Noir-Scholes

Le Noir-Scholes de limite se rapporte à trois concepts étroitement liés :
Le modèle Noir-Scholes est un modèle mathématique du marché pour des capitaux propres, dans lesquels le prix des actions est un procédé stochastique .
Le PDE Noir-Scholes est une équation différentielle partielle que (dans le modèle) doit être satisfait par le prix d'un dérivé sur les capitaux propres.
La formule Noire-Scholes est le résultat obtenu en s'appliquant le PDE Noir-Scholes aux options doubles européennes du .

Le Robert C. Merton était le premier pour éditer un document augmentant notre arrangement mathématique du modèle d'évaluation des options et a inventé le " de limite ; Noir-Scholes" ; options évaluant le modèle, par l'amélioration du travail qui a été édité par le Fischer noir et le Myron Scholes . Le document a été édité la première fois dans le 1973 . La base pour leur recherche s'est fondée sur le travail développé par des disciples tels que le Louis Bachelier , le A. James Boness , le Sheen T. Kassouf , le Edouard O. Thorp , et le Paul Samuelson . La perspicacité fondamentale de Noir-Scholes est que l'option a le prix indiqué implicitement si les actions sont commercées.

Merton et Scholes ont reçu le prix 1997 Nobel de dans les sciences économiques pour ceci et ont rapporté le travail. Cependant inéligible pour le prix en raison de sa mort en 1995, noir a été mentionné en tant que contribuant par l'académie suédoise.

Le prix du t de _{du S de l'instrument fondamental suit un mouvement brownien géométrique avec le $constant\; de\; dérive\; du\; \backslash \; MU$ et le $de\; la\; volatilité\; \backslash \; sigma$ : = de dS_t de $de\; \backslash \; MU\; S\_t\; \backslash ,\; décollement\; +\; \backslash \; sigma\; S\_t\; \backslash ,\; dW\_t\; \backslash ,$
Il est possible à la vente de short de les actions fondamentales.
Il n'y a aucune occasion de l'arbitrage .
Le commerce en stock est continu.
Il n'y a aucun coût de transaction de ou impôts
Toutes les valeurs sont parfaitement divisibles (le par exemple il est possible d'acheter le 1/100th d'une part).
Il est possible d'emprunter et prêter l'argent comptant à un taux d'intérêt Risk-free de constant .
Les actions ne payent pas un dividende (voir ci-dessous pour que les prolongements manipulent des paiements des dividendes).}

Ce qui précède mènent à la formule suivante pour le prix d'une option d'achat européenne avec le de prix d'exercice K sur des actions commerçant actuellement au S , le c. , la droite des prix d'acheter une part des actions au K des prix après des années du T . Le taux d'intérêt constant est le r , et la volatilité courante constante est $\backslash \; sigma$.

$C\; (S,\; T)\; =\; S\; \backslash \; phi\; (d\_1)\; -\; Ke^\; \{-\; droite\}\; \backslash \; phi\; (d\_2)\; \backslash ,$ là où = de $de$

d_1 \ frac {\ ln (S/K) + (r+ \ sigma^2/2) T} {\ sigma \ racine carrée {T}} = de $de$

d_2 \ frac {\ ln (S/K) + (r - \ sigma^2/2) T} {\ sigma \ racine carrée {T}} = d_1 - \ sigma \ racine carrée {T}.

Ici le $\backslash \; Phi$ est la fonction de répartition cumulative de standard de la normale .

Le prix d'une option mise peut être calculé de ceci par le Mettre-appellent la parité et la simplifient à

$P\; (S,\; T)\; =\; Ke^\; \{-\}\; de\; droite\; \backslash \; phi\; (-\; d\_2)\; -\; S\; \backslash \; phi\; (-\; d\_1).\; \backslash ,$

Le les Grecs sous le modèle Noir-Scholes sont calculés ci-dessous :

Prolongements du modèle

Le modèle ci-dessus peut facilement être prolongé pour avoir des taux et des volatilités non-constants (mais déterministes). Le modèle peut également être employé pour évaluer des options européennes sur des instruments payant des dividendes. Dans ce cas-ci, les solutions de forme close sont disponibles si le dividende est une proportion connue du cours des actions d'actions. Les options américaines il est plus difficile évaluer et les options sur des stocks payant un dividende en numéraire connu (à court terme, plus réaliste qu'un dividende proportionnel), et un choix des techniques de solution est disponible (par exemple des trellis et des grilles).

Instruments payant des dividendes continus de rendement

Que les options sur des index (tels que le FTSE où chacune de 100 compagnies constitutives peut payer un dividende deux fois par an et ainsi il y a un paiement presque chaque Business Day), il est raisonnable fassent la prétention de simplification que des dividendes sont payés sans interruption, et que la quantité de dividende est proportionnelle au niveau de l'index.

Le paiement des dividendes a payé au cours de la période '' t '' + '' décollement '' de temps est alors modelé As qS_t de $de$

\, décollement

pour un certain constant q (le taux de rendement des actions ).

Sous cette formulation le prix arbitrage-libre implicite par le modèle Noir-Scholes peut être montré pour être $C\; (S\_0\; de$

, T) = e^ {- droite} (F \ phi (d_1) - K \ phi (d_2)) \,

là où maintenant

$F\; =\; S\_0\; e^\; \{(r\; -\; q)\}\; de\; T\; \backslash ,$

est le prix vers l'avant modifié qui se produit dans le d ₁ de limites et le d ₂ : = de $de$

d_1 \ frac {\ ln (F/K) + (\ sigma^2/2) T} {\ sigma \ racine carrée {T}} $de$

d_2 = d_1 - \ sigma \ racine carrée {T}.

Exactement la même formule est employée pour évaluer des options sur des taux de devises étrangères, sauf que maintenant le q joue le rôle du taux d'intérêt risk-free étranger et le S est le taux d'opération de comptant. C'est le Garman-Kohlhagen modèle (1983).

Instruments payant des dividendes proportionnels discrets

Il est également possible de prolonger le cadre Noir-Scholes aux options sur des instruments payant des dividendes proportionnels discrets. C'est utile quand l'option est frappée sur des actions simples.

Un modèle typique est de supposer qu'un $de\; proportion\; \backslash \; delta$ du cours des actions d'actions est payé dehors au prédéterminé t ₁ de périodes, le t ₂,…. Le prix des actions est alors modelé As ^ S_t = S_0 de $de$

(1 - \ delta) {e^ de n (t)} {+ d'ut \ sigma W_t}

là où le n ( t ) est le nombre de dividendes qui ont été payés par le t de temps.

Le prix d'une option d'achat sur des telles actions est encore $C\; (S\_0\; de$

, T) = e^ {- droite} (F \ phi (d_1) - K \ phi (d_2)) \,

là où maintenant

$F\; =\; S\_0\; (1\; -\; \backslash \; delta)\; ^\; \{n\; (T)\}\; e^\; \{\}\; de\; droite\; \backslash ,$

est le prix vers l'avant du dividende payant des actions.

Noir-Scholes dans la pratique

Le sourire de volatilité

voient également :

du sourire de volatilité de

Tous les paramètres dans le modèle autre que la volatilité - le temps à la maturité, à la grève , au taux risk-free, et au prix fondamental courant - sont sans équivoque chose observable. En outre, sous normal les circonstances la valeur théorique de l'option est une fonction d'augmentation monotonique de la volatilité. Ceci signifie qu'il y a un rapport linéaire entre le prix d'option et la volatilité. En calculant la volatilité implicite pour des options commercées avec différentes grèves et maturités, nous pouvons examiner le modèle Noir-Scholes. Si le modèle Noir-Scholes tenu, alors la volatilité implicite pour des actions particulières serait le même pour toutes les grèves et maturités. Dans la pratique, la surface (le graphique tridimensionnel de volatilité de de la volatilité implicite contre la grève et la maturité) n'est pas plate. La forme typique de la courbe implicite de volatilité pour une maturité donnée dépend de l'instrument fondamental. Les actions ordinaires tendent à avoir biaisé des courbes : la volatilité implicite est plus haute pour de basses grèves, et s'abaisse légèrement pour des grèves élevées. Les devises tendent à avoir des courbes plus symétriques, avec du plus bas À-le-argent implicite de volatilité, et des volatilités plus élevées dans des les deux ailes. Les produits ont souvent le comportement renversé aux actions ordinaires, avec une volatilité implicite plus élevée pour des grèves plus élevées.

En dépit de l'existence du sourire de volatilité (et de la violation de toutes les autres acceptations du modèle Noir-Scholes), le Noir-Scholes PDE et formule Noire-Scholes sont encore employés intensivement dans la pratique. Une approche typique est de considérer la surface de volatilité comme un fait sur le marché, et emploie une volatilité implicite de elle dans un modèle Noir-Scholes d'évaluation. Ceci a été décrit comme using le " ; le faux numéro dans la formule fausse pour obtenir le bon price" ; 1999. Cette approche donne également des valeurs utilisables pour les rapports de haie (les Grecs).

Même lorsque des modèles plus avancés sont employés, les commerçants préfèrent penser en termes de volatilité pendant qu'elle leur permet d'évaluer et comparer des options de différentes maturités, grèves, et ainsi de suite.

Évaluer des options en esclavage

Noir-Scholes ne peut pas être appliqué directement aux valeurs en esclavage en raison du problème du tirer-à-pair . Car le lien atteint sa date de maturité, tous les prix ont impliqué du lien deviennent notoires, diminuant de ce fait sa volatilité, et le modèle Noir-Scholes simple ne reflète pas ce processus. Un grand nombre de prolongements à Noir-Scholes, commençant par le modèle de noir de , ont été employés pour traiter ce phénomène.

Courbe de taux d'intérêt

Dans la pratique, les taux d'intérêt ne sont pas constants - ils varient par la teneur, donnant une courbe de taux d'intérêt de qui peut être interpolée pour sélectionner un taux approprié pour employer dans la formule Noire-Scholes. Une autre considération est que les taux d'intérêt varient avec le temps. Cette volatilité peut apporter une contribution significative au prix, particulièrement des options à long terme.

Taux d'actions courtes

Il n'est pas libre de falloir à un la position des actions courtes . De même, il peut être possible de prêter dehors une position d'action à la hausse pour de petits honoraires. Dans l'un ou l'autre cas, ceci peut être traité comme dividende continu aux fins d'une évaluation Noire-Scholes.

Dérivation de formule

Dérivation élémentaire

Laisser le S ₀ être le prix actuel courant des actions et du fondamentaux S le prix quand l'option mûrit au T de temps. Alors le S ₀ est connu, mais le S est une variable aléatoire . Assumer cela

$X\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; ln\; (S/S\_0)\; \backslash ,$

est une variable aléatoire normale avec l'uT de $du\; moyen\; et\; le$ du\; désaccord\; \backslash \; sigma^2\; T$.\; Elle\; suit\; que\; le\; moyen\; du\; S\; est$

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; est\; parti\; S\; \backslash \; droit\; =\; S\_0\; e^\; \{\}\; dequart\backslash ,$

pour un certain constant q (indépendant de T ). Maintenant un argument simple d'aucun-arbitrage prouve que la valeur future théorique d'un dérivé payant une part des actions au T de temps, et ainsi avec le S de profit, est

$S\_0\; e^\; \{\}\; de\; droite\; \backslash ,$

là où le r est le taux d'intérêt risk-free. Ceci suggère de faire le q d'identification = r afin des dérivés d'évaluation. Définir la valeur théorique d'un dérivé comme la valeur actuelle du s'est attendue au profit de dans ce sens. Pour une option d'achat avec le K de prix d'exercice cette espérance escomptée (using probabilités risque-neutres ) est

$C\; (S\_0,\; T)\; =\; e^\; \{-\}\; de\; droite\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; maximum\; (S\; -\; K,\; 0)\; \backslash \; droit.\; \backslash ,$

La dérivation de la formule pour le C est facilitée par le lemme suivant : Laisser le Z être une variable aléatoire standard de la normale et laisser le b être un a prolongé le vrai nombre . Définir

$Z^+(b)\; =\; \backslash \; commencent\; \{cas\}\; Z\; et\; \backslash mbox\{si\}\; Z>b\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; infty\; et\; \backslash \; mbox\; \{autrement\}\; \backslash \; extrémité\; \{cas\}.$

Si le un est un vrai nombre positif, puis

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; est\; parti\; =\; e^\; \{a^2/2\}\; \backslash \; phi\; (-\; b\; +\; a)$

là où le $\backslash \; Phi$ est la fonction de répartition cumulative de normal standard . Dans le b de cas spécial = &minus ; &infin ; , nous avons le $de$

\ mathbb {E} \ sont partis = l'e^ {a^2/2}.

Laisser maintenant = de $de$

Z \ frac {X - uT} {\ sigma \ racine carrée {T}}

et employer le corollaire au lemme pour vérifier le rapport au-dessus environ du moyen du S . Définir

$S^+\; =\; \backslash \; commencent\; \{cas\}\; S\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; S>K\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; mbox\; \{autrement\}\; \backslash \; extrémité\; \{cas\}$

$X^+\; =\; \backslash \; ln\; (S^+/S\_0)\; \backslash ,$

et observer cela $de$

\ frac {X^+ - uT} {\ sigma \ racine carrée {T}} = Z^+(b)

pour un certain b . Définir

$K^+\; =\; \backslash \; commencent\; \{cas\}\; K\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; S>K\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; mbox\; \{autrement\}\; \backslash \; extrémité\; \{cas\}$

et observer cela $de$

\ maximum (S - K, 0) = S^+ - K^+. \,

Le reste du calcul est franc.

Bien que la dérivation élémentaire mène au résultat correct, elle est inachevée car elle ne peut pas expliquer, pourquoi la formule se rapporte au taux d'intérêt riskfree tandis qu'un taux de rendement plus élevé est prévu des investissements risqués. Cette limitation peut être surmontée using la mesure de probabilité risque-neutre, mais le concept de la risque-neutralité et de la théorie relative est loin d'élémentaire.

PDE a basé la dérivation

Dans cette section nous dérivons l'équation différentielle partielle (PDE) au coeur du modèle Noir-Scholes par l'intermédiaire d'un argument des delta-haies d'aucun-arbitrage ou de ; pour plus sur la logique fondamentale, voir la discussion à l'évaluation raisonnable .

L'exposé présenté ici est le sans cérémonie et nous ne nous inquiétons pas de la validité du déplacement entre le décollement de signifiant un petit incrément à temps et le décollement de comme dérivé .

Le PDE Noir-Scholes

Selon les prétentions modèles ci-dessus, nous supposons que le étant à la base de (typiquement les actions) suit un mouvement brownien géométrique . C'est-à-dire, = de dS_t de $de$

\ MU S_t \, décollement + \ sigma S_t \, dW_t \,

là où le t de _{du W est brownien.}

Laisser maintenant le V être une certaine sorte d'option sur le S - mathématiquement le V est une fonction du S et du t . Le V ( S , t ) est la valeur de l'option au t de temps si le prix des actions fondamentales au t de temps est le S . La valeur de l'option alors que l'option mûrit est connue. Pour déterminer sa valeur à un temps plus tôt nous devons savoir la valeur évolue pendant que nous entrons à reculons à temps. Par le lemme d'Itō de pour deux variables nous avons

$dV\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; MU\; S\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \; S\; partiel\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; sigma^2\; S^2\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; V\}\; \{\backslash \; S^2\; partiel\}\; \backslash \; droit)\; décollement\; +\; \backslash \; sigma\; S\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; S\; \backslash ,\; dW.$

Considérer maintenant une stratégie marchande sous lesquels tient une option et commerce sans interruption en stock afin de tenir le &minus ; &part ; V /&part ; Parts du S . Au t de temps, la valeur de ces possessions sera $de$

\ pi = V - S \ frac {\ V partiel} {\ S partiel}.

La composition de cette brochure, appelée la brochure de la delta-haie , variera de la temps-étape à la temps-étape. Laisser le R dénoter le bénéfice ou la perte accumulé de suivre cette stratégie. Alors au cours de la période '' t '' + '' décollement '' de temps, le bénéfice ou la perte instantané a lieu

$Dr.\; =\; dV\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; S\; \backslash ,\; dS.$

Par la substitution dans les équations ci-dessus nous obtenons Dr. = \ de $de$

(\ frac {\ V partiel} {\ t partiel} + \ frac {1} {2} \ sigma^2 S^2 \ frac {\ partial^2 V} {\ S^2 partiel} \ droit) décollement laissé.

Cette équation ne contient aucune limite du dW de . C'est-à-dire, elle est entièrement sans risque (delta neutre de ). Ainsi, étant donné qu'il n'y a aucun arbitrage, le taux de rendement sur cette brochure doit être égal au taux de rendement sur n'importe quel autre instrument sans risque. Assumer maintenant le taux de rendement risk-free est le r que nous devons avoir au cours de la période '' t '' + '' décollement '' de temps $r\; \backslash \; pi\; de$

\, décollement = Dr. = \ (\ frac {\ V partiel} {\ t partiel} + \ frac {1} {2} \ sigma^2 S^2 \ frac {\ partial^2 V} {\ S^2 partiel} \ droit) décollement laissé.

Si nous remplaçons maintenant dedans le $\backslash \; pi$ et le clivage à travers par le décollement de nous obtenons le PDE Noir-Scholes :

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; sigma^2\; S^2\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; V\}\; \{\backslash \; S^2\; partiel\}\; +\; rS\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \; S\; partiel\}\; -\; rv\; =\; 0.$

C'est la loi de l'évolution de la valeur de l'option. Avec les acceptations du modèle Noir-Scholes, cette équation tient toutes les fois que le V a deux dérivés en ce qui concerne le S et un en ce qui concerne le t .

D'autres dérivations du PDE

Au-dessus de nous avons employé la méthode d'arbitrage - évaluation libre (" de ; " des delta-haies ;) pour dériver des prix d'option de gouvernement de PDE donnés le modèle Noir-Scholes. Il est également possible d'employer un argument de la risque-neutralité . Cette dernière méthode donne le prix comme espérance du profit d'option sous une mesure de probabilité particulière , appelée le la mesure Risque-neutre , qui diffère de la mesure de monde réel.

Solution du PDE Noir-Scholes

Nous montrons maintenant comment obtenir du PDE Noir-Scholes général à une évaluation spécifique pour une option. Considérer comme exemple le prix Noir-Scholes d'une option d'achat sur des actions commerçant actuellement au S des prix. L'option a un prix d'exercice, ou le prix de grève, du K , c. la droite d'acheter une part au K des prix, aux années du T à l'avenir. Le taux d'intérêt constant est le r et la volatilité courante constante est $\backslash \; sigma$. Maintenant, pour une option d'achat le PDE ci-dessus a les états de frontière $V\; de$

(0, t) = 0 \, pour tout le t $V\; de$

(S, t) \ sim S \, comme $S\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\; \backslash ,$ $V\; de$

(S, T) = \ maximum (S - K, 0). \,

La dernière condition donne la valeur de l'option alors que l'option mûrit. La solution du PDE donne la valeur de l'option à n'importe quelle heure plus tôt. Afin de résoudre le PDE nous transformons l'équation en équation de diffusion de qui peut être résolue suivre des méthodes standard. À cet effet nous présentons la transformation changer-de-variable = de $de$

X \ ln (S/K) + (r - \ sigma^2/2) (T - t) \, $de$

\ tau = T - t \, $de$

u = Ve^ {r (T - t)}. \,

Alors le PDE Noir-Scholes devient une équation de diffusion

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; partiel\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma^2\}\; \{2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; u\}\; \{\backslash \; x^2\; partiel\}.$

Le $terminalV\; de\; condition\; (S,\; T)\; =\; \backslash \; (S\; -\; K,\; 0)$ maximum devient maintenant un premier état $u\; (x,\; 0)\; de$

= u_0 (x) \ K équivalent \ maximum (e^x - 1. \,

Suivre la méthode standard pour résoudre une équation de diffusion nous avons = du $u\; (,\; de\; x\; \backslash \; tau)\; de$

\ frac {1} {\ sigma \ racine carrée {2 \ pi \ tau}} \ e^ u_0 (y) ^ d'int_ {- \ infty} {\ infty} {- ^2/(de x/y) (2 \ sigma^2 \ tau)}\, Dy.

Après de l'algèbre nous obtenons

$u\; (,\; de\; x\; \backslash \; tau)\; =\; Ke^\; \{x\}\; sigma^2\; \backslash \; tau/2\; \backslash \; phi\; (d\_1)\; +\; \backslash \; -\; K\; \backslash \; phi\; (d\_2)$

là où = de $de$

d_1 \ frac {x + \ sigma^2 \ tau} {\ sigma \ racine carrée {\ tau}} = de $de$

d_2 \ frac {x} {\ sigma \ racine carrée {\ tau}}

et le $\backslash \; Phi$ est la fonction de répartition cumulative de standard de la normale .

Remplaçant le u , le X , et le $\backslash \; tau$, nous obtenons la valeur d'une option d'achat en termes de paramètres Noirs-Scholes :

$V\; (S,\; t)\; =\; S\; \backslash \; phi\; (d\_1)\; -\; Ke^\; \{-\; r\; (T\; -\; t)\}\; \backslash \; phi\; (d\_2)\; \backslash ,$

là où = de $de$

d_1 \ frac {\ ln (S/K) + (r+ \ sigma^2/2) (T - t)} {\ sigma \ racine carrée {T - t}} $de$

d_2 = d_1 - \ sigma \ racine carrée {T - t}.

La formule pour le prix d'une option mise suit de ceci par l'intermédiaire du Mettre-appellent la parité .

Remarques sur la notation

Le lecteur est averti de la notation contradictoire qui apparaît en cet article. Ainsi le S de lettre est employé comme :

(1) un constant dénotant le prix actuel courant du
courant (2) un vrai variable dénotant le prix à un
arbitraire de temps (3) une variable aléatoire dénotant le prix au
de maturité (4) un procédé stochastique dénotant le prix à un temps arbitraire

Il est également employé dans la signification de (4) avec du temps de dénotation souscrit, mais ici l'indice inférieur est simplement une mnémonique.

Dans les dérivés partiels, les lettres dans les numérateurs et les dénominateurs sont, naturellement, les vraies variables, et les dérivés partiels eux-mêmes sont, au commencement, de vraies fonctions de vraies variables. Mais après la substitution d'un procédé stochastique pour un des arguments elles deviennent des procédés stochastiques.

Le PDE Noir-Scholes est, au commencement, un rapport au sujet du S de procédé stochastique, mais quand le S est réinterprété comme vraie variable, ce devient un PDE ordinaire. C'est seulement puis que nous pouvons poser des questions sur sa solution.

Le u de paramètre qui apparaît dans le modèle de discret-dividende et la dérivation élémentaire n'est pas identique que le $de\; paramètre\; \backslash \; MU$ qui apparaît ailleurs dans l'article. Pour le rapport entre eux voir le mouvement brownien géométrique .

Voir également

Modèle noir , une variante de du modèle Noir-Scholes d'évaluation d'option.
Les options binomiales de modèlent , qui est une méthode numérique discret pour des prix d'option calculateurs.
Modèle d'option de Monte Carlo de , using la simulation dans l'évaluation des options avec les configurations compliquées.
Mathématiques financières , qui contiennent une liste d'articles relatifs.
Équation de la chaleur de , à laquelle le PDE Noir-Scholes peut être transformé.
Vraie analyse d'options de
Bancs noirs , un morceau financier de d'art

.

Random links:

Oceanid | Komochi, Gunma | Effet d'information fausse | Moe (argot) | Collines de cyprès (district électoral) | Negro-Scholes

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