Nombre Figurate

Un nombre figurate est un nombre qui peut être représenté comme modèle géométrique du régulier et discret (par exemple points). Si le modèle est le polytopic, le figurate est marqué un nombre polytopic , et peut être un nombre polygonal de de ou un nombre polyèdre .

Les nombres triangulaires premier peuvent être établis des rangées de 1, 2, 3, 4, 5, et 6 articles :

Gnomon

Les nombres Figurate étaient un souci de la géométrie pythagorienne , puisque Pythagore est crédité de les lancer, et la notion que ces nombres sont produits à partir d'un gnomon ou de l'unité de base. Le gnomon est le morceau qui les besoins d'être ajouté à un nombre figurate pour le transformer à le prochain plus grand.

Par exemple, le gnomon du nombre carré est le nombre impair , du général n de la forme 2 + 1, le n = 0, 1, 2, 3,…. La place de la taille 8 a composé de ressembler de gnomons à ceci :

8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8
8 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7
8 ; 7 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6
8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5
8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4
8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 3 ; 3
8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 2
8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1

Pour transformer de la n-place (la place de de n de taille) ( n + 1) - à la place, on touche 2 le n + les éléments 1 : un à la fin de chaque rangée (éléments de n ), un à l'extrémité de chaque colonne (éléments de n ), et simple au coin. Par exemple, en transformant la place 7 à la place 8, nous ajoutons 15 éléments ; ces adjonctions sont les 8s dans la figure ci-dessus.

Noter que cette technique gnomonique fournit également une preuve que la somme des premiers nombres impairs du n est le n ² ; la figure montre 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8².

Racines carrées

Réciproquement, on peut calculer la racine carrée de tout nombre en soustrayant des nombres impairs. Ainsi, 64 - 1 = 63 ; 63 - 3 = 60 ; 60 - 5 = 55 ; 55 - 7 = 48 ; 48 - 9 = 39 ; 39 - 11 = 28 ; 28 - 13 = 15 ; 15 - 15 = 0. La soustraction des 8 premiers nombres impairs de 64 rendements 0 ; par conséquent, la place-racine de 64 est 8.

La longueur du nombre croissant de soustractions comme nombre se développe est déviée par une méthode semblable à la manière standard du place-enracinement enseignée à l'école. Par exemple : 1225 = 35 x 35, notent la somme des chiffres de cette racine carrée : 3 + 5 = 8. Ce raccourci de place-racine ramène 35 soustractions à seulement 8 soustractions. Le raccourci implique le " deux ; tricks" ; : un tour de markoff, et tour resumptive.

Le tour de markoff est déjà connu de l'algorithme familier de racine carrée. On coche le nombre de cible dans les paires de chiffres, de la droite, comme dans l'inscription 1225 en tant que 12 ' 25 ; puis, le calcul commence par les premières chiffre-paires vers la gauche. La raison est cela qui ajuste des résultats à un chiffre d'un nombre dans 1 - ou place de 2 chiffres. Ainsi, 1, 2, 3 ont, respectivement, les places de 1 chiffre de 1, 4, 9. Mais 4 a la place de 2 chiffres de 16 ; et les numéros 5, 6, 7, 8, 9 ont 2 places de chiffre. Pour tenir compte de ceci, on commence par deux chiffres à fournir un chiffre à chaque processus-étape.

Le tour resumptive (unique à cet algorithme actuel) décale d'une paire de chiffres de nombre de cible à ses prochains (à droite) deux chiffres, expliqués en calculant la racine carrée de 1225. Cocher 1225 en tant que 12 ' 25 ; commencer le calcul par des paires gauches de chiffres, à savoir. le

12 Commencer à soustraire des nombres impairs : 12 - 1 = 11 ; 11 - 3 = 8 ; 8 - 5 = 3 ; mais le prochain nombre impair, 7, ne peut pas être soustrait de la différence 3 de , ainsi le tour resumptive est nécessaire.

Le chiffre extrême gauche de la racine carrée, 3, représentant réellement 30, parce que le deuxième chiffre de la droite dans la numération décimale est le " ; digit" de dix ;.

À la différence 3 (= 8 - 5), touchent après deux cochés chiffres (25), obtenant 325, et reprennent la soustraction de nombre impair.

Le dernier " ; successful" ; le subtrahend était 5 ; mais le prochain nombre impair, 7, ne peut pas être soustrait, ainsi interpoler entre 5 et 7 pour le numéro 6. (c'est " ; premier part" ; du

resumptive de tour.) Depuis (remarquable ci-dessus) les 3 soustractions réussies représenter réellement 2 le chiffre 30, traitent les 6 interpolés en tant que 60 ; reprendre la soustraction de nombre impair avec le premier nombre impair dans les années '60, à savoir, 61. (C'est " ; en second lieu et part" final ; du

resumptive de tour ou de subalgorithm.) Résultat : 325 - 61 = 264 ; 264 - 63 = 201 ; 201 - 65 = 136 ; 136 - 67 = 69 ; 69 - 69 = 0.

Après avoir passé de 325 à 0 par cinq soustractions, le deuxième chiffre est 5 : et 30 + 5 = 35, c., la racine carrée de 1225 est 35, obtenu en exactement 3 + 5 = 8 soustractions en appliquant le markoff et les tours ou les subalgorithms resumptive.

Pour revoir, considérer 144 = 12². La place-racine est facilement calculée par douze soustractions : 144 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25) = 144 - 144 = 0. Cependant, la marque-au loin et les tours resumptive ramènent ceci à 1 + 2 = 3 soustractions de nombre impair. Markoff 144 en tant que 1 '.

44 En commençant par des paires extrême gauche, commencer la soustraction 1 - 1 = 0 ; le chiffre tellement extrême gauche de la place-racine est 1, représentant le

10. Réduire les deuxièmes paires de chiffres : 0 + 44 = 44 et commencent à soustraire des nombres impairs.

Interpoler entre le " ; successful" ; 1, " ; failed" ; 3, à savoir, 2, pour représenter les années '20, dont le premier nombre impair est 21, reprenant la soustraction avec. le

21 44 - 21 = 23 ; 23 - les 23 = 0, ayant pour résultat deux soustractions, ainsi deuxièmes chiffres sont 2h10 + 2 = 12 comme place-racine de 144, obtenue par la soustraction 1 + 2 = 3 des nombres impairs.

Un cas spécial implique un " ; difference" nul ; , illustré dans 10² = 100. Cochant 100 en tant que 1 ' 00, puis 1 - 1 = 0 (différence), qui combine avec les deuxièmes paires de chiffres en tant que 000, mais ce dans la notation décimale est simplement 0, ayant pour résultat 10 en tant que racine carrée, réalisée dans 1 + 0 = 1 soustractions. Un autre exemple est 20² = 400. Cocher 400 As 4 ' 00. puis 4 - (1 + 3) = 0 (différence), qui combine avec la deuxième paire de chiffres en tant que 0000, représentant 0, rapportant racine 20, réalisée dans 2 + 0 = 2 soustractions, c.

Racines de cube et cubiques

Des cubes de nombres normaux ou de nombres entiers positifs peuvent être produits de S = 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n - 1,… ; n = 1, 2, 3,…, par le " ; sums" mobile ; , semblable au " ; averages" mobile ; des statistiques : Premier membre de S : 1 = 1³.

après deux membres de S : 3 + 5 = 8 = 2³.

Après trois membres de S : 7 + 9 + 11 = 27 = 3³.

Après quatre membres de S : 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³.

Après cinq de S : 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³.

Après six de S : 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6³.

Après sept de S : 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 7³.

Ainsi, " ; differences" mobile ; des cube-racines de rendement de S.

Ce procédé (prenant beaucoup de mots pour expliquer, mais rapidement exécuté) n'est pas limité aux racines carrées calculatrices des nombres normaux ou des nombres entiers positifs. Il peut même être appliqué vers calculer la racine carrée irrationnelle de 2, à tout nombre de décimales décimales.

Démonstration des propriétés mathématiques

Nombres figurate de construction d'écoliers des cailloux, des capsules, etc. Comme bonification, les enfants peuvent employer des nombres figurate pour découvrir la loi commutative et la loi associative pour l'addition et le &mdash de la multiplication ; lois habituellement dictées à eux &mdash ; par des rangées de construction et des tables des points.

Par exemple, le commutativity additif de 2 + de 3 = de 3 + de 2 = de 5 devient :

Voir également

Le théorème de la sélection de

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