Nombre de Heegner

Dans la théorie des nombres , un nombre de Heegner de est le positif d du nombre entier (place-libre) d'a tels que le champ quadratique imaginaire $\ mathbf {Q} (\ racine carrée {- d})$ a le nombre 1. de classe de d'une manière equivalente, son anneau de des nombres entiers que a une factorisation unique .

La détermination de tels nombres est un cas spécial du problème de nombre de classe de , et ils sont à la base de la théorie saisissante de plusieurs résultats en nombre.

Selon le théorème Rigide-Heegner il y a avec précision neuf nombres de Heegner : , Ce résultat a été conjecturé par le gauss et prouvé par le Kurt Heegner dans le 1952 .

Le polynôme principal-produisant d'Euler

polynôme principal-produisant de
du d'Euler

n^2 + n + 41,

ce qui donne (distinct) amorce pour

n=0, \ pointille, 39

, est lié au nombre de Heegner

163 = 4 \ cdot 41 - 1

Rabinowitz a prouvé ce $n^2 + n + p$ donne amorce pour $n=0, \ pointille, p-2$ si et seulement si son $1-4p$ discriminant est un nombre de Heegner.

(La note que $p-1$ rapporte à $p^2$ , ainsi le $p-2$ est maximal.) 1, 2, et 3 ne sont pas de la forme required, ainsi les nombres de Heegner qui fonctionnent sont $7, 11, 19, 43, 67, 163$ , rapportant des fonctions se produisantes principales de la forme d'Euler pour $2,3,5,11,17,41$ ; ces derniers nombres s'appellent les nombres chanceux de d'Euler par Le Lionnais.

Presque nombres entiers et constante de Ramanujan

Le constant de Ramanujan de est le

e^ transcendantal du nombre {\ pi \ racine carrée {163}}

, qui est un nombre entier presque, parce que c'est le très étroit à un nombre entier :

\ approximativement 640,320^3+744

Cette coïncidence est expliquée par la multiplication complexe et expansion du la '' q '' - du J-invariable.

Détail

Brièvement,

j (\ racine carrée {- d} /2)

est un nombre entier pour le d par nombre de Heegner, et

e^ {\} de pi \ racine carrée {d} \ approximativement j (\ racine carrée {- d} /2) + 744

par l'intermédiaire du q - expansion.

Si le $\ tau= \ racine carrée {D}$ est un irrationnel quadratique, alors le j - invariable est un nombre entier algébrique de $de degré|\ mbox {Cl} (\ mathbf {Q} (\ tau))|$ , le nombre de classe de du $\ du mathbf {Q} (\ tau)$ (le polynôme minimal (d'intégrale monic) qu'il satisfait s'appelle la classe polynôme de Hilbert de ).

Ainsi si le $\ mathbf quadratiques imaginaires {Q} (\ racine carrée {D})$ a la classe le numéro 1 (ainsi $D$ est un nombre de Heegner), le j - invariable est un nombre entier.

Le '' q '' - l'expansion du j (l'expansion de série de Fourier De , écrit comme série de Laurent en termes de $q= \ exp (2 \ pi i \ tau)$ ) commence : $j de (q) = \ frac {+ de 1} {q} + 744 + 196.884 q \ cdots$ Coefficient $c_n$ asymptotiquement se développent en tant que $\ ln) (de c_n \ sim 4 \ pi \ racine carrée {n} + O (\ ln (n))$ , et les coefficients d'ordre réduit se développent plus lentement que $200,000^n$ , ainsi pour le $q \ gg 200,000$ , le j est très bien rapproché par ses deux premières limites.

Le $d'arrangement \ tau = \ racine carrée {- 163} /2$ rapporte le $q= \ exp (- \ pi \ racine carrée {163}) = de$ et de $\ frac {1} {q} \ exp (\ pi \ racine carrée {163})$ . Maintenant $j (\ racine carrée {- 163} /2)= (- 640.320) ^3$ , ainsi $de (- 640.320) ^3=e^ {\ pi \ racine carrée {163}} +744+O (e^ {- \ pi \ racine carrée {163}})$ La solution pour le $e^ {\ pi \ racine carrée {163}}$ rapporte le $e^ de {\ pi \ racine carrée {163}} =640,320^3+744+O (e^ {- \ pi \ racine carrée {163}})$ là où linéaire limite de erreur est

$-196,884/e^ {\ 163}} de pi \ racine carrée {\ approximativement 196.884/(640,320^3+744) \ approximativement -.00000000000075$ Par conséquent le $e^ {\ pi \ racine carrée {163}}$ est dans approximativement ce qui précède d'être un nombre entier.

D'autres nombres de Heegner

Pour d'autres nombres de Heegner, les approximations une obtient sont comme suit. le

de \ commencent {aligner} et d'e^ {\ pi \ racine carrée {19}} \ approximativement 96^3+744-.22 \ \ et d'e^ {\ pi \ racine carrée {43}} \ approximativement 960^3+744-.00022 \ \ et d'e^ {\ pi \ racine carrée {67}} \ approximativement 5,280^3+744-.0000013 \ \ et d'e^ {\ pi \ racine carrée {163}} \ approximativement 640,320^3+744-.00000000000075 \ extrémité {aligner}

Pour le

d \ leq 11

196,884/e^ {\ pi \ racine carrée {d}} > 1

, ainsi un n'obtient pas presque un nombre entier ; même

d=19

n'est pas remarquable.

Le j - les invariants se sont associés au facteur ci-dessus comme le $de \ commencent {aligner} j &= (\ racine carrée {- 19} /2) 96^3 = (\ de 2^5 \ cdot 3)^3 \ j &= 960^3= (\ de 2^6 (\ racine carrée {- 43} /2) \ cdot 3 \ cdot 5)^3 \ j (\ racine carrée {- 67} \ de /2) et de =5,280^3= (2^5 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 11) ^3 \ j (\ racine carrée {- 163} /2) &=640,320^3= (2^6 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 23 \ cdot 29) ^3 \ extrémité {aligner}$

Pour $d=3$ , l'ajustement est raisonnablement bon, mais ne suit pas le d'après ce qui précède :

$e^ {\ 3}} de pi \ racine carrée {\ approximativement (- 2^3)^3+744-1.2$

Consécutif amorce

Donné impair perfection

p

, si on calcule

k^2 \ pmod {p}

pour

k=0,1, \ pointille, (p-1) /2

(c'est suffisant parce que le

(PK) ^2 \ k^2 équivalent \ pmod {p}

), un obtient les composés consécutifs, suivis de consécutif amorce, si et seulement si

p

est un nombre de Heegner.

Pour des détails, voir le " ; Les polynômes quadratiques produisant distinct consécutif amorce et des groupes de classe de Fields" quadratique complexe ; par Richard Mollin.

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