Nième racine

Dans les mathématiques , une racine de Th du n de d'un du nombre un est un b de nombre tels que le bⁿ = un . En se rapportant n Th racine de vrai nombre il est supposé que ce qui est désiré est la racine principale de Th du n de du nombre, qui est le $dénoté \ racine carrée {a}$ using le $radical du symbole du (\ racine carrée {\, \,}).$ la racine principale de Th du n d'un de vrai nombre un est le unique b de vrai nombre qui est une racine de Th du n de par et est du même signe que le un . Noter que si le n est le même , les nombres négatifs n'auront pas une racine principale de Th du n . Quand du n ; = ; 2, la racine de Th du n s'appelle la racine carrée , et quand du n ; = ; 3, la racine de Th du n s'appelle la racine cubique .

Symbole

L'origine du $de symbole de racine carrée \ racine carrée {\, \,}$ est en grande partie spéculative, mais beaucoup, y compris le Leonhard Euler , croient qu'il provient du r , la première lettre de la lettre de la radix latine de de mot du qui se rapporte à la même opération mathématique . Le symbole était premier vu dans la copie sans vinculum (la barre horizontale de au-dessus des nombres à l'intérieur du symbole radical) dans le 1525 d'année dans le meurent Coss par le Christoff Rudolff , un mathématicien allemand du .

Opérations fondamentales

Des opérations avec des radicaux sont données par les formules suivantes

$\ racine carré {ab} = \ racine carré {a} \ racine carré {} de b \ qquad a \ GE 0, b \ GE 0$

$\ racine carré {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ racine carrée {a}}} {\ racine carrée {b} \ qquad a \ GE 0, b > 0$

$\ racine carrée {a^m} = \ (\ ^m a^ de racine carrée {a} \ bons) laissés = de ^m \ laissé (a^ {\ frac {1} {n}} \ droit) = {\ frac {m} {n}},$

là où le un et le b sont le positif.

Pour chaque différent de zéro du nombre complexe du un , là est le différent b de nombres complexes du n tels que le n de ^{du b} = un , ainsi le $de symbole \ racine carrée {a}$ ne peut pas être employé clairement. Les racines de de Th du n de l'unité sont d'importance particulière.

Une fois qu'un nombre a été changé de la forme radicale en forme de exponentiated par , le ordonne des exposants s'appliquent toujours (même aux exposants partiels ), à savoir

$a^m a^n = a^ {} de m+n \,$ $de \ = laissé ({\ frac {a} {b}} \ droit) de ^m \ frac {a^m} {b^m}$

$(a^m)^n = a^ {} de manganèse \,$

Par exemple :

${\ racine carrée {a}} {\ racine carrée {a}} = a^ \ a^ du frac {1} {2} \ frac {- 1} {4} = a^ \ frac {4 - 2} {8} = a^ \ frac {2} {8} = a^ \ frac {1} {4}$

Si vous allez faire l'addition ou la soustraction , alors vous devriez noter que le concept suivant est important. = = du $de \ racine carrée {a^5} \ racine carrée {aaaaa} \ racine carrée {a^3a^2} = a \ racine carrée {a^2}$

Si vous comprenez comment simplifier une expression radicale , alors addition et soustraction est simplement une question de " ; groupement comme le terms" ;.

Par exemple,

$\ racine carré {a^5} + \ racine carré {a^8}$
$= \ racine carré {a^3a^2} + \ racine carré {a^6 a^2}$
$=a \ racine carré {a^2} +a^2 \ racine carré {a^2}$
$= ({a+a^2}) \ racine carrée {a^2}$

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Série infinie

Le radical ou la racine peut être représenté par par la série infinie du :

$(1+x)^ {s/t} = \ ^ de sum_ {n=0} \ infty \ frac {\ ^n de displaystyle \ prod_ {k=0} (s+t-kt)}{(s+t) n ! x^n de t^n}$

avec le $\ |X|<1$ .

Conclusion de toutes les racines

Toutes les racines de tout nombre, vrai ou complexe, peuvent être trouvées avec un algorithme simple . Le nombre devrait d'abord être écrit dans l'i&phi de de ^{des EA forme ;} (voir la formule d'Euler de ). Alors toutes les racines de Th du n sont données par : e^ de $de {(\ frac {\ varphi+2k \ pi} {n}) I} \ périodes \ racine carrée {a}$ pour $k=0,1,2, \ ldots, n-1$ , où le $\ racine carrée {a}$ représente la racine principale de Th du n du un .

Vrais nombres positifs

Toutes les solutions complexes du xⁿ = un , ou racines de Th du n de un , où le un est un vrai nombre positif, sont données par l'équation simplifiée : e^ de $de {2 \ pi i \ frac {k} {n}} \ périodes \ racine carrée {a}$ pour $k=0,1,2, \ ldots, n-1$ , où le $\ racine carrée {a}$ représente la racine principale de Th du n du un .

Solution des polynômes

Il était par le passé conjecturé par que toutes les racines des polynômes pourraient être exprimées en termes de radicaux et opérations élémentaires ; cependant, le théorème d'Abel-Ruffini de affirme que ce n'est pas vrai en général. Par exemple, les solutions du $de d'équation \ x^5=x+1$ ne peut pas être exprimé en termes de radicaux.

Pour résoudre n'importe quelle équation du degré de n^th, voir l'algorithme de recherche du radical de .

Voir également

Algorithme de racine de nième
Algorithme de nième-racine de décalage de
Nombre irrationnel
Nombre algébrique
Racine carrée
Racine cubique
Douzième racine de de deux

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