Nombre d\'individu

Un nombre d'individu de , le nombre colombien ou le nombre de Devlali de est un nombre entier qui, dans une base indiquée , ne peut pas être produit par tout autre nombre entier supplémentaire à la somme de ses chiffres. Par exemple, 21 n'est pas un nombre d'individu, puisqu'il peut être produit par la somme de 15 et les chiffres comportant 15, c. Aucune une telle somme ne produira du nombre entier 20, par conséquent c'est un nombre d'individu. Ces nombres ont été décrits la première fois dans le 1949 par le indien D. Kaprekar du mathématicien du .

Remarques

Les nombres premiers d'individu de la base 10 sont

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165, 176, 187 , 198, 209, 211 , 222 , 233 , 244, 255 , 266, 277 , 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400 , 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525

Généralement pour même des bases, tous les nombres impairs du au-dessous du numéro de base sont des nombres d'individu, puisque tout nombre au-dessous d'un nombre si impair devrait également être un 1 nombre de chiffre qui une fois supplémentaire à son chiffre aurait comme conséquence un chiffre pair. Pour les bases impaires, tous les nombres impairs sont des nombres d'individu.

La relation de récurrence suivante produit des nombres d'individu de la base 10 : $C_k de = 8 \ cdot 10^ {k - 1} + C_ {k - 1} + 8$

(avec C ₁ = 9)

Et pour des nombres binaires du : $C_k de = 2^j + C_ {k - 1} + 1 \,$

(où le j représente le nombre de chiffres) nous pouvons généraliser une relation de récurrence pour produire des nombres d'individu dans n'importe quel bas b : $C_k de = (b - 2) b^ {k - 1} + C_ {k - 1} + (b - 2) \,$

dans le quel $C_1 = b-1$ pour même des bases et $C_1 = b-2$ pour les bases impaires.

L'existence de ces relations de récurrence prouve que pour n'importe quelle base il y a infiniment beaucoup de nombres d'individu.

Une recherche des nombres d'individu peut indiquer les nombres Individu-descriptifs qui sont semblables aux nombres d'individu en étant base-dépendants, mais très différent dans la définition et beaucoup de moins dans la fréquence.

L'individu amorce

Une perfection d'individu de est un nombre d'individu qui est le principal. L'individu premier amorce sont

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389

En octobre 2006 Luc Pebody a démontré que le le plus le plus large Mersenne principal qui est en même temps un nombre d'individu est 2^24036583-1. C'est alors le de perfection d'individu le plus le plus large en date de 2006 .

Essais de Selfness

Essais de réduction

Luc que Pebody a montré (octobre 2006) qu'un lien peut être fait entre la propriété d'individu d'un n de grand nombre et une partie d'ordre réduit de ce nombre, ajusté au chiffre additionne :

a) Généralement le n est d'individu si et seulement si le m de = R ( n ) +SOD (R ( n ))- le GAZON ( n ) est individu

Là où :

R ( n ) est les plus petits chiffres extrême droite du n , plus grands que 9.d ( n )

d ( n ) est le nombre de chiffres dans le n

Le GAZON ( X ) est la somme de chiffres du X , le $S_ de fonction {10} (x)$ d'en haut.

b) Si le n = un b de .10^ + c , le b , alors le n du c <10^ est individu si et seulement si tous les deux { m1 et m2 } sont négatifs ou individu

Là où :

m1 = c - GAZON ( un )

m2 = +9. b de GAZON ( un -1) - ( c +1)

c) Pour le cas simple du un =1 et du c =0 dans le modèle précédent (c. b de n =10^), alors le n est individu si et seulement si (9. b -1) est l'individu

Essai efficace

Kaprekar a démontré cela :

le n est individu si + le de ≠ de GAZON () n pour tout <= d ( n ) du i de 0 <=

Là où :

DR* ( n ) est égal à DR ( n ) /2 si DR ( n ) est égal, autrement est égal à (DR ( n ) +9)/2

DR ( n ) est égal à mod 9 de GAZON ( n ), ou à égale à 9 si mod 9 = 0 de GAZON ( n )

Extrait de la table des bases où 2007 est individu ou colombien

La table suivante a été calculée en 2007.

Base	Certificate	Sum de digits
40	$1959 = 8, 39_ {40}$	48
41	-	-
42	$1967 = 4, 35_ {42}$	40
43	-	-
44	$1971 = 0, 35_ {44}$	36
44	$1928 = 36_ {44}$	79
45	-	-
46	$1926 = 40_ {46}$	81
47	-	-
48	-	-
49	-	-
50	$1959 = 9_ {50}$	48
51	-	-
52	$1947 = 23_ {52}$	60
53	-	-
54	$1931 = 41_ {54}$	76
55	-	-
56	$1966 = 6_ {56}$	41
57	-	-
58	$1944 = 30_ {58}$	63
59	-	-
60	$1918 = 58_ {60}$	89

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