Nombre de Fermat

Dans les mathématiques , un nombre de Fermat de , baptisé du nom du Pierre De Fermat qui les a étudiés la première fois, est un nombre entier positif de la forme $F_ de {n} = 2^ {2^ {\ overset {n} {}}} + 1$

là où le n est un nombre entier non négatif. Les neuf premiers nombres de Fermat sont :

Propriétés de base

Les nombres de Fermat satisfont les relations de récurrence suivantes ${n} = F_ {0} \ cdots F_ {n-1} + 2$

pour le ≥ 2. Chacune de ces relations peut être montrée par l'induction mathématique . De la dernière équation, nous pouvons déduire le théorème de Goldbach de : aucune part de de deux nombres de Fermat un facteur commun . Pour voir ceci, supposer que ce 0 i < le j de _{du i} et du F de _{du j de ≤ et du F ont un de facteur commun un > 1. Alors le un divise tous les deux $F_ de {0} \ cdots F_ {j-1}$}

et j de _{du F ; par conséquent le un divise leur différence 2. Depuis le > 1, ceci force le = 2. C'est une contradiction , parce que chaque nombre de Fermat est clairement impair. Comme corollaire , nous obtenons une autre preuve de l'infinité des nombres premiers : pour chaque n} de _{du F , choisir un n} de _{du p de facteur principal ; alors l'ordre { n} de _{de p } est un ordre infini de distinct amorce.}

D'autres propriétés : le

le nombre du D ( n , b ) de chiffres du n de _{du F exprimé en b de la base est}

$D (n, b) = \ lfloor \ log_ {} de b \ laissé (2^ {2^ {\ overset {n} {}}} +1 \ droit) +1 \ rfloor \ approximativement \ lfloor 2^ {} de n \, \ log_ {b} 2+1 \ rfloor$ (voir le parqueter la fonction ) le

aucun nombre de Fermat peut être exprimé comme somme de deux que le amorce , excepté F₁ de =

2 + 3.

aucune perfection de Fermat ne peut être exprimée comme différence de deux puissances de Th du p , où le p est une perfection impaire. le

la somme des reciprocals de tous les nombres de Fermat est le irrationnel. Golomb , 1963)

Primality des nombres de Fermat

Fermat numérote et Fermat amorce ont été étudiés la première fois par Pierre De Fermat, que le a conjecturé que tous les nombres de Fermat sont principaux. En effet, F ₀ le de cinq premier nombres de Fermat,…, le F ₄ s'avèrent facilement principal. Cependant, cette conjecture a été réfutée par le Leonhard Euler en 1732 où il a montré cela $F_ {5} de = 2^ {2^5} + 1 = 2^ {32} + 1 = 4294967297 = 641 \ cdot 6700417. \ ;$

Euler a montré que chaque facteur du n de _{du F doit avoir le n du k 2^{de forme +1} + 1. Pour le n = 5, ceci signifie que les seuls facteurs possibles sont du k de la forme 64 + 1. Euler ont trouvé le facteur 641 = 10× ; 64 + 1.}

On le croit largement que Fermat se rendait compte du résultat d'Euler, ainsi il semble curieux pourquoi il n'a pas suivi à travers sur le calcul franc pour trouver le facteur. Une explication commune est que Fermat fait une erreur informatique et était ainsi convaincu de l'exactitude de sa réclamation cette il n'a pas vérifié une deuxième fois son travail.

Il n'y a aucun autre Fermat connu amorce le n de _{du F avec le n > 4. Cependant, très peu est connu au sujet des nombres de Fermat avec le grand n . En fait, chacune du suivant est un problème non résolu : le}

est le du n de _{du F composé pour tout le n > 4 ? le
sont là infiniment beaucoup Fermat amorce ? ( Eisenstein 1844) le
sont là infiniment beaucoup de nombres composés de Fermat ?}

L'argument heuristique suivant suggère qu'il y ait seulement de façon finie beaucoup Fermat amorce : selon le théorème de nombre premier de , le " ; " de la probabilité ; qu'un n de nombre est principal est tout au plus le A /ln ( n ), où le A est un fixe constant. Par conséquent, tout le a prévu que le nombre de Fermat amorce est tout au plus $A de \ ^ du sum_ {n=0} {\ infty} \ = de frac {1} {\ ln F_ {n}} \ frac {A} {\ ln 2} \ ^ du sum_ {n=0} {\ infty} \ < de frac {1} {\ log_ {2} (2^ {2^ {n}} +1)} \ frac {A} {\ ln 2} \ = 2^ ^ du sum_ {n=0} {\ infty} {- n} \ frac {2A} {\ ln 2}.$

On devrait noter que cet argument est nullement une preuve rigoureuse . Pour une chose, l'argument suppose que les nombres de Fermat se comportent le " ; du " aléatoirement ; , pourtant nous avons déjà vu que les facteurs des nombres de Fermat ont les propriétés spéciales. Bien qu'il soit largement qu'il y a seulement de façon finie beaucoup crus Fermat amorce, il y a quelques experts qui sont en désaccord.

en date de 2006 on le sait que le n de _{du F est composé pour 5 le ≤ 32 du n de ≤, bien que des factorisations complètes du n} de _{du F soient connues seulement pour 0 ≤ 11 du n de ≤, et il n'y a aucun facteur connu pour le n dedans {14, 20, 22, 24}. Le nombre de Fermat composé le plus le plus large est le F _2478782, et son facteur principal 3× ; 2^2478785 + 1 a été découvert par le John B. Cosgrave et son groupe de Proth-Gallot sur le 2003 du 10 octobre . Une application bien plus spéculative de l'argument heuristique ci-dessus suggère - sujet aux mêmes avertissements - que le " ; " de la probabilité ; qu'il y a n'importe quel nouveau Fermat amorce au delà du F ₃₂ est sur l'ordre d'un dans milliard.}

Il y a un certain nombre de conditions qui sont le équivalent au primality du n de _{du F . le théorème de Proth de de de}

-- (1878) Laisser le N = m du k 2 + 1 avec le impair k < 2^{le m}. S'il y a un de nombre entier par tels que $a^ de {(N-1) /2} \ -1 équivalent \ mod N$ le N de

alors est principal. Réciproquement, si la congruence ci-dessus ne se tient pas, et en outre $de \ (\ frac {a} {N} \ droit) =-1$ laissé (voir le symbole de Jacobi de ) le N de

alors est composé. Si le N = n de _{du F} > 3, alors le symbole ci-dessus de Jacobi est toujours égal au &minus ; 1 pour le = 3, et ce cas spécial du théorème de Proth est connu en tant qu'essai de Pépin de . Bien que l'essai de Pépin et le théorème de Proth aient été mis en application sur des ordinateurs pour prouver le compositeness de beaucoup de nombres de Fermat, ni l'un ni l'autre essai ne donne un facteur non trivial spécifique. En fait, aucun facteur principal spécifique n'est connu pour le n = 14, 20, 22, et 24.
ont laissé le ≥ 3 du n soient un nombre entier impair positif. Alors le n est une perfection de Fermat si et seulement si pour chaque un copremier au n , un est un n de mod de la racine primitive si et seulement si le un est un quadratique n de mod du nonresidue . le
le n de _{du F de nombre de Fermat} > 3 est principal si et seulement s'il peut écrire uniquement comme somme de deux places différentes de zéro, à savoir ^ = du $F_ de {n} \ laissé (2^ {2^ {n-1}} \ droit) {2} +1^ {2}$

quand le $F_ {n} = x^2 + y^2$ pas de la forme montrée ci-dessus, un facteur approprié est : $de \ gcd (x + 2^ {2^ {n-1}} y, F_ {n})$ exemple 1 de

: exemple 2 de

Factorisation des nombres de Fermat

En raison de la taille des nombres de Fermat, il est difficile de factoriser ou prouver le primality de ceux. L'essai de Pépin de est essai nécessaire et suffisant pour le primality des nombres de Fermat qui peuvent être mis en application par les ordinateurs modernes. La méthode elliptique de courbe de est une méthode rapide pour trouver de petits diviseurs principaux des nombres. Le Fermatsearch de projet de l'informatique répartie a avec succès trouvé quelques facteurs des nombres de Fermat.exe de Yves Gallot a été employé pour trouver des facteurs de grands nombres de Fermat. Edouard Lucas prouvé en 1878 que chaque facteur du nombre $F_n$ de Fermat est de la forme $2^ {n+2} k+1$ , où k est un nombre entier positif. annonce originale de

la factorisation du neuvième nombre de Fermat

Peu de théorème et pseudoprimes de Fermat

Théorème de Fermat de peu de

… Using Fermat numérote pour produire infiniment beaucoup du Pseudoprimes …

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D'autres théorèmes au sujet des nombres de Fermat

Lemme de : Si le n est un nombre entier positif, $a^n-b^n= de (a-b) \ a^kb^ ^ du sum_ {k=0} {n-1} {n-1-k}.$

preuve de : $de (a-b) \ a^kb^ ^ du sum_ {k=0} {n-1} {n-1-k}$ $= de \ b^ de l'a^ ^ du sum_ {k=0} {n-1} {k+1} {n-1-k} - \ a^kb^ ^ du sum_ {k=0} {n-1} {n-k}$

$=a^n+ de \ a^kb^ ^ du sum_ {k=1} {n-1} {n-k} - \ a^kb^ ^ du sum_ {k=1} {n-1} {n-k} - b^n$

$=a^n-b^n$

Théorème de : Si $2^n+1$ est principal, alors $n$ est zéro ou une puissance de 2.

preuve de :

Pour $n=0$ , $2^0+1$ égale le nombre premier 2. (c'est pourquoi compte 2 de quelques sources comme sixième perfection de Fermat.)

Si $n$ est un nombre entier positif mais pas une puissance de 2, puis $n = rs$ où $1 \ le r < n$ , $1 < s \ le n$ et $s$ est impair.

Par le lemme précédent, pour le nombre entier positif $m$ , $de (a-b) \ mi (a^m-b^m)$

là où le $\ mi$ signifie le " ; également divides" ;. Substituant le $a = le 2^r$ , le $b = le -1$ , et $m = s$ , $de (2^r+1) \ mi (2^ {rs} +1),$ et ainsi $de (2^r+1) \ mi (2^n+1).$

Puisque $2^r+1 > 1$ , $2^n+1$ n'est pas principal quand $n$ est un nombre entier positif qui n'est pas une puissance de 2.

Théorème du A de Édouard Lucas : N'importe quel principal p de diviseur du F _n = $2^ {2^ {\ overset {n} {}}} +1$ est de la forme $k2^ {n+2} +1$ toutes les fois que n est plus grand qu'un.

croquis de de la preuve :

Laisser le p de _{du G dénoter le groupe d'éléments différents de zéro des nombres entiers ( p de mod) sous la multiplication, qui a le p-1 d'ordre. Noter ce 2 (à proprement parler, son image ( p de mod)) a l'ordre multiplicatif $2^ {n+1}$ dans le p} de _{du G , de sorte que, par le théorème de Lagrange de , le p-1 soit divisible par $2^ {n+1}$ et le p ait la forme $k2^ {n+1} +1$ pour un certain k de nombre entier, comme le Euler a su. Édouard Lucas est allé plus loin. Puisque le n est plus grand que le 1 , le principal p ci-dessus est conforme à 1 ( 8 de mod). Par conséquent (comme a été connu au Carl Friedrich Gauss ), le 2 est un résidu quadratique ( p de de mod), c., là dans le de nombre entier un tels que le un ² -2 est divisible par le p . Alors l'image du un a l'ordre $2^ {n+2}$ dans le p} de _{du G de groupe et (using le théorème de Lagrange encore), le p-1 est divisible par $2^ {n+2}$ et le p a la forme $s2^ {n+2} +1$ pour un certain s de nombre entier.}

En fait, il peut voir ordonner que le 2 est un résidu quadratique ( p de mod), depuis ^ du $(1 +2^ {2^ {n-1}}) {2} \ 2^ équivalent {1+2^ {n-1}}$ ( p de mod). Depuis la puissance impaire du 2 est un résidu quadratique ( p de mod), est ainsi le 2 lui-même.

Rapport avec les polygones construtibles

Un n - le polygone régulier dégrossi peut être construit avec la boussole de et la règle si et seulement si le n est une puissance de 2 ou le produit d'une puissance de 2 et Fermat distinct amorce. En d'autres termes, si et seulement si le n est du n de forme = 2^{le p ₂ du p ₁ du k}… le s de _{du p , où le k est un nombre entier non négatif et le i} de _{du p sont Fermat distinct amorce. Voir le polygone construtible .}

Un positif n de nombre entier est de la forme ci-dessus si et seulement si le φ ( n ) est une puissance de 2, où φ ( n ) est la fonction totient d'Euler de .

Applications des nombres de Fermat

Génération de nombre pseudo-aléatoire

Fermat amorce sont particulièrement utile en produisant des ordres pseudo-aléatoires des nombres dans la gamme 1… N, où N est une puissance de 2. La méthode la plus commune employée est de prendre n'importe quelle valeur de graine entre 1 et P-1, où P est une perfection de Fermat. Multiplier maintenant ceci par un nombre A, qui est plus grand que la racine carrée de P et relativement principal au P. Prendre alors le mod P. Le résultat est la nouvelle valeur pour le RNG.

$V_ {j+1} = \ est parti (A \ périodes V_j \) droit \ bmod P$ (voir le générateur congruential linéaire , le RANDU ) C'est utile dans de l'informatique puisque la plupart des structures de données ont des membres avec les valeurs 2^X possibles. Par exemple, un byte a 256 (2⁸) valeurs possibles (0 - 255). Par conséquent remplir byte ou bytes de valeurs aléatoires un générateur de nombre aléatoire qui produit des valeurs que 1 - 256 peut être utilisé, le byte prenant la valeur de rendement - 1. Fermat très grand amorce sont d'intérêt particulier pour le chiffrage de données pour cette raison. Cette méthode produit seulement des valeurs pseudo-aléatoires du comme, après les répétitions P-1, les répétitions d'ordre. Un multiplicateur mal choisi peut avoir comme conséquence l'ordre répétant plus tôt que P-1.

D'autres faits intéressants

Un nombre de Fermat ne peut pas être un nombre parfait. (Luca 2000)

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La série de reciprocals de tous les diviseurs principaux des nombres de Fermat est convergente. (Krizek, Luca, Somer 2002)

Si le n de ^{du n} + 1 est principal, là existe un m de nombre entier tels que le n = 2²^{^{le m}}. L'équation n de ^{du n} + 1 = _{du F (2}_{^{de m}}_{+ m )} prises à ce moment-là.

Laisser le plus grand facteur principal du n de _{du F de nombre de Fermat être le P ( n} de _{de F ). Puis,

$P) (de F_n \ GE 2^ {m+2} (4m+9)+1$ . (Grytczuk, Luca et Wojtowicz, 2001）}

Nombres généralisés de Fermat

Nombres du a^{2^n}+b^{2^n} de forme, où le a>1 s'appellent comme nombre de Fermat généralisé par . Un principal impair p est un nombre généralisé de Fermat si et seulement si le p est conforme à 1 (mod 4).

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