{1,\; i\_1,\dots ,\; i\_\; \{2^n-1\}\; \backslash \}\; le$, où toutes les bases non-real anti-permutent et satisfont $i\_m^2\; =\; -1$.}

Les premières algèbres dans cet ordre sont le huit-dimensionnel quadridimensionnel Octonions de Quaternions et 16 le dimensionnel Sedenions cependant, répondant à ces exigences vient à un prix : Chaque augmentation de la dimensionnalité présente de nouvelles complications algébriques. La multiplication de Quaternion n'est plus le commutatif, la multiplication d'octonion est en plus le non- associatif, et le Sedenions ne forment pas un espace de normed par avec la norme multiplicative.

Puisque les quaternions et les octonions offrent la norme (multiplicative) d'a semblable aux longueurs dans l'espace de vecteur euclidien dimensionnel du quatre et huit respectivement, ces nombres peuvent désigné sous le nom des points dans un certain espace euclidien haut-dimensionnel. Au delà des octonions, cependant, cette analogie échoue puisque ces constructions pas normed plus.

Construction modifiée de Cayley-Dickson

La construction de Cayley-Dickson peut être modifiée en commençant par les nombres dédoubler-complexes plutôt que les nombres complexes. Ceci mène au Coquaternions (dédoubler-quaternions ; par exemple au $de\; bases\; \backslash \; \{1,\; ~i\_1,\; i\_2,\; i\_3\; \backslash \}\; au$ avec $i\_1^2\; =\; -1,\; i\_2^2\; =\; i\_3^2\; =\; +1$,) et le A dédoublé-octonions (par exemple au $de\; bases\; \backslash \; \{1,\; ~i\_1,\; \backslash \; pointille,\; i\_7\; \backslash \}\; au$ avec $i\_1^2\; =\; i\_2^2\; =\; i\_3^2\; =\; -1$, $i\_4^2\; =\; \backslash \; cdots\; =\; i\_7^2\; =\; +1$). Les coquaternions contiennent le Nilpotents ont une multiplication non commutative, et sont isomorphes aux vraies matrices de (2 x 2) . Dédoubler-octonions sont non-associative.

Toutes les bases non-real des algèbres de Cayley-Dickinson de fente sont anti-commutatives.

Algèbres Complexified : Tessarine, biquaternion, et sedenion conique

Tandis que pour les constructions de Cayley-Dickson et la fente Cayley-Dickson construit toutes les bases non-real sont anti-commutatives, utilisation d'une base imaginaire commutative mène au $de\; Tessarines\; \backslash \; au\; mathbb\; quadridimensionnels\; C\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; C$, le $huit-dimensionnel\; de\; Biquaternions\; \backslash \; mathbb\; B\; \backslash $ d\text{'}otimes\; \backslash \; mathbb\; H$,\; et\; 16\; de\; sedenions\; dimensionnel\; \backslash \; mathbb\; coniques\; C\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; O$.

L'offre de Tessarines une multiplication commutative et associative, biquaternions sont associative mais non commutative, et les sedenions coniques ne sont pas associatifs et non commutatifs. Ils tous contiennent des quantités et des zéro-diviseurs, pas normed, mais offrent un module multiplicatif . Biquaternions contiennent des nilpotents, des sedenions coniques ne sont également pas la puissance associatif de .

Excepté leurs quantités, zéro-diviseurs, et nilpotents, l'arithmétique de ces nombres est fermée en ce qui concerne la multiplication, la division, l'élévation à une puissance , et les logarithmes (voir par exemple les quaternions coniques qui sont isomorphes aux tessarines).

Quaternion hyperbolique d'Alexandre MacFarlane

Les quaternions hyperboliques (après Alexandre MacFarlane ) ont une multiplication non-associative et non commutative. Néanmoins, ils offrent une structure d'anneau légèrement plus riche que l'espace de Minkowski de de la relativité spéciale . Toutes les bases sont des racines de 1, c. $i\_n^2\; =\; +1$ pour le $n\; \backslash dans\backslash \; \{1,\; 2,\; 3\; \backslash \}\; structure\; de$.This est d'intérêt historique et éducatif puisque c'était un spectacle des 1890s qui ont présagé la révolution de l'espace-temps de la décennie suivante.

Hypernumber de Musean

Tandis que Kantor et Solodovnikov généralisent la multiplication pour des nombres de plus d'une dimension par les produits rectangulaires distributifs (de coordonnée cartésienne), les hypernumbers après utilisation de Charles A. Musès une approche à la généralisation au moyen d'absolus et angles. Des hypernumbers de Musean sont organisés dans les « niveaux » qui correspondent à différentes propriétés algébriques. Tandis que des arithmétiques établies aux trois premiers niveaux (à vrai, imaginaire $i\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{-\; 1\}$, et counterimaginary $\backslash \; varepsilon\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{+1\}\; \backslash \; bases\; de\; Ne\; \backslash \; P.\; 1$) sont contenues dans la définition par Kantor et Solodovnikov (voir les hypernumbers pour des isomorphisms aux nombres mentionnés ci-dessus), les niveaux restants offrent les propriétés arithmétiques additionnelles. Par exemple, ils ne sont pas nécessairement distributifs, et pas tous ont un vrai axe.

Nombre de Multicomplex

Les nombres de Multicomplex de sont un commutatif n - algèbre dimensionnelle produite par un e d'élément qui satisfait le $~e^n\; =\; le\; -1$. Un cas spécial sont les nombres de Bicomplex de qui sont isomorphes aux tessarines, quaternions coniques (des hypernumbers de Musès), et sont également contenus dans la définition « de nombre de hypercomplex » par Kantor et Solodovnikov.

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