est le nombre de   du n de différentes manières ; +  ; les facteurs 1 peuvent être complètement le parenthesized (ou le nombre de manières de associant des demandes de n de d'un opérateur binaire ). Pour le n = 3 par exemple, nous prenons les cinq parenthesizations différents suivants de quatre facteurs :

d'un opérateur binaire peuvent être représentées en termes d'arbre binaire . Il suit que le n de _{du C est le nombre d'arbres binaires commandés enracinés avec le   du n ; +  ; feuilles 1 : Si les feuilles sont marquées, nous avons les nombres factoriels quadruples du .
le n} de _{du C de}

est le nombre de pleins arbres binaires non-isomorphes avec les sommets du n qui ont des enfants, habituellement appelé des sommets ou les branches internes. (L'arbre binaire enraciné par A est le plein si chaque sommet n'a deux enfants ou aucun enfant.)
le n de _{du C de}

est le nombre de chemins monotoniques le long des bords d'une grille avec des × du n ; cellules carrées du n , qui ne croisent pas la diagonale. Un chemin monotonique est un qui commence dans le coin gauche inférieur, finit dans le bon coin supérieur, et consiste entièrement en bords se dirigeant à droite ou vers le haut. Le compte de tels chemins est équivalent à compter des mots de Dyck : Stands X pour le " ; déplacer le right" ; et Y représente le " ; déplacer l'up" ;. Les diagrammes suivants montrent le n de cas = 4 :
le n de _{du C de}

est le nombre de différentes manières par polygone convexe avec le   du n ; +  ; 2 côtés peuvent être coupés en triangles en reliant des sommets aux lignes droites que les hexagones suivants illustrent le n de cas = 4 :
le n de _{du C de}

est le nombre de la pile - les permutations classables de de {1,…, n }. Un W de permutation s'appelle le empiler-classable si le S ( W ) = (1,…, n ), où le S ( W ) est défini périodiquement comme suit : écrire le W = unv de où le n est le plus grand élément dans le W et le u et le v sont des ordres plus courts, et le S ( W ) d'ensemble = le du S ( v ) du S ( u ) n , avec le S étant l'identité pour des ordres d'un élément.
le n de _{du C de}

est le nombre de cloisons de Noncrossing de de l'ensemble {1,…, n }. Le a fortiori , le n de _{du C ne dépasse jamais le nombre de Bell De de Th du n . Le n} de _{du C est également le nombre de cloisons noncrossing de l'ensemble {1,…, 2 n } dans lequel chaque bloc est de la taille 2. La conjonction de ces deux faits peut être employée dans une preuve par l'induction mathématique que tous les cumulants libres du du degré plus de 2 de la loi de demi-cercle de Wigner de sont zéro. Cette loi est importante dans la théorie libre de la probabilité et la théorie des matrices aléatoires .
le n} de _{du C de}

est le nombre de manières de couvrir de tuiles une forme de marche du de taille n avec des rectangles du n . La figure suivante montre le n de cas = 4 :

Preuve de la formule

Il y a plusieurs manières d'expliquer pourquoi = de $C\_n\; de\; de\; formule\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n+1\}\; \{2n\; \backslash \; choisit\; n\}$ résout les problèmes combinatoires énumérés ci-dessus. La première preuve ci-dessous emploie une fonction se produisante . Les deuxièmes et troisième preuves sont des exemples des preuves bijectives qu'elles impliquent de compter littéralement une collection d'un certain genre d'objet pour arriver à la formule correcte.

Première preuve

Nous commençons par l'observation que plusieurs des problèmes combinatoires énumérés ci-dessus peuvent facilement être vus pour satisfaire la relation de récurrence

$C\_0\; =\; 1\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; mbox\; \{et\}\; \backslash \; quadruple\; C\_\; \{n+1\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{i=0\}\; ^\; \{n\}\; C\_i\; \backslash ,\; C\_\; \{\}\; de\; Ni\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; mbox\; \{pour\}\; n\; \backslash \; GE\; 0.$

Par exemple, chaque W de mot de Dyck du ≥ 2 de longueur peut être écrit d'une manière unique dans le W de de forme = le W ₂ de W ₁Y de X avec (probablement vide) Dyck exprime le W ₁ et le W ₂.

La fonction se produisante pour les nombres catalans est définie près $c\; de$

(^ de x)= \ sum_ {n=0} \ C_n infty x^n.

Comme expliqué dans l'article a intitulé le produit de Cauchy de , la somme du côté droit de la relation de récurrence ci-dessus est le coefficient de n de ^{du X dans le produit $de$}

\ ^ laissé (\ sum_ {i=0} \ x^i de C_i \ droit infty) ^2.

Par conséquent $de$

\ ^ laissé (\ sum_ {i=0} \ x^i de C_i \ droit infty) ^2 = \ ^ du sum_ {n=0} \ C_ infty {n+1} x^n.

Multipliant les deux côtés par le X , nous obtenons $x\; de$

\ ^ laissé (\ sum_ {i=0} \ x^i de C_i \ droit infty) ^2 = \ ^ du sum_ {n=0} \ x^ infty de C_ {n+1} {n+1}

\ ^ du sum_ {n1} \ x^n infty -1 de C_n + \ ^ du sum_ {n0} \ C_n infty x^n.

Ainsi nous avons $c\; de$

(x)=1+xc (x)^2, \,

et par conséquent $c\; de$

(x) = \ frac {1 \ racine carrée {1-4x}} {2x}

(l'autre racine de l'équation quadratique ne peut pas être augmentée comme série entière dans le X , puisqu'elle a un poteau à 0).

La limite de racine carrée peut être augmentée comme série entière using l'identité $de$

\ racine carrée {1+y} = 1 - 2 \ sum_ {n=1} ^ \ infty {2n-2 \ choisissent n-1} \ à gauche (\ frac {- 1} {4} \ droit) ^n \ frac {y^n} {n},

ce qui peut être prouvé, par exemple, par le théorème binomial (ou bien directement en considérant les dérivés répétés de $\backslash \; racine\; carrée\; \{1+y\}$), ainsi que la jonglerie judicieuse des factorials. La substitution de ceci dans l'expression ci-dessus au c ( X ) produit, ^n \ frac de $c\; de$

(x) = \ frac {1 (1 - 2 \ sum_ {n=1} ^ \ infty {2n-2 \ choisissent n-1} \ à gauche (\ frac {- 1} {4} \ droit) {(-) ^n 4x} {n})}{2x}, ^n de $c\; de$

(x) = \ frac {1} {x} \ sum_ {n=1} ^ \ infty {2n-2 \ choisissent n-1} \ à gauche (\ ^n de frac {1} {- 4} \ droit) \ frac {(- 4x)} {n},

$c\; (x)\; =\; \backslash \; ^\; de\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \{2\; (n-1)\; \backslash \; choisissent\; n-1\}\; \backslash \; frac\; \{x^\; \{n-1\}\}\; \{n\},$

faisant le $k\; de\; substitution\; =\; le\; n-1$, $c\; de$

(x) = \ sum_ {k=0} ^ \ infty {2k \} choisissent k \ frac {x^ {k}} {k+1},

et retournant à la variable originale n,

$c\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \{2n\; \backslash \; choisissent\}\; de\; n\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n+1\}.$

L'égalisation des coefficients rapporte la formule désirée pour le n de _{du C .}

Deuxième preuve

Cette preuve dépend d'un tour connu sous le nom de principe de réflexion (ne pas être confondu avec le principe de réflexion de Schwarz dans analyse complexe ). Le principe de réflexion a été largement, mais inexactement, attribué à André ; il est réellement dû à Aebly et à Mirimanoff. Il le plus facilement est exprimé en termes de " ; chemins monotoniques qui ne croisent pas le diagonal" ; problème (voir le au-dessus de ).

Supposer que nous sommes donnés un chemin monotonique dans des × du n un ; grille du n que le fait la croix de la diagonale. Trouver le premier bord dans le chemin qui se trouve au-dessus de la diagonale, et la chiquenaude de la partie du chemin se produisant ensuite ce bord, suivant une ligne parallèle à la diagonale. (En termes de mots de Dyck, nous commençons par un ordre des x du n et du y du n qui est le pas par mot de Dyck, et échangeant tous les x avec des y après le premier Y qui viole l'état de Dyck.) Le chemin en résultant est un chemin monotonique dans (&minus de n ; 1) × ; ( n + 1) grille. Le schéma 1 montre ce procédé ; la partie verte du chemin est la partie étant renversée.

Depuis chaque chemin monotonique dans (&minus de n ; 1) × ; (le n + 1) grille doit croiser la diagonale à un certain point, chaque un tel chemin peut être obtenu de cette fa4con en avec précision à sens unique. Le nombre de ces chemins est égal au $de\; \{2n\; \backslash \; choisissent\; n-1\}$. Par conséquent, pour calculer le nombre de × monotoniques du n ; les chemins du n qui font la croix du pas la diagonale, nous devons soustraire ceci du nombre du total × monotoniques du n ; les chemins du n , ainsi nous obtenons finalement le $de\; \{2n\; \backslash \; choisissent\; n\}\; -\; \{2n\; \backslash \; choisissent\; n-1\}$ ce qui est le catalan n de _{du C de nombre de Th du n .}

Troisième preuve

La preuve bijective suivante, tout en étant plus impliquée que la précédente, fournit une explication plus normale pour le n de limite + 1 apparaissant dans le dénominateur de la formule pour le n de _{du C .}

Supposer que nous sommes donnés un chemin monotonique, qui peut s'avérer justement croiser la diagonale. L'exceedance du chemin est défini pour être le nombre de paires de bords qui se trouvent au-dessus de la diagonale. Par exemple, sur le schéma 2, les bords se trouvant au-dessus de la diagonale sont marqués en rouge, ainsi l'exceedance du chemin est 5.

Maintenant, si nous sommes donnés un chemin monotonique dont l'exceedance n'est pas zéro, puis nous pouvons appliquer l'algorithme suivant pour construire un nouveau chemin dont l'exceedance est un moins que celui que nous avons commencé.
À partir du gauche inférieur, suivre le chemin jusqu'à ce qu'il voyage d'abord au-dessus de la diagonale.
Continuer à suivre le chemin jusqu'à ce qu'il touche la diagonale encore. Dénoter par le X le premier un tel bord qui est atteint.
Permuter la partie du chemin se produisant avant le X avec la partie se produisant après le X . L'exemple suivant devrait faire ce clairifiant. Sur le schéma 3, le cercle noir indique le point où les premières croix de chemin la diagonale. Le bord noir est le X , et nous permutons la partie rouge avec la partie verte pour faire un nouveau chemin, montré dans le deuxième diagramme. Noter que l'exceedance s'est laissé tomber de trois à deux. En fait, l'algorithme fera diminuer l'exceedance d'un, pour n'importe quel chemin que nous lui alimentons.

Il n'est également pas difficile de voir que ce processus est le réversible : donné n'importe quel P de chemin dont l'exceedance est moins que le n , il y a exactement un chemin qui rapporte le P quand l'algorithme est appliqué à lui.

Ceci implique que le nombre de chemins du n d'exceedance est égal au nombre de chemins de &minus du n d'exceedance ; 1, qui est égal au nombre de chemins de &minus du n d'exceedance ; 2, et ainsi de suite, vers le bas à zéro. En d'autres termes, nous avons fractionné l'ensemble de tous les chemins monotoniques de dans le n + les classes 1 également classées, correspondant aux exceedances possibles entre 0 et au n . Puisqu'il y a $de$

{2n \ choisissent n}

les chemins monotoniques, nous obtenons la formule désirée = de $C\_n\; de$

\ frac {1} {n+1} {2n \ choisissent n}.

Le schéma 4 montre la situation pour le n = 3. Chacun des 20 chemins monotoniques possibles apparaît quelque part dans la table. La première colonne montre tous les chemins de l'exceedance trois, qui se trouvent entièrement au-dessus de la diagonale. Les colonnes à la bonne exposition le résultat des applications successives de l'algorithme, avec l'exceedance diminuant une unité à la fois. Puisqu'il y a cinq rangées, le C ₃ = 5.

Matrice de Hankel

Les × du n ; matrice de Hankel de du n dont ( i ,   ; l'entrée du j ) est le catalan i de _{du C de nombre + j} a le déterminant 1, indépendamment de la valeur du n . Par exemple, parce que le n = 4 nous faisons commencer le $\backslash \; det\; de\; \backslash \; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 1\; et\; 2\; et\; 5\; 5\; et\; 14\; 14\; et\; 42\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 1\; et\; 2\; et\; \backslash \; 2\; et\; 5\; et\; \backslash \; 5\; et\; 14\; et\; 42\; et\; 132\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; 1.$

Noter cela si les entrées sont " ; shifted" ; , à savoir le catalan numérote le i de _{du C + j +1}, la cause déterminante est toujours 1, indépendamment de la taille du n . Par exemple, parce que le n = 4 nous faisons commencer le $\backslash \; det\; de\; \backslash \; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 2\; et\; 5\; et\; 14\; 14\; et\; 42\; 42\; et\; 132\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 2\; et\; 5\; et\; \backslash \; 5\; et\; 14\; et\; \backslash \; 14\; et\; 42\; et\; 132\; et\; 429\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; 1.$

Les nombres catalans forment l'ordre unique avec cette propriété.

Factoriel quadruple

Histoire

L'ordre catalan a été décrit la première fois en XVIIIème siècle par le Leonhard Euler , qui était intéressé par le nombre de différentes manières de diviser un polygone en triangles. L'ordre est baptisé du nom du catalan d'Eugène Charles de , qui a découvert le raccordement aux expressions parenthesized pendant son exploration des tours de du puzzle de Hanoï . Le tour de compte pour des mots de Dyck a été trouvé par D.

Voir également

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